0:00:00.690,0:00:03.450 Na tym nagraniu chciałbym udowodnić jeden z bardziej 0:00:03.450,0:00:08.980 użytecznych faktów w geometrii, czyli że kąt wpisany 0:00:08.980,0:00:14.950 - to jest kąt, którego wierzchołek leży na obwodzie 0:00:14.950,0:00:17.080 koła. 0:00:17.080,0:00:19.800 Czyli to jest nasz kąt wpisany. 0:00:19.800,0:00:24.950 Oznaczę go przez psi - będę używać psi dla kątów wpisanych. 0:00:24.950,0:00:27.170 i kątów na tym nagraniu. 0:00:27.170,0:00:33.530 To psi, wpisany kąt, będzie dokładnie połową 0:00:33.530,0:00:37.880 kąta środkowego opartego na tym samym łuku. 0:00:37.880,0:00:40.730 Użyłem właśnie dużo mądrych słów, ale myśę 0:00:40.730,0:00:41.650 że domyślacie się o czym mówię. 0:00:41.650,0:00:42.820 Więc to jest psi. 0:00:42.820,0:00:44.470 To jest kąt wpisany 0:00:44.470,0:00:48.710 Jego wierzhołek leży na obwodzie okręgu. 0:00:48.710,0:00:52.570 Jeśli narysuje się dwa promienie wychodzące z tego kąta 0:00:52.570,0:00:56.040 czy dwie półproste, które określają ten kąt, przetną one 0:00:56.040,0:00:57.340 okrąg po drugiej stronie 0:00:57.340,0:01:00.390 I jeśli spojrzycie na część obwodu koła 0:01:00.390,0:01:03.730 która jest wewnątrz, to mamy łuk który jest 0:01:03.730,0:01:06.160 "ograniczony" przez psi 0:01:06.160,0:01:09.010 To wszystko mądre słowa, ale myślę że idea jest 0:01:09.010,0:01:09.920 raczej jasna. 0:01:09.920,0:01:28.485 Tutaj mamy łuk ograniczony przez psi, gdzie psi jest 0:01:28.485,0:01:31.560 tym kątem wpisanym, z wierchołkiem leżącym 0:01:31.560,0:01:32.400 na okręgu. 0:01:32.400,0:01:37.920 Natomiast kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek 0:01:37.920,0:01:39.460 leży w środku okręgu. 0:01:39.460,0:01:41.880 Powiedzmy, że tutaj - spróbuję tak na oko 0:01:41.880,0:01:45.510 - że tutaj jest środek tego okręgu. 0:01:45.510,0:01:51.360 Narysuję kąt środkowy leżący na tym samym łuku 0:01:51.360,0:01:58.470 Tak wygląda kąt środkowy leżący na tym samym łuku. 0:01:58.470,0:01:59.390 Właśnie tak. 0:01:59.390,0:02:01.440 Nazwijmy go teta. 0:02:01.440,0:02:06.030 Czyli ten kąt to psi, ten tutak to teta. 0:02:06.030,0:02:10.120 Na tym nagraniu udowodnię, że psi jest zawsze 0:02:10.120,0:02:14.050 równe 1/2 teta. 0:02:14.050,0:02:18.220 Czyli gdybym powidział wam, że psi jest równe, powiedzmy, 0:02:18.220,0:02:21.330 25 stopni, wtedy wiecie natychmiast, że teta 0:02:21.330,0:02:23.090 musi być równy 50 stopni. 0:02:23.090,0:02:26.080 A gdybym powidział, że teta ma 80 stopni, wtedy 0:02:26.080,0:02:29.300 wiedzielibyście od razu, że psi ma 40 stopni. 0:02:29.300,0:02:31.500 Udowodnijmy to więc. 0:02:31.500,0:02:34.520 Zmaże tablicę. 0:02:34.520,0:02:37.730 Dobrym miejscem żeby zacząć, a przynajmniej ja zmierzam tu zacząć 0:02:37.730,0:02:40.460 to przypadek specjalny. 0:02:40.460,0:02:45.250 Narysuję kąt wpisany, którego jedno ramię 0:02:45.250,0:02:47.910 będzie leżeć na średnicy okręgu. 0:02:47.910,0:02:50.526 Nie będzie to przypadek ogólny, tylko 0:02:50.526,0:02:51.320 przypadek specjalny. 0:02:51.320,0:02:55.325 Popatrzmy więc, to jest środek okręgu. 0:02:55.325,0:02:59.030 Próbuję wybrać na oko. 0:02:59.030,0:03:00.770 Środek jest mniej więcej tutaj. 0:03:00.770,0:03:04.210 Narysuję średnicę. 0:03:04.210,0:03:06.440 Średnica wygląda mniej więcej tak. 0:03:06.440,0:03:09.410 Teraz narysuję mój kąt wpisany. 0:03:09.410,0:03:11.860 Ta średnica to jedno z jego ramion 0:03:11.860,0:03:15.910 A drugie ramię może być jakieś takie. 0:03:15.910,0:03:20.520 Nazwę go psi. 0:03:20.520,0:03:27.120 Jeśli to jest psi, ta długoś tutaj to promień - to jest 0:03:27.120,0:03:29.330 nasz promień naszego okręgu. 0:03:29.330,0:03:33.080 Wtedy ta długość tutaj również będzie promieniem 0:03:33.080,0:03:35.760 naszego okręgu, idąca od środka do obwodu. 0:03:35.760,0:03:38.130 Okrąg jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich punktów, które 0:03:38.130,0:03:40.340 są odległe od środka o promień. 0:03:40.340,0:03:43.610 Czyli to także jest promień. 0:03:43.610,0:03:47.920 Teraz ten trójkąt jest równoramienny. 0:03:47.920,0:03:49.890 Ma dwa boki, które są sobie równe. 0:03:49.890,0:03:51.880 Te dwie strony są na pewno równe. 0:03:51.880,0:03:54.630 Wiemy, że jeśli mamy dwa boki równe w trójkącie, 0:03:54.630,0:03:57.290 to kąty przy podstawie są równe. 0:03:57.290,0:04:00.640 Czyli to także jest równe psi. 0:04:00.640,0:04:02.130 Być może nie rozpoznasz tego ponieważ to 0:04:02.130,0:04:03.180 jest obrócone. 0:04:03.180,0:04:05.720 Ale, Myślę że wielu z nas gdy widzi trókąt który wygląda jak 0:04:05.720,0:04:10.940 ten, Gdybym powiedział tobie to jest r i to jest r, to te dwa 0:04:10.940,0:04:17.860 boki są równe, i jeśli to jest psi, wtedy również 0:04:17.860,0:04:20.830 wiemy że ten kąt również będzie psi. 0:04:20.830,0:04:23.930 Kąty przy podstawie są odpowiednikami dla trójkąta równoramiennego. 0:04:23.930,0:04:26.720 Więc to jest psi, i to także psi. 0:04:26.720,0:04:29.770 Teraz, spoójrzmy na kąt środkowy. 0:04:29.770,0:04:32.710 To jest kąt środkowy leżący na przeciwko łuku arc. 0:04:32.710,0:04:35.920 Zaznaczę cały arc które leżą na przeciwko kąta. 0:04:35.920,0:04:40.300 To właśnie tutaj jest arc leżący na przeciwko. 0:04:40.300,0:04:44.350 Więc to jest mój kąt środkowy, theta. 0:04:44.350,0:04:49.000 Teraz jeśli kąt jest theta, co to za kąt będzie? 0:04:49.000,0:04:50.620 To kąt ten tutaj. 0:04:50.620,0:04:53.010 Więc, ten kąt jest uzupełniający do theta 0:04:53.010,0:04:56.640 więc to jest 180 minus theta. 0:04:56.640,0:04:59.560 Gdy dodasz te dwa kąty razem To wyjdzie 180 stopni 0:04:59.560,0:05:01.750 lub linia prosta. 0:05:01.750,0:05:03.790 One uzupełniają się wzajemnie. 0:05:03.790,0:05:06.740 Teraz, My także wiemy że te trzy kąty są wewnętrzne 0:05:06.740,0:05:08.260 w tym samym trójkącie. 0:05:08.260,0:05:12.030 Więc One muszą dać łącznie 180 stopni. 0:05:12.030,0:05:19.300 Więc mamy psi -- te psi plus te psi plus psi plus ten 0:05:19.300,0:05:25.420 kąt, wynosi 180 minus theta plus 180 minus theta. 0:05:25.420,0:05:29.130 Te trzy kąty muszą dać nam 180 stopni. 0:05:29.130,0:05:31.740 To są trzy kąty trójkąta. 0:05:31.740,0:05:34.605 teraz my możemy odjąć 180 z obu stron. 0:05:37.140,0:05:43.260 psi plus psi jest 2 psi minus theta równa się 0. 0:05:43.260,0:05:44.840 Dodaj theta do obu stron. 0:05:44.840,0:05:48.770 Otrzymasz 2 psi równa się theta. 0:05:48.770,0:05:52.850 Pomnóż obie strony przez 1/2 lub podziel obie strony przez 2. 0:05:52.850,0:05:56.680 Otrzymasz psi równa się 1/2 theta. 0:05:56.680,0:06:00.070 Więc po prostu okazało się to co określiłem do udowodnienia dla specjalnego 0:06:00.070,0:06:07.120 przypadku gdzie nasz kąt wpisany jest zdefiniowany, w którym jeden z 0:06:07.120,0:06:11.200 promieni, Jeśli Ty chcesz zobaczyć tą linię jako promień, w którym jeden z 0:06:11.200,0:06:15.220 promieni definuje ten wpisany kąt jest 0:06:15.220,0:06:17.180 wzdłuż średnicy. 0:06:17.180,0:06:19.200 Średnica stanowi część tego promienia. 0:06:19.200,0:06:21.720 Więc jest to szczególny przypadek, w którym jedna krawędź jest 0:06:21.720,0:06:23.760 znajduje się na średnicy. 0:06:23.760,0:06:27.660 Więc możemy już uogólnić to. 0:06:27.660,0:06:30.580 Więc teraz my wiemy że Jeśli to jest 50 więc to będzie 0:06:30.580,0:06:32.820 100 stopni również, prawda? 0:06:32.820,0:06:37.460 Jaka kolwiek jest psi lub jakakolwiek jest teta, psi będzie połową tego, 0:06:37.460,0:06:40.450 lub jaka kolwiek jest psi, theta będzie 0:06:40.450,0:06:41.830 2 razy większa od tego. 0:06:41.830,0:06:44.110 Teraz to będzie się pojawiać za każdym razem. 0:06:44.110,0:06:55.440 My możemy użyć tej notacji za każdym razem -- więc używając to 0:06:55.440,0:06:59.460 otrzymamy wynik, możemy nieco to uogólnić, 0:06:59.460,0:07:02.890 choć nie będzie to pojawiało się we wszystkich kątach wpisanych. 0:07:02.890,0:07:05.090 Mamy kąt wpisany który wygląda tak. 0:07:10.680,0:07:12.980 Te położenie, centralne, może wyglądać jak by 0:07:12.980,0:07:15.470 wewnątrz konta. 0:07:15.470,0:07:17.150 To jest mój kąt wpisany. 0:07:17.150,0:07:18.890 I ja chcę znaleźć związki między tym 0:07:18.890,0:07:22.450 wpisanym kątem a kątem środkowym opisanym 0:07:22.450,0:07:24.360 na tym samym łuku. 0:07:24.360,0:07:29.880 Więc to jest mój kąt środkowy opisany na tym łuku. 0:07:29.880,0:07:33.550 Więc, możesz powiedzieć, hey, gee, żaden z tych końców lub tych 0:07:33.550,0:07:37.310 cięciw nie określa tego kąta, żadna tych średnic, 0:07:37.310,0:07:40.400 ale co możemy zrobić jeśli możemy narysować średnicę. 0:07:40.400,0:07:43.300 Jeśli w środku jest jeden z dwóch cięciw my 0:07:43.300,0:07:46.100 możemy narysować średnicę. 0:07:46.100,0:07:48.920 My możemy narysować średnicę właśnie tak. 0:07:48.920,0:07:51.680 Jeśli my naryujemy średnicę właśnie tak, jeśli określimy ten kąt 0:07:51.680,0:07:55.430 jako psi 1, ten kąt jako psi 2. 0:07:55.430,0:07:58.320 Oczywiście psi jest sumą tych dwóch kątów. 0:07:58.320,0:08:04.350 Nazwijmy ten kąt theta 1, a ten kąt teta 2. 0:08:04.350,0:08:07.240 Od razu wiemy że,odtrzymałem wynik 0:08:07.240,0:08:12.540 ponieważ mamy jeden bok naszego kąta w obu przypadkach 0:08:12.540,0:08:18.260 jako średnica, my wiemy że psi 1 będzie 0:08:18.260,0:08:22.010 połową theta 1. 0:08:22.010,0:08:24.870 My wiemy że psi 2 będzie połową theta 2. 0:08:24.870,0:08:30.140 Psi 2 będzie połową theta 2. 0:08:30.140,0:08:39.850 Więc psi, to jest psi1 plus psi 2, więc psi 1 plus psi 2 będzie 0:08:39.850,0:08:41.120 równe tym dwóm rzeczom. 0:08:41.120,0:08:47.580 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2 0:08:47.580,0:08:51.180 psi 1 plus psi 2, równa się pierwszemu wpisanemu 0:08:51.180,0:08:53.850 kątowi jaki chcemy traktować właśnie jako reguralne psi. 0:08:53.850,0:08:54.980 To jest psi. 0:08:54.980,0:08:58.350 I to właśnie tu, to jest równe połowie 0:08:58.350,0:09:00.960 theta 1 plus theta 2. 0:09:00.960,0:09:03.960 Co to jest theta 1 plus theta 2? 0:09:03.960,0:09:06.470 Więc właśnie to jest nasza orginalna theta z którą 0:09:06.470,0:09:08.490 mieliśmy do czynienia. 0:09:08.490,0:09:12.080 Więc teraz my widzidzmy że psi jest równe połowie theta. 0:09:12.080,0:09:14.710 Więc teraz my udowodniliśmy to dla nieco bardziej ogólnych przypadków 0:09:14.710,0:09:20.020 gdzie naszym środkiem jest wewnątrz dwóch promieni 0:09:20.020,0:09:21.640 określonych jako kąt. 0:09:21.640,0:09:27.100 Teraz, jeszcze nie weżmiemy się za nie co trudniejsze sytuacje 0:09:27.100,0:09:33.660 ale bardziej ogólne sytuacje gdzie jeśli jest w środku naszego 0:09:33.660,0:09:39.420 koła i ja mam kąt wpisany którego środek jest 0:09:39.420,0:09:40.990 usytuwoany wewnątrz dwóch cięciw. 0:09:40.990,0:09:41.820 Narysuję to. 0:09:41.820,0:09:48.800 Więc to będzie wierzchołek, zaznaczę go kolorem, 0:09:48.800,0:09:51.540 powiedzmy że to jest jedna z cięciw określonego 0:09:51.540,0:09:53.320 kąta, właśnie jak tutaj. 0:09:53.320,0:09:57.860 I powiedzmy że inna cięciwa określonego 0:09:57.860,0:09:59.170 kąta jest jak tutaj. 0:09:59.170,0:10:02.500 Więc jak możemy znaleźć relacje pomiędzy, 0:10:02.500,0:10:07.910 nazwijmy, ten kąt właśnie tutaj, nazwijmy psi 1. 0:10:07.910,0:10:13.050 Jak my możemy znaleźć relacje pomiędzy psi 1 i środkowym 0:10:13.050,0:10:16.160 kątem umieszczonym na tym samym łuku? 0:10:16.160,0:10:19.530 Więc mówiłem o jakimś łuku, tak jak właśnie tutaj. 0:10:19.530,0:10:22.720 Kąt wpisany opisany jest na tym łuku 0:10:22.720,0:10:23.660 co wygląda jak tu. 0:10:28.150,0:10:32.910 Nazwijmy to theta 1. 0:10:32.910,0:10:36.770 Co możemy zrobić, wykorzystując to co właśnie się dowiedziałem gdy jeden z boków 0:10:36.770,0:10:39.350 naszego kątu wpisanego jest średnicą. 0:10:39.350,0:10:41.135 Skonstruujmy to. 0:10:41.135,0:10:44.260 Narysujmy średnicę tutaj. 0:10:44.260,0:10:47.010 Jako wynik my chcemy nadal, że to powinno być połową 0:10:47.010,0:10:48.180 tego, ale udowodnijmy to. 0:10:48.180,0:10:57.560 Namalujmy średnicę właśnie tak. 0:10:57.560,0:11:09.490 Nazwijmy ten kąt właśnie tutaj, nawijmy go jako psi 2. 0:11:09.490,0:11:14.770 To jest opisane na tym łuku - - róbmy to 0:11:14.770,0:11:16.140 na ciemniejszy kolor. 0:11:16.140,0:11:19.770 To jest opisane na tym łuku jak tam. 0:11:19.770,0:11:22.360 Kąt środkowy jest opisany na tym samym łuku, 0:11:22.360,0:11:25.300 nazwijmy go theta 2. 0:11:25.300,0:11:30.890 Teraz, my wiemy z wcześniejszej części tego video że psi 2 0:11:30.890,0:11:37.600 będzie równe połowie theta, prawda? 0:11:37.600,0:11:40.760 Średnica jest tutaj. 0:11:40.760,0:11:44.300 Średnica jest jedną z cięciw kąta. 0:11:44.300,0:11:47.500 Więc psi 2 będzie równe połowie theta 2 0:11:50.140,0:11:52.810 To jest dokładnie to co było zrobione w ostatnim video, prawda? 0:11:52.810,0:11:55.430 To jest kąt wpisany. 0:11:55.430,0:11:59.550 Jedna z cięciw określona jest jako średnica. 0:11:59.550,0:12:02.740 Więc to będzie połowa kąta, kąta środkowego 0:12:02.740,0:12:05.980 opisanego na tym samym łuku. 0:12:05.980,0:12:09.000 Teraz, zobaczmy na ten więksy kąt. 0:12:09.000,0:12:11.680 Ten większy kąt jest tutaj. 0:12:11.680,0:12:14.240 Psi 1 plus psi 2. 0:12:14.240,0:12:22.720 Dobrze, większy kąt jest psi 1 plus psi 2. 0:12:22.720,0:12:28.680 Jeszcze raz, ten leżący na przeciwko tego całego łuku jak tutaj, 0:12:28.680,0:12:32.100 jest średnicą tak jak jedna z cięciw określona 0:12:32.100,0:12:34.310 w tym gromnym kącie. 0:12:34.310,0:12:37.380 Więc to będie połowa kąta środkowego 0:12:37.380,0:12:38.580 naprzeciwko tego samego łuku. 0:12:38.580,0:12:42.270 My używamy to co już przedstawialiśmy w tym video. 0:12:42.270,0:12:47.390 Więc to będzie równe połowie tego ogromnego środkowego kąta 0:12:47.390,0:12:51.370 theta 1 plus theta 2. 0:12:54.310,0:12:56.530 Do tej pory używaliśmy wszystko co się nauczyliśmy 0:12:56.530,0:12:58.160 wcześniej w tym video. 0:12:58.160,0:13:03.160 Teraz, wiemy jeszcze że psi 2 jest równe połowie theta 2. 0:13:03.160,0:13:05.630 Więc pozwól mi że podstawię. 0:13:05.630,0:13:07.030 To jest równe to. 0:13:07.030,0:13:15.330 Więc my możemy powiedzieć że si 1 plus -- zamiast si 2 ja napiszę 0:13:15.330,0:13:26.630 1/2 theta 2 jest równe 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2. 0:13:30.340,0:13:34.020 My możemy odjąć połowę teta 2 z obu boków, i 0:13:34.020,0:13:35.740 my mamy nasz wynik. 0:13:35.740,0:13:40.900 Si 1 jest równe połowie theta jeden. 0:13:40.900,0:13:41.970 I teraz mamy zrobione. 0:13:41.970,0:13:44.990 Udowodniliśmy sytuację że kąt wpisany jest 0:13:44.990,0:13:50.680 zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, 0:13:50.680,0:13:53.980 nie zależnie czy środek koła znajduje się wewnątrz 0:13:53.980,0:13:58.990 kąta, czy na zewnątrz kąta, czy jeśli mamy 0:13:58.990,0:14:00.950 średnicę jako jeden bok. 0:14:00.950,0:14:05.860 Więc inne kąty mogą być konstruowane jak suma 0:14:05.860,0:14:08.300 wszelkich, lub wszystkie takie że mamy już zrobione. 0:14:08.300,0:14:10.190 Mam nadzieję że było to przydatne i teraz możemy aktualnie 0:14:10.190,0:14:14.630 zbudować na podstawie tegobardziej interesujące 0:14:14.630,0:14:16.460 dowody geometryczne.