-
Na tym nagraniu chciałbym udowodnić jeden z bardziej
-
użytecznych faktów w geometrii, czyli że kąt wpisany
-
- to jest kąt, którego wierzchołek leży na obwodzie
-
koła.
-
Czyli to jest nasz kąt wpisany.
-
Oznaczę go przez psi - będę używać psi dla kątów wpisanych.
-
i kątów na tym nagraniu.
-
To psi, wpisany kąt, będzie dokładnie połową
-
kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
-
Użyłem właśnie dużo mądrych słów, ale myśę
-
że domyślacie się o czym mówię.
-
Więc to jest psi.
-
To jest kąt wpisany
-
Jego wierzhołek leży na obwodzie okręgu.
-
Jeśli narysuje się dwa promienie wychodzące z tego kąta
-
czy dwie półproste, które określają ten kąt, przetną one
-
okrąg po drugiej stronie
-
I jeśli spojrzycie na część obwodu koła
-
która jest wewnątrz, to mamy łuk który jest
-
"ograniczony" przez psi
-
To wszystko mądre słowa, ale myślę że idea jest
-
raczej jasna.
-
Tutaj mamy łuk ograniczony przez psi, gdzie psi jest
-
tym kątem wpisanym, z wierchołkiem leżącym
-
na okręgu.
-
Natomiast kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek
-
leży w środku okręgu.
-
Powiedzmy, że tutaj - spróbuję tak na oko
-
- że tutaj jest środek tego okręgu.
-
Narysuję kąt środkowy leżący na tym samym łuku
-
Tak wygląda kąt środkowy leżący na tym samym łuku.
-
Właśnie tak.
-
Nazwijmy go teta.
-
Czyli ten kąt to psi, ten tutak to teta.
-
Na tym nagraniu udowodnię, że psi jest zawsze
-
równe 1/2 teta.
-
Czyli gdybym powidział wam, że psi jest równe, powiedzmy,
-
25 stopni, wtedy wiecie natychmiast, że teta
-
musi być równy 50 stopni.
-
A gdybym powidział, że teta ma 80 stopni, wtedy
-
wiedzielibyście od razu, że psi ma 40 stopni.
-
Udowodnijmy to więc.
-
Zmaże tablicę.
-
Dobrym miejscem żeby zacząć, a przynajmniej ja zmierzam tu zacząć
-
to przypadek specjalny.
-
Narysuję kąt wpisany, którego jedno ramię
-
będzie leżeć na średnicy okręgu.
-
Nie będzie to przypadek ogólny, tylko
-
przypadek specjalny.
-
Popatrzmy więc, to jest środek okręgu.
-
Próbuję wybrać na oko.
-
Środek jest mniej więcej tutaj.
-
Narysuję średnicę.
-
Średnica wygląda mniej więcej tak.
-
Teraz narysuję mój kąt wpisany.
-
Ta średnica to jedno z jego ramion
-
A drugie ramię może być jakieś takie.
-
Nazwę go psi.
-
Jeśli to jest psi, ta długoś tutaj to promień - to jest
-
nasz promień naszego okręgu.
-
Wtedy ta długość tutaj również będzie promieniem
-
naszego okręgu, idąca od środka do obwodu.
-
Okrąg jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich punktów, które
-
są odległe od środka o promień.
-
Czyli to także jest promień.
-
Teraz ten trójkąt jest równoramienny.
-
Ma dwa boki, które są sobie równe.
-
Te dwie strony są na pewno równe.
-
Wiemy, że jeśli mamy dwa boki równe w trójkącie,
-
to kąty przy podstawie są równe.
-
Czyli to także jest równe psi.
-
Być może nie rozpoznasz tego ponieważ to
-
jest obrócone.
-
Ale, Myślę że wielu z nas gdy widzi trókąt który wygląda jak
-
ten, Gdybym powiedział tobie to jest r i to jest r, to te dwa
-
boki są równe, i jeśli to jest psi, wtedy również
-
wiemy że ten kąt również będzie psi.
-
Kąty przy podstawie są odpowiednikami dla trójkąta równoramiennego.
-
Więc to jest psi, i to także psi.
-
Teraz, spoójrzmy na kąt środkowy.
-
To jest kąt środkowy leżący na przeciwko łuku arc.
-
Zaznaczę cały arc które leżą na przeciwko kąta.
-
To właśnie tutaj jest arc leżący na przeciwko.
-
Więc to jest mój kąt środkowy, theta.
-
Teraz jeśli kąt jest theta, co to za kąt będzie?
-
To kąt ten tutaj.
-
Więc, ten kąt jest uzupełniający do theta
-
więc to jest 180 minus theta.
-
Gdy dodasz te dwa kąty razem To wyjdzie 180 stopni
-
lub linia prosta.
-
One uzupełniają się wzajemnie.
-
Teraz, My także wiemy że te trzy kąty są wewnętrzne
-
w tym samym trójkącie.
-
Więc One muszą dać łącznie 180 stopni.
-
Więc mamy psi -- te psi plus te psi plus psi plus ten
-
kąt, wynosi 180 minus theta plus 180 minus theta.
-
Te trzy kąty muszą dać nam 180 stopni.
-
To są trzy kąty trójkąta.
-
teraz my możemy odjąć 180 z obu stron.
-
psi plus psi jest 2 psi minus theta równa się 0.
-
Dodaj theta do obu stron.
-
Otrzymasz 2 psi równa się theta.
-
Pomnóż obie strony przez 1/2 lub podziel obie strony przez 2.
-
Otrzymasz psi równa się 1/2 theta.
-
Więc po prostu okazało się to co określiłem do udowodnienia dla specjalnego
-
przypadku gdzie nasz kąt wpisany jest zdefiniowany, w którym jeden z
-
promieni, Jeśli Ty chcesz zobaczyć tą linię jako promień, w którym jeden z
-
promieni definuje ten wpisany kąt jest
-
wzdłuż średnicy.
-
Średnica stanowi część tego promienia.
-
Więc jest to szczególny przypadek, w którym jedna krawędź jest
-
znajduje się na średnicy.
-
Więc możemy już uogólnić to.
-
Więc teraz my wiemy że Jeśli to jest 50 więc to będzie
-
100 stopni również, prawda?
-
Jaka kolwiek jest psi lub jakakolwiek jest teta, psi będzie połową tego,
-
lub jaka kolwiek jest psi, theta będzie
-
2 razy większa od tego.
-
Teraz to będzie się pojawiać za każdym razem.
-
My możemy użyć tej notacji za każdym razem -- więc używając to
-
otrzymamy wynik, możemy nieco to uogólnić,
-
choć nie będzie to pojawiało się we wszystkich kątach wpisanych.
-
Mamy kąt wpisany który wygląda tak.
-
Te położenie, centralne, może wyglądać jak by
-
wewnątrz konta.
-
To jest mój kąt wpisany.
-
I ja chcę znaleźć związki między tym
-
wpisanym kątem a kątem środkowym opisanym
-
na tym samym łuku.
-
Więc to jest mój kąt środkowy opisany na tym łuku.
-
Więc, możesz powiedzieć, hey, gee, żaden z tych końców lub tych
-
cięciw nie określa tego kąta, żadna tych średnic,
-
ale co możemy zrobić jeśli możemy narysować średnicę.
-
Jeśli w środku jest jeden z dwóch cięciw my
-
możemy narysować średnicę.
-
My możemy narysować średnicę właśnie tak.
-
Jeśli my naryujemy średnicę właśnie tak, jeśli określimy ten kąt
-
jako psi 1, ten kąt jako psi 2.
-
Oczywiście psi jest sumą tych dwóch kątów.
-
Nazwijmy ten kąt theta 1, a ten kąt teta 2.
-
Od razu wiemy że,odtrzymałem wynik
-
ponieważ mamy jeden bok naszego kąta w obu przypadkach
-
jako średnica, my wiemy że psi 1 będzie
-
połową theta 1.
-
My wiemy że psi 2 będzie połową theta 2.
-
Psi 2 będzie połową theta 2.
-
Więc psi, to jest psi1 plus psi 2, więc psi 1 plus psi 2 będzie
-
równe tym dwóm rzeczom.
-
1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2
-
psi 1 plus psi 2, równa się pierwszemu wpisanemu
-
kątowi jaki chcemy traktować właśnie jako reguralne psi.
-
To jest psi.
-
I to właśnie tu, to jest równe połowie
-
theta 1 plus theta 2.
-
Co to jest theta 1 plus theta 2?
-
Więc właśnie to jest nasza orginalna theta z którą
-
mieliśmy do czynienia.
-
Więc teraz my widzidzmy że psi jest równe połowie theta.
-
Więc teraz my udowodniliśmy to dla nieco bardziej ogólnych przypadków
-
gdzie naszym środkiem jest wewnątrz dwóch promieni
-
określonych jako kąt.
-
Teraz, jeszcze nie weżmiemy się za nie co trudniejsze sytuacje
-
ale bardziej ogólne sytuacje gdzie jeśli jest w środku naszego
-
koła i ja mam kąt wpisany którego środek jest
-
usytuwoany wewnątrz dwóch cięciw.
-
Narysuję to.
-
Więc to będzie wierzchołek, zaznaczę go kolorem,
-
powiedzmy że to jest jedna z cięciw określonego
-
kąta, właśnie jak tutaj.
-
I powiedzmy że inna cięciwa określonego
-
kąta jest jak tutaj.
-
Więc jak możemy znaleźć relacje pomiędzy,
-
nazwijmy, ten kąt właśnie tutaj, nazwijmy psi 1.
-
Jak my możemy znaleźć relacje pomiędzy psi 1 i środkowym
-
kątem umieszczonym na tym samym łuku?
-
Więc mówiłem o jakimś łuku, tak jak właśnie tutaj.
-
Kąt wpisany opisany jest na tym łuku
-
co wygląda jak tu.
-
Nazwijmy to theta 1.
-
Co możemy zrobić, wykorzystując to co właśnie się dowiedziałem gdy jeden z boków
-
naszego kątu wpisanego jest średnicą.
-
Skonstruujmy to.
-
Narysujmy średnicę tutaj.
-
Jako wynik my chcemy nadal, że to powinno być połową
-
tego, ale udowodnijmy to.
-
Namalujmy średnicę właśnie tak.
-
Nazwijmy ten kąt właśnie tutaj, nawijmy go jako psi 2.
-
To jest opisane na tym łuku - - róbmy to
-
na ciemniejszy kolor.
-
To jest opisane na tym łuku jak tam.
-
Kąt środkowy jest opisany na tym samym łuku,
-
nazwijmy go theta 2.
-
Teraz, my wiemy z wcześniejszej części tego video że psi 2
-
będzie równe połowie theta, prawda?
-
Średnica jest tutaj.
-
Średnica jest jedną z cięciw kąta.
-
Więc psi 2 będzie równe połowie theta 2
-
To jest dokładnie to co było zrobione w ostatnim video, prawda?
-
To jest kąt wpisany.
-
Jedna z cięciw określona jest jako średnica.
-
Więc to będzie połowa kąta, kąta środkowego
-
opisanego na tym samym łuku.
-
Teraz, zobaczmy na ten więksy kąt.
-
Ten większy kąt jest tutaj.
-
Psi 1 plus psi 2.
-
Dobrze, większy kąt jest psi 1 plus psi 2.
-
Jeszcze raz, ten leżący na przeciwko tego całego łuku jak tutaj,
-
jest średnicą tak jak jedna z cięciw określona
-
w tym gromnym kącie.
-
Więc to będie połowa kąta środkowego
-
naprzeciwko tego samego łuku.
-
My używamy to co już przedstawialiśmy w tym video.
-
Więc to będzie równe połowie tego ogromnego środkowego kąta
-
theta 1 plus theta 2.
-
Do tej pory używaliśmy wszystko co się nauczyliśmy
-
wcześniej w tym video.
-
Teraz, wiemy jeszcze że psi 2 jest równe połowie theta 2.
-
Więc pozwól mi że podstawię.
-
To jest równe to.
-
Więc my możemy powiedzieć że si 1 plus -- zamiast si 2 ja napiszę
-
1/2 theta 2 jest równe 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2.
-
My możemy odjąć połowę teta 2 z obu boków, i
-
my mamy nasz wynik.
-
Si 1 jest równe połowie theta jeden.
-
I teraz mamy zrobione.
-
Udowodniliśmy sytuację że kąt wpisany jest
-
zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
-
nie zależnie czy środek koła znajduje się wewnątrz
-
kąta, czy na zewnątrz kąta, czy jeśli mamy
-
średnicę jako jeden bok.
-
Więc inne kąty mogą być konstruowane jak suma
-
wszelkich, lub wszystkie takie że mamy już zrobione.
-
Mam nadzieję że było to przydatne i teraz możemy aktualnie
-
zbudować na podstawie tegobardziej interesujące
-
dowody geometryczne.
