1
00:00:00,333 --> 00:00:05,572
Sirkelen er nok den mest grunnleggende formen i vårt univers.

2
00:00:05,572 --> 00:00:08,690
Den er der når du ser på planetenes baner,

3
00:00:08,690 --> 00:00:12,724
når du ser på hjulet, eller når du ser på figurer i den molekylære verden.

4
00:00:12,840 --> 00:00:17,244
Sirkelen kommer opp igjen og igjen.

5
00:00:17,275 --> 00:00:23,263
Det er derfor verdt å forstå noen av sirkelens egenskaper.

6
00:00:23,330 --> 00:00:28,907
De første menneskene som oppdaget og studerte sirkelen spurte seg selv:

7
00:00:28,960 --> 00:00:32,831
Hvilke egenskaper gjelder for alle sirkler?

8
00:00:32,910 --> 00:00:37,672
En av de første tingene de oppdaget var at i en sirkel er alle punkter

9
00:00:37,672 --> 00:00:40,397
like langt fra punktet i midten av sirkelen.

10
00:00:40,440 --> 00:00:45,125
Alle disse punktene langs kanten er like langt fra sentrum.

11
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
En en av de første tingene du kanskje må spørre deg selv er:

12
00:00:47,620 --> 00:00:51,633
Hva er avstanden der alle punkter er like langt fra sentrum?

13
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Der.

14
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Vi kaller det avstanden av radien av sirkelen.

15
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Det er avstanden fra sentrum til kantene.

16
00:01:00,350 --> 00:01:04,420
Hvis denne radiusen er 3 centimeter, så er denne radiusen også tre centimeter.

17
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
Og denne radiusen er 3 centimeter.

18
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Det vil aldri forandre seg.

19
00:01:08,270 --> 00:01:13,336
Per definisjon er en sirkel alle punktene som er like langt fra sentrum.

20
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
Den avstanden er radius.

21
00:01:17,050 --> 00:01:20,110
Den neste interessante spørsmålet som en kan stille er:

22
00:01:20,110 --> 00:01:22,040
Hvor stor er sirkelen?

23
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Hvor bred er sirkelen på det bredeste punktet?

24
00:01:26,360 --> 00:01:28,386
Hvis du ønsker å klippe sirkelen der den er bredest,

25
00:01:28,386 --> 00:01:30,390
hva er avstanden du skal klippe?

26
00:01:30,390 --> 00:01:32,016
Det trenger ikke å være akkurat der.

27
00:01:32,016 --> 00:01:35,490
Vi kunne like så godt klippet langs det bredeste her.

28
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Vi vil ikke klippe et sted som dette,

29
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
fordi det ikke ville være det bredeste punktet.

30
00:01:40,120 --> 00:01:43,379
men det er mange steder hvor du kan klippe på det bredeste punktet.

31
00:01:43,480 --> 00:01:48,145
Vi har sett på radius, og kan se at det bredeste punktet på sirkelen går gjennom sentrum

32
00:01:48,145 --> 00:01:49,580
og fortsetter rett over.

33
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Det er altså to radier.

34
00:01:52,920 --> 00:01:57,163
En radius her og en radius her.

35
00:01:57,240 --> 00:02:02,949
Vi kaller avstanden langs bredeste punktet på sirkelen til diameter.

36
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Det er sirkelens diameter.

37
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Den har et meget enkelt forhold til radien.

38
00:02:09,260 --> 00:02:18,970
Diameter er lik det dobbelte av radien.

39
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Det neste interessante man kan

40
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
lure på er: hvor langt er det rundt en sirkel?

41
00:02:24,560 --> 00:02:32,785
Hvis vi skulle måle hele veien rundt sirkelen med et målebånd,

42
00:02:32,785 --> 00:02:35,910
hva ville vært utfallet?

43
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Vi kaller det omkretsen av sirkelen.

44
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Vi vet nå forholdet mellom diameter og radius

45
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
men hvordan henger omkrets og diameter sammen?

46
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
Det kan vi finne ut.

47
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
Man har funnet ut hvordan disse tingene henger sammen.

48
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
For mange tusen år siden, tok folk målebåndene sine

49
00:02:57,130 --> 00:03:00,274
frem og gikk videre og videre med måle sirklers omkrets og deres radier.

50
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
I starten var ikke målebåndene så presise..

51
00:03:03,280 --> 00:03:07,902
Den målte kanskje at omkretsen av sirkelen var ca 3.

52
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
Når de så målte diameteren på samme sirkel,

53
00:03:11,600 --> 00:03:16,187
de fant at den var omtrent 1.

54
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
La oss skrive dette ned.

55
00:03:17,740 --> 00:03:22,550
Vi er interessert i forholdet

56
00:03:22,660 --> 00:03:37,462
mellom omkrets og diameter.

57
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Hvis vi har en sirkel her.

58
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
Vi har her en sirkel.

59
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
I ble det ikke målt så nøyaktig.

60
00:03:45,880 --> 00:03:50,401
Man målte, at omkretsen var tilnærmet lik 3,

61
00:03:50,490 --> 00:03:54,953
og diameteren av sirkelen var tilnærmet lik 1.

62
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Det er interessant.

63
00:03:56,000 --> 00:03:58,396
Forholdet mellom omkretsen og diameteren er nær 3.

64
00:03:58,500 --> 00:04:01,927
Kanskje omkretsen alltid er 3 ganger diameteren.

65
00:04:02,020 --> 00:04:05,579
På den tiden målte man en masse sirkler for å finne ut om det gjaldt for alle sirkler.

66
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Dette kunne f.eks vært denne, som er litt mindre.

67
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
La oss si at de målte rundt sirkelen og fant ut

68
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
omkretsen er ca 6 centimeter.

69
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
De hadde en dårlig målebånd, så det var ikke helt nøyaktig.

70
00:04:18,210 --> 00:04:23,448
Så fant de ut at diameteren var ca 2 centimeter.

71
00:04:23,520 --> 00:04:30,105
Igjen er forholdet mellom omkrets og diameter ca 3.

72
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
Det ser ut som et mønster.

73
00:04:32,140 --> 00:04:37,983
Kanskje er forholdet mellom omkrets og diameter det samme for alle sirkler

74
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
De undersøkte derfor enda mer.

75
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Det var veldig spennende.

76
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Da de fikk bedre målebånd, målte de

77
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
at diameteren var nøyaktig 1.

78
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
De var sikre på at diameteren var 1,

79
00:04:49,430 --> 00:04:55,871
men omkretsen var faktisk nærmere 3.1.

80
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
Det samme skjedde her.

81
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
De la merke til at dette forholdet var nærmere 3.1.

82
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
De fortsatte å måle, og de ble bedre og bedre og bedre.

83
00:05:01,876 --> 00:05:07,864
Den målte mer nøyaktig og kom til forholdet var:

84
00:05:07,956 --> 00:05:10,807
3,14159

85
00:05:10,807 --> 00:05:12,550
De tilføyde desimaler

86
00:05:12,550 --> 00:05:14,096
men desimalene gjentok seg aldri.

87
00:05:14,096 --> 00:05:18,193
Det var en merkelig fascinerende tall som alltid dukket opp i andre sammenhenger.

88
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Det tallet er så grunnleggende for vårt univers,

89
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
fordi sirkelen er så grunnleggende for vårt univers.

90
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
Tallet er gjentatt i alle sirkler.

91
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Forholdet av omkretsen til den diameter lik dette tallet.

92
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
Tallet fikk sitt eget spesielle navn.

93
00:05:32,390 --> 00:05:41,810
Figuren ble kalt pi. Det er stavet "p" "i", men det er vanligvis skrevet med den greske bokstaven pi som dette.

94
00:05:41,880 --> 00:05:46,705
Bokstaven representerer dette tallet, som trolig er det mest fascinerende tallet i vårt univers.

95
00:05:46,790 --> 00:05:51,383
Det ble først oppdaget ved forholdet mellom omkrets og diameter,

96
00:05:51,383 --> 00:05:55,916
men som du vil lære på reisen gjennom matematikk,

97
00:05:55,916 --> 00:05:57,160
inngår tallet på mange forskjellige steder.

98
00:05:57,160 --> 00:05:59,130
Det er en av de grunnleggende ting om universet,

99
00:05:59,130 --> 00:06:02,121
som gjør at du tror at det må være en eller annen form for orden i universet.

100
00:06:02,121 --> 00:06:05,180
Før det blir for filosofisk, la oss se på

101
00:06:05,180 --> 00:06:09,330
hvordan vi kan bruke denne kunnskapen i vår grunnleggende matematikk?

102
00:06:09,330 --> 00:06:16,104
Nå vet vi at

103
00:06:16,104 --> 00:06:25,172
hvis vi deler omkretsen med diamteren,

104
00:06:25,172 --> 00:06:28,400
vi får nummeret pi.

105
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Pi er akkurat dette nummeret.

106
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Vi kunne skrive 3,14159 og bare gå videre og videre og videre,

107
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
men det ville være en sløsing med plass, og det ville være vanskelig å stole på

108
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
så vi skriver den greske bokstaven.

109
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
Denne bokstaven.

110
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Hvordan kan vi bruke det?

111
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Vi kan multiplisere begge sider av denne med diameteren,

112
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
og vi si at omkretsen er lik

113
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
pi ganger diameteren.

114
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Vi kan også si

115
00:06:55,570 --> 00:07:00,266
omkrets er lik to ganger pi ganger radien.

116
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Det blir ofte skrevet som

117
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
2 pi r.

118
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
La oss se om vi kan bruke den til å løse noen oppgaver:

119
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
La oss si at vi har en sirkel som dette.

120
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
Den har en radius på 3.

121
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Radiusen er 3.

122
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Det er kanskje 3 meter, la oss sette enheten m for meter.

123
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Det er omkretsen av sirkelen?

124
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Omkretsen er lik 2 ganger pi ganger radius.

125
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Det er lik 2

126
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
x 3 meter, som er lik 6 meter, ganger pi.

127
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
Det er 6 pi meter.

128
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 pi meter.

129
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
Nå kan vi multipliserer det ut.

130
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Husk pi er et tall.

131
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pi er 3,14159 med uendelig mange desimaler.

132
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
Hvis vi multipliserer 6 med pi, får vi 18 komma

133
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
mange desimaler.

134
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Hvis du har kalkulatoren din, kan du finne det,

135
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
men å holde det enkelt her, skriver man som regel

136
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
svaret i enheter av pi.

137
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Hvis du multipliserer 6 med 3,14159,

138
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
det må gi et tall mellom 18 og 19.

139
00:08:18,510 --> 00:08:21,648
Det er 18 komma noen desimaler.

140
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Vi har ikke kalkulator..

141
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
I stedet for å skrive desimaltall,

142
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
kan vi skrive 6 pi.

143
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
I virkeligheten er sannsynligvis svaret

144
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
litt under 19.

145
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
La oss stille et annet spørsmål.

146
00:08:33,770 --> 00:08:38,454
Det er diameteren av sirkelen?

147
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
Hvis denne radiusen er 3, så er diameteren det dobbelte.

148
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Det vil si 3 ganger 2, eller 3 pluss 3

149
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
som er lik 6 meter.

150
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Omkretsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,

151
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
og radius er 3 meter.

152
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
La oss prøve å finne en annen måte.

153
00:08:55,110 --> 00:09:01,171
Anta at vi har en annen sirkel.

154
00:09:01,220 --> 00:09:08,466
Som har en omkrets på 10 meter.

155
00:09:08,560 --> 00:09:12,990
Hvis du hadde hatt et målebånd og gått rundt den, ville man målt 10 meter.

156
00:09:12,990 --> 00:09:18,370
Det er diameteren av sirkelen?

157
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Vi vet at diameteren ganger pi

158
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
er lik omkretsen,

159
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
og omkretsen er 10 meter.

160
00:09:28,700 --> 00:09:32,466
For å løse dette, må vi dele begge sider av denne ligningen ved pi.

161
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Diameteren er lik 10 meter over pi

162
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
eller 10 over pi meter.

163
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
Det gir et tall.

164
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Hvis du har din kalkulator, kan du dele 10 med 3,13159

165
00:09:42,540 --> 00:09:47,445
og da vil du få 3 komma noe.

166
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Det er vanskelig å regne i hodet.

167
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
Resultatet er imidlertid et tall.

168
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
For enkelhets skyld, skriver vi ofte svaret på denne måten.

169
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Hva er radiusen da?

170
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Radiusen er lik halvparten av diameteren.

171
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Diameteren er altså 10 pi meter.

172
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Hvis vi ønsker å finne radius,

173
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
må vi multiplisere det med en halv.

174
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Vi har derfor en halv ganger 10 over pi, som er en halv ganger 10

175
00:10:13,160 --> 00:10:18,031
Vi kan nå dele telleren og nevneren med 2.

176
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Vi får 5 over pi.

177
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Radius er altså 5 over pi.

178
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Det er ganske enkelt når du har gjort noen av disse.

179
00:10:25,690 --> 00:10:31,760
Det er viktig å huske at pi er et tall.

180
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Pi er 3,14159 og et uendelig antall desimaler.

181
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Det er faktisk skrevet mange bøker om pi.

182
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
De kan være spennende å lese.

183
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
Det er imidlertid viktig å huske

184
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
at pi er et tall.

185
00:10:49,340 --> 00:10:54,372
Det er et meget spesielt tall.

186
00:10:54,372 --> 00:10:55,636
Men det kan være skrevet som et vanlig tall.

187
00:10:55,680 --> 00:11:00,530
Imidlertid er det ofte lettere å skrive det som pi.

188
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Nå kan du selv finne ut noen eksempler på dette.

189
00:11:01,680 --> 00:11:04,843
I neste video vil vi finne ut arealet av en sirkel.