1 00:00:00,690 --> 00:00:03,450 Na tym nagraniu chciałbym udowodnić jeden z bardziej 2 00:00:03,450 --> 00:00:08,980 użytecznych faktów w geometrii, czyli że kąt wpisany 3 00:00:08,980 --> 00:00:14,950 - to jest kąt, którego wierzchołek leży na obwodzie 4 00:00:14,950 --> 00:00:17,080 koła. 5 00:00:17,080 --> 00:00:19,800 Czyli to jest nasz kąt wpisany. 6 00:00:19,800 --> 00:00:24,950 Oznaczę go przez psi - będę używać psi dla kątów wpisanych. 7 00:00:24,950 --> 00:00:27,170 i kątów na tym nagraniu. 8 00:00:27,170 --> 00:00:33,530 To psi, wpisany kąt, będzie dokładnie połową 9 00:00:33,530 --> 00:00:37,880 kąta środkowego opartego na tym samym łuku. 10 00:00:37,880 --> 00:00:40,730 Użyłem właśnie dużo mądrych słów, ale myśę 11 00:00:40,730 --> 00:00:41,650 że domyślacie się o czym mówię. 12 00:00:41,650 --> 00:00:42,820 Więc to jest psi. 13 00:00:42,820 --> 00:00:44,470 To jest kąt wpisany 14 00:00:44,470 --> 00:00:48,710 Jego wierzhołek leży na obwodzie okręgu. 15 00:00:48,710 --> 00:00:52,570 Jeśli narysuje się dwa promienie wychodzące z tego kąta 16 00:00:52,570 --> 00:00:56,040 czy dwie półproste, które określają ten kąt, przetną one 17 00:00:56,040 --> 00:00:57,340 okrąg po drugiej stronie 18 00:00:57,340 --> 00:01:00,390 I jeśli spojrzycie na część obwodu koła 19 00:01:00,390 --> 00:01:03,730 która jest wewnątrz, to mamy łuk który jest 20 00:01:03,730 --> 00:01:06,160 "ograniczony" przez psi 21 00:01:06,160 --> 00:01:09,010 To wszystko mądre słowa, ale myślę że idea jest 22 00:01:09,010 --> 00:01:09,920 raczej jasna. 23 00:01:09,920 --> 00:01:28,485 Tutaj mamy łuk ograniczony przez psi, gdzie psi jest 24 00:01:28,485 --> 00:01:31,560 tym kątem wpisanym, z wierchołkiem leżącym 25 00:01:31,560 --> 00:01:32,400 na okręgu. 26 00:01:32,400 --> 00:01:37,920 Natomiast kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek 27 00:01:37,920 --> 00:01:39,460 leży w środku okręgu. 28 00:01:39,460 --> 00:01:41,880 Powiedzmy, że tutaj - spróbuję tak na oko 29 00:01:41,880 --> 00:01:45,510 - że tutaj jest środek tego okręgu. 30 00:01:45,510 --> 00:01:51,360 Narysuję kąt środkowy leżący na tym samym łuku 31 00:01:51,360 --> 00:01:58,470 Tak wygląda kąt środkowy leżący na tym samym łuku. 32 00:01:58,470 --> 00:01:59,390 Właśnie tak. 33 00:01:59,390 --> 00:02:01,440 Nazwijmy go teta. 34 00:02:01,440 --> 00:02:06,030 Czyli ten kąt to psi, ten tutak to teta. 35 00:02:06,030 --> 00:02:10,120 Na tym nagraniu udowodnię, że psi jest zawsze 36 00:02:10,120 --> 00:02:14,050 równe 1/2 teta. 37 00:02:14,050 --> 00:02:18,220 Czyli gdybym powidział wam, że psi jest równe, powiedzmy, 38 00:02:18,220 --> 00:02:21,330 25 stopni, wtedy wiecie natychmiast, że teta 39 00:02:21,330 --> 00:02:23,090 musi być równy 50 stopni. 40 00:02:23,090 --> 00:02:26,080 A gdybym powidział, że teta ma 80 stopni, wtedy 41 00:02:26,080 --> 00:02:29,300 wiedzielibyście od razu, że psi ma 40 stopni. 42 00:02:29,300 --> 00:02:31,500 Udowodnijmy to więc. 43 00:02:31,500 --> 00:02:34,520 Zmaże tablicę. 44 00:02:34,520 --> 00:02:37,730 Dobrym miejscem żeby zacząć, a przynajmniej ja zmierzam tu zacząć 45 00:02:37,730 --> 00:02:40,460 to przypadek specjalny. 46 00:02:40,460 --> 00:02:45,250 Narysuję kąt wpisany, którego jedno ramię 47 00:02:45,250 --> 00:02:47,910 będzie leżeć na średnicy okręgu. 48 00:02:47,910 --> 00:02:50,526 Nie będzie to przypadek ogólny, tylko 49 00:02:50,526 --> 00:02:51,320 przypadek specjalny. 50 00:02:51,320 --> 00:02:55,325 Popatrzmy więc, to jest środek okręgu. 51 00:02:55,325 --> 00:02:59,030 Próbuję wybrać na oko. 52 00:02:59,030 --> 00:03:00,770 Środek jest mniej więcej tutaj. 53 00:03:00,770 --> 00:03:04,210 Narysuję średnicę. 54 00:03:04,210 --> 00:03:06,440 Średnica wygląda mniej więcej tak. 55 00:03:06,440 --> 00:03:09,410 Teraz narysuję mój kąt wpisany. 56 00:03:09,410 --> 00:03:11,860 Ta średnica to jedno z jego ramion 57 00:03:11,860 --> 00:03:15,910 A drugie ramię może być jakieś takie. 58 00:03:15,910 --> 00:03:20,520 Nazwę go psi. 59 00:03:20,520 --> 00:03:27,120 Jeśli to jest psi, ta długoś tutaj to promień - to jest 60 00:03:27,120 --> 00:03:29,330 nasz promień naszego okręgu. 61 00:03:29,330 --> 00:03:33,080 Wtedy ta długość tutaj również będzie promieniem 62 00:03:33,080 --> 00:03:35,760 naszego okręgu, idąca od środka do obwodu. 63 00:03:35,760 --> 00:03:38,130 Okrąg jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich punktów, które 64 00:03:38,130 --> 00:03:40,340 są odległe od środka o promień. 65 00:03:40,340 --> 00:03:43,610 Czyli to także jest promień. 66 00:03:43,610 --> 00:03:47,920 Teraz ten trójkąt jest równoramienny. 67 00:03:47,920 --> 00:03:49,890 Ma dwa boki, które są sobie równe. 68 00:03:49,890 --> 00:03:51,880 Te dwie strony są na pewno równe. 69 00:03:51,880 --> 00:03:54,630 Wiemy, że jeśli mamy dwa boki równe w trójkącie, 70 00:03:54,630 --> 00:03:57,290 to kąty przy podstawie są równe. 71 00:03:57,290 --> 00:04:00,640 Czyli to także jest równe psi. 72 00:04:00,640 --> 00:04:02,130 Być może nie rozpoznasz tego ponieważ to 73 00:04:02,130 --> 00:04:03,180 jest obrócone. 74 00:04:03,180 --> 00:04:05,720 Ale, Myślę że wielu z nas gdy widzi trókąt który wygląda jak 75 00:04:05,720 --> 00:04:10,940 ten, Gdybym powiedział tobie to jest r i to jest r, to te dwa 76 00:04:10,940 --> 00:04:17,860 boki są równe, i jeśli to jest psi, wtedy również 77 00:04:17,860 --> 00:04:20,830 wiemy że ten kąt również będzie psi. 78 00:04:20,830 --> 00:04:23,930 Kąty przy podstawie są odpowiednikami dla trójkąta równoramiennego. 79 00:04:23,930 --> 00:04:26,720 Więc to jest psi, i to także psi. 80 00:04:26,720 --> 00:04:29,770 Teraz, spoójrzmy na kąt środkowy. 81 00:04:29,770 --> 00:04:32,710 To jest kąt środkowy leżący na przeciwko łuku arc. 82 00:04:32,710 --> 00:04:35,920 Zaznaczę cały arc które leżą na przeciwko kąta. 83 00:04:35,920 --> 00:04:40,300 To właśnie tutaj jest arc leżący na przeciwko. 84 00:04:40,300 --> 00:04:44,350 Więc to jest mój kąt środkowy, theta. 85 00:04:44,350 --> 00:04:49,000 Teraz jeśli kąt jest theta, co to za kąt będzie? 86 00:04:49,000 --> 00:04:50,620 To kąt ten tutaj. 87 00:04:50,620 --> 00:04:53,010 Więc, ten kąt jest uzupełniający do theta 88 00:04:53,010 --> 00:04:56,640 więc to jest 180 minus theta. 89 00:04:56,640 --> 00:04:59,560 Gdy dodasz te dwa kąty razem To wyjdzie 180 stopni 90 00:04:59,560 --> 00:05:01,750 lub linia prosta. 91 00:05:01,750 --> 00:05:03,790 One uzupełniają się wzajemnie. 92 00:05:03,790 --> 00:05:06,740 Teraz, My także wiemy że te trzy kąty są wewnętrzne 93 00:05:06,740 --> 00:05:08,260 w tym samym trójkącie. 94 00:05:08,260 --> 00:05:12,030 Więc One muszą dać łącznie 180 stopni. 95 00:05:12,030 --> 00:05:19,300 Więc mamy psi -- te psi plus te psi plus psi plus ten 96 00:05:19,300 --> 00:05:25,420 kąt, wynosi 180 minus theta plus 180 minus theta. 97 00:05:25,420 --> 00:05:29,130 Te trzy kąty muszą dać nam 180 stopni. 98 00:05:29,130 --> 00:05:31,740 To są trzy kąty trójkąta. 99 00:05:31,740 --> 00:05:34,605 teraz my możemy odjąć 180 z obu stron. 100 00:05:37,140 --> 00:05:43,260 psi plus psi jest 2 psi minus theta równa się 0. 101 00:05:43,260 --> 00:05:44,840 Dodaj theta do obu stron. 102 00:05:44,840 --> 00:05:48,770 Otrzymasz 2 psi równa się theta. 103 00:05:48,770 --> 00:05:52,850 Pomnóż obie strony przez 1/2 lub podziel obie strony przez 2. 104 00:05:52,850 --> 00:05:56,680 Otrzymasz psi równa się 1/2 theta. 105 00:05:56,680 --> 00:06:00,070 Więc po prostu okazało się to co określiłem do udowodnienia dla specjalnego 106 00:06:00,070 --> 00:06:07,120 przypadku gdzie nasz kąt wpisany jest zdefiniowany, w którym jeden z 107 00:06:07,120 --> 00:06:11,200 promieni, Jeśli Ty chcesz zobaczyć tą linię jako promień, w którym jeden z 108 00:06:11,200 --> 00:06:15,220 promieni definuje ten wpisany kąt jest 109 00:06:15,220 --> 00:06:17,180 wzdłuż średnicy. 110 00:06:17,180 --> 00:06:19,200 Średnica stanowi część tego promienia. 111 00:06:19,200 --> 00:06:21,720 Więc jest to szczególny przypadek, w którym jedna krawędź jest 112 00:06:21,720 --> 00:06:23,760 znajduje się na średnicy. 113 00:06:23,760 --> 00:06:27,660 Więc możemy już uogólnić to. 114 00:06:27,660 --> 00:06:30,580 Więc teraz my wiemy że Jeśli to jest 50 więc to będzie 115 00:06:30,580 --> 00:06:32,820 100 stopni również, prawda? 116 00:06:32,820 --> 00:06:37,460 Jaka kolwiek jest psi lub jakakolwiek jest teta, psi będzie połową tego, 117 00:06:37,460 --> 00:06:40,450 lub jaka kolwiek jest psi, theta będzie 118 00:06:40,450 --> 00:06:41,830 2 razy większa od tego. 119 00:06:41,830 --> 00:06:44,110 Teraz to będzie się pojawiać za każdym razem. 120 00:06:44,110 --> 00:06:55,440 My możemy użyć tej notacji za każdym razem -- więc używając to 121 00:06:55,440 --> 00:06:59,460 otrzymamy wynik, możemy nieco to uogólnić, 122 00:06:59,460 --> 00:07:02,890 choć nie będzie to pojawiało się we wszystkich kątach wpisanych. 123 00:07:02,890 --> 00:07:05,090 Mamy kąt wpisany który wygląda tak. 124 00:07:10,680 --> 00:07:12,980 Te położenie, centralne, może wyglądać jak by 125 00:07:12,980 --> 00:07:15,470 wewnątrz konta. 126 00:07:15,470 --> 00:07:17,150 To jest mój kąt wpisany. 127 00:07:17,150 --> 00:07:18,890 I ja chcę znaleźć związki między tym 128 00:07:18,890 --> 00:07:22,450 wpisanym kątem a kątem środkowym opisanym 129 00:07:22,450 --> 00:07:24,360 na tym samym łuku. 130 00:07:24,360 --> 00:07:29,880 Więc to jest mój kąt środkowy opisany na tym łuku. 131 00:07:29,880 --> 00:07:33,550 Więc, możesz powiedzieć, hey, gee, żaden z tych końców lub tych 132 00:07:33,550 --> 00:07:37,310 cięciw nie określa tego kąta, żadna tych średnic, 133 00:07:37,310 --> 00:07:40,400 ale co możemy zrobić jeśli możemy narysować średnicę. 134 00:07:40,400 --> 00:07:43,300 Jeśli w środku jest jeden z dwóch cięciw my 135 00:07:43,300 --> 00:07:46,100 możemy narysować średnicę. 136 00:07:46,100 --> 00:07:48,920 My możemy narysować średnicę właśnie tak. 137 00:07:48,920 --> 00:07:51,680 Jeśli my naryujemy średnicę właśnie tak, jeśli określimy ten kąt 138 00:07:51,680 --> 00:07:55,430 jako psi 1, ten kąt jako psi 2. 139 00:07:55,430 --> 00:07:58,320 Oczywiście psi jest sumą tych dwóch kątów. 140 00:07:58,320 --> 00:08:04,350 Nazwijmy ten kąt theta 1, a ten kąt teta 2. 141 00:08:04,350 --> 00:08:07,240 Od razu wiemy że,odtrzymałem wynik 142 00:08:07,240 --> 00:08:12,540 ponieważ mamy jeden bok naszego kąta w obu przypadkach 143 00:08:12,540 --> 00:08:18,260 jako średnica, my wiemy że psi 1 będzie 144 00:08:18,260 --> 00:08:22,010 połową theta 1. 145 00:08:22,010 --> 00:08:24,870 My wiemy że psi 2 będzie połową theta 2. 146 00:08:24,870 --> 00:08:30,140 Psi 2 będzie połową theta 2. 147 00:08:30,140 --> 00:08:39,850 Więc psi, to jest psi1 plus psi 2, więc psi 1 plus psi 2 będzie 148 00:08:39,850 --> 00:08:41,120 równe tym dwóm rzeczom. 149 00:08:41,120 --> 00:08:47,580 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2 150 00:08:47,580 --> 00:08:51,180 psi 1 plus psi 2, równa się pierwszemu wpisanemu 151 00:08:51,180 --> 00:08:53,850 kątowi jaki chcemy traktować właśnie jako reguralne psi. 152 00:08:53,850 --> 00:08:54,980 To jest psi. 153 00:08:54,980 --> 00:08:58,350 I to właśnie tu, to jest równe połowie 154 00:08:58,350 --> 00:09:00,960 theta 1 plus theta 2. 155 00:09:00,960 --> 00:09:03,960 Co to jest theta 1 plus theta 2? 156 00:09:03,960 --> 00:09:06,470 Więc właśnie to jest nasza orginalna theta z którą 157 00:09:06,470 --> 00:09:08,490 mieliśmy do czynienia. 158 00:09:08,490 --> 00:09:12,080 Więc teraz my widzidzmy że psi jest równe połowie theta. 159 00:09:12,080 --> 00:09:14,710 Więc teraz my udowodniliśmy to dla nieco bardziej ogólnych przypadków 160 00:09:14,710 --> 00:09:20,020 gdzie naszym środkiem jest wewnątrz dwóch promieni 161 00:09:20,020 --> 00:09:21,640 określonych jako kąt. 162 00:09:21,640 --> 00:09:27,100 Teraz, jeszcze nie weżmiemy się za nie co trudniejsze sytuacje 163 00:09:27,100 --> 00:09:33,660 ale bardziej ogólne sytuacje gdzie jeśli jest w środku naszego 164 00:09:33,660 --> 00:09:39,420 koła i ja mam kąt wpisany którego środek jest 165 00:09:39,420 --> 00:09:40,990 usytuwoany wewnątrz dwóch cięciw. 166 00:09:40,990 --> 00:09:41,820 Narysuję to. 167 00:09:41,820 --> 00:09:48,800 Więc to będzie wierzchołek, zaznaczę go kolorem, 168 00:09:48,800 --> 00:09:51,540 powiedzmy że to jest jedna z cięciw określonego 169 00:09:51,540 --> 00:09:53,320 kąta, właśnie jak tutaj. 170 00:09:53,320 --> 00:09:57,860 I powiedzmy że inna cięciwa określonego 171 00:09:57,860 --> 00:09:59,170 kąta jest jak tutaj. 172 00:09:59,170 --> 00:10:02,500 Więc jak możemy znaleźć relacje pomiędzy, 173 00:10:02,500 --> 00:10:07,910 nazwijmy, ten kąt właśnie tutaj, nazwijmy psi 1. 174 00:10:07,910 --> 00:10:13,050 Jak my możemy znaleźć relacje pomiędzy psi 1 i środkowym 175 00:10:13,050 --> 00:10:16,160 kątem umieszczonym na tym samym łuku? 176 00:10:16,160 --> 00:10:19,530 Więc mówiłem o jakimś łuku, tak jak właśnie tutaj. 177 00:10:19,530 --> 00:10:22,720 Kąt wpisany opisany jest na tym łuku 178 00:10:22,720 --> 00:10:23,660 co wygląda jak tu. 179 00:10:28,150 --> 00:10:32,910 Nazwijmy to theta 1. 180 00:10:32,910 --> 00:10:36,770 Co możemy zrobić, wykorzystując to co właśnie się dowiedziałem gdy jeden z boków 181 00:10:36,770 --> 00:10:39,350 naszego kątu wpisanego jest średnicą. 182 00:10:39,350 --> 00:10:41,135 Skonstruujmy to. 183 00:10:41,135 --> 00:10:44,260 Narysujmy średnicę tutaj. 184 00:10:44,260 --> 00:10:47,010 Jako wynik my chcemy nadal, że to powinno być połową 185 00:10:47,010 --> 00:10:48,180 tego, ale udowodnijmy to. 186 00:10:48,180 --> 00:10:57,560 Namalujmy średnicę właśnie tak. 187 00:10:57,560 --> 00:11:09,490 Nazwijmy ten kąt właśnie tutaj, nawijmy go jako psi 2. 188 00:11:09,490 --> 00:11:14,770 To jest opisane na tym łuku - - róbmy to 189 00:11:14,770 --> 00:11:16,140 na ciemniejszy kolor. 190 00:11:16,140 --> 00:11:19,770 To jest opisane na tym łuku jak tam. 191 00:11:19,770 --> 00:11:22,360 Kąt środkowy jest opisany na tym samym łuku, 192 00:11:22,360 --> 00:11:25,300 nazwijmy go theta 2. 193 00:11:25,300 --> 00:11:30,890 Teraz, my wiemy z wcześniejszej części tego video że psi 2 194 00:11:30,890 --> 00:11:37,600 będzie równe połowie theta, prawda? 195 00:11:37,600 --> 00:11:40,760 Średnica jest tutaj. 196 00:11:40,760 --> 00:11:44,300 Średnica jest jedną z cięciw kąta. 197 00:11:44,300 --> 00:11:47,500 Więc psi 2 będzie równe połowie theta 2 198 00:11:50,140 --> 00:11:52,810 To jest dokładnie to co było zrobione w ostatnim video, prawda? 199 00:11:52,810 --> 00:11:55,430 To jest kąt wpisany. 200 00:11:55,430 --> 00:11:59,550 Jedna z cięciw określona jest jako średnica. 201 00:11:59,550 --> 00:12:02,740 Więc to będzie połowa kąta, kąta środkowego 202 00:12:02,740 --> 00:12:05,980 opisanego na tym samym łuku. 203 00:12:05,980 --> 00:12:09,000 Teraz, zobaczmy na ten więksy kąt. 204 00:12:09,000 --> 00:12:11,680 Ten większy kąt jest tutaj. 205 00:12:11,680 --> 00:12:14,240 Psi 1 plus psi 2. 206 00:12:14,240 --> 00:12:22,720 Dobrze, większy kąt jest psi 1 plus psi 2. 207 00:12:22,720 --> 00:12:28,680 Jeszcze raz, ten leżący na przeciwko tego całego łuku jak tutaj, 208 00:12:28,680 --> 00:12:32,100 jest średnicą tak jak jedna z cięciw określona 209 00:12:32,100 --> 00:12:34,310 w tym gromnym kącie. 210 00:12:34,310 --> 00:12:37,380 Więc to będie połowa kąta środkowego 211 00:12:37,380 --> 00:12:38,580 naprzeciwko tego samego łuku. 212 00:12:38,580 --> 00:12:42,270 My używamy to co już przedstawialiśmy w tym video. 213 00:12:42,270 --> 00:12:47,390 Więc to będzie równe połowie tego ogromnego środkowego kąta 214 00:12:47,390 --> 00:12:51,370 theta 1 plus theta 2. 215 00:12:54,310 --> 00:12:56,530 Do tej pory używaliśmy wszystko co się nauczyliśmy 216 00:12:56,530 --> 00:12:58,160 wcześniej w tym video. 217 00:12:58,160 --> 00:13:03,160 Teraz, wiemy jeszcze że psi 2 jest równe połowie theta 2. 218 00:13:03,160 --> 00:13:05,630 Więc pozwól mi że podstawię. 219 00:13:05,630 --> 00:13:07,030 To jest równe to. 220 00:13:07,030 --> 00:13:15,330 Więc my możemy powiedzieć że si 1 plus -- zamiast si 2 ja napiszę 221 00:13:15,330 --> 00:13:26,630 1/2 theta 2 jest równe 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2. 222 00:13:30,340 --> 00:13:34,020 My możemy odjąć połowę teta 2 z obu boków, i 223 00:13:34,020 --> 00:13:35,740 my mamy nasz wynik. 224 00:13:35,740 --> 00:13:40,900 Si 1 jest równe połowie theta jeden. 225 00:13:40,900 --> 00:13:41,970 I teraz mamy zrobione. 226 00:13:41,970 --> 00:13:44,990 Udowodniliśmy sytuację że kąt wpisany jest 227 00:13:44,990 --> 00:13:50,680 zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, 228 00:13:50,680 --> 00:13:53,980 nie zależnie czy środek koła znajduje się wewnątrz 229 00:13:53,980 --> 00:13:58,990 kąta, czy na zewnątrz kąta, czy jeśli mamy 230 00:13:58,990 --> 00:14:00,950 średnicę jako jeden bok. 231 00:14:00,950 --> 00:14:05,860 Więc inne kąty mogą być konstruowane jak suma 232 00:14:05,860 --> 00:14:08,300 wszelkich, lub wszystkie takie że mamy już zrobione. 233 00:14:08,300 --> 00:14:10,190 Mam nadzieję że było to przydatne i teraz możemy aktualnie 234 00:14:10,190 --> 00:14:14,630 zbudować na podstawie tegobardziej interesujące 235 00:14:14,630 --> 00:14:16,460 dowody geometryczne.