WEBVTT 00:00:00.690 --> 00:00:03.450 Na tym nagraniu chciałbym udowodnić jeden z bardziej 00:00:03.450 --> 00:00:08.980 użytecznych faktów w geometrii, czyli że kąt wpisany 00:00:08.980 --> 00:00:14.950 - to jest kąt, którego wierzchołek leży na obwodzie 00:00:14.950 --> 00:00:17.080 koła. 00:00:17.080 --> 00:00:19.800 Czyli to jest nasz kąt wpisany. 00:00:19.800 --> 00:00:24.950 Oznaczę go przez psi - będę używać psi dla kątów wpisanych. 00:00:24.950 --> 00:00:27.170 i kątów na tym nagraniu. 00:00:27.170 --> 00:00:33.530 To psi, wpisany kąt, będzie dokładnie połową 00:00:33.530 --> 00:00:37.880 kąta środkowego opartego na tym samym łuku. 00:00:37.880 --> 00:00:40.730 Użyłem właśnie dużo mądrych słów, ale myśę 00:00:40.730 --> 00:00:41.650 że domyślacie się o czym mówię. 00:00:41.650 --> 00:00:42.820 Więc to jest psi. 00:00:42.820 --> 00:00:44.470 To jest kąt wpisany 00:00:44.470 --> 00:00:48.710 Jego wierzhołek leży na obwodzie okręgu. 00:00:48.710 --> 00:00:52.570 Jeśli narysuje się dwa promienie wychodzące z tego kąta 00:00:52.570 --> 00:00:56.040 czy dwie półproste, które określają ten kąt, przetną one 00:00:56.040 --> 00:00:57.340 okrąg po drugiej stronie 00:00:57.340 --> 00:01:00.390 I jeśli spojrzycie na część obwodu koła 00:01:00.390 --> 00:01:03.730 która jest wewnątrz, to mamy łuk który jest 00:01:03.730 --> 00:01:06.160 "ograniczony" przez psi 00:01:06.160 --> 00:01:09.010 To wszystko mądre słowa, ale myślę że idea jest 00:01:09.010 --> 00:01:09.920 raczej jasna. 00:01:09.920 --> 00:01:28.485 Tutaj mamy łuk ograniczony przez psi, gdzie psi jest 00:01:28.485 --> 00:01:31.560 tym kątem wpisanym, z wierchołkiem leżącym 00:01:31.560 --> 00:01:32.400 na okręgu. 00:01:32.400 --> 00:01:37.920 Natomiast kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek 00:01:37.920 --> 00:01:39.460 leży w środku okręgu. 00:01:39.460 --> 00:01:41.880 Powiedzmy, że tutaj - spróbuję tak na oko 00:01:41.880 --> 00:01:45.510 - że tutaj jest środek tego okręgu. 00:01:45.510 --> 00:01:51.360 Narysuję kąt środkowy leżący na tym samym łuku 00:01:51.360 --> 00:01:58.470 Tak wygląda kąt środkowy leżący na tym samym łuku. 00:01:58.470 --> 00:01:59.390 Właśnie tak. 00:01:59.390 --> 00:02:01.440 Nazwijmy go teta. 00:02:01.440 --> 00:02:06.030 Czyli ten kąt to psi, ten tutak to teta. 00:02:06.030 --> 00:02:10.120 Na tym nagraniu udowodnię, że psi jest zawsze 00:02:10.120 --> 00:02:14.050 równe 1/2 teta. 00:02:14.050 --> 00:02:18.220 Czyli gdybym powidział wam, że psi jest równe, powiedzmy, 00:02:18.220 --> 00:02:21.330 25 stopni, wtedy wiecie natychmiast, że teta 00:02:21.330 --> 00:02:23.090 musi być równy 50 stopni. 00:02:23.090 --> 00:02:26.080 A gdybym powidział, że teta ma 80 stopni, wtedy 00:02:26.080 --> 00:02:29.300 wiedzielibyście od razu, że psi ma 40 stopni. 00:02:29.300 --> 00:02:31.500 Udowodnijmy to więc. 00:02:31.500 --> 00:02:34.520 Zmaże tablicę. 00:02:34.520 --> 00:02:37.730 Dobrym miejscem żeby zacząć, a przynajmniej ja zmierzam tu zacząć 00:02:37.730 --> 00:02:40.460 to przypadek specjalny. 00:02:40.460 --> 00:02:45.250 Narysuję kąt wpisany, którego jedno ramię 00:02:45.250 --> 00:02:47.910 będzie leżeć na średnicy okręgu. 00:02:47.910 --> 00:02:50.526 Nie będzie to przypadek ogólny, tylko 00:02:50.526 --> 00:02:51.320 przypadek specjalny. 00:02:51.320 --> 00:02:55.325 Popatrzmy więc, to jest środek okręgu. 00:02:55.325 --> 00:02:59.030 Próbuję wybrać na oko. 00:02:59.030 --> 00:03:00.770 Środek jest mniej więcej tutaj. 00:03:00.770 --> 00:03:04.210 Narysuję średnicę. 00:03:04.210 --> 00:03:06.440 Średnica wygląda mniej więcej tak. 00:03:06.440 --> 00:03:09.410 Teraz narysuję mój kąt wpisany. 00:03:09.410 --> 00:03:11.860 Ta średnica to jedno z jego ramion 00:03:11.860 --> 00:03:15.910 A drugie ramię może być jakieś takie. 00:03:15.910 --> 00:03:20.520 Nazwę go psi. 00:03:20.520 --> 00:03:27.120 Jeśli to jest psi, ta długoś tutaj to promień - to jest 00:03:27.120 --> 00:03:29.330 nasz promień naszego okręgu. 00:03:29.330 --> 00:03:33.080 Wtedy ta długość tutaj również będzie promieniem 00:03:33.080 --> 00:03:35.760 naszego okręgu, idąca od środka do obwodu. 00:03:35.760 --> 00:03:38.130 Okrąg jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich punktów, które 00:03:38.130 --> 00:03:40.340 są odległe od środka o promień. 00:03:40.340 --> 00:03:43.610 Czyli to także jest promień. 00:03:43.610 --> 00:03:47.920 Teraz ten trójkąt jest równoramienny. 00:03:47.920 --> 00:03:49.890 Ma dwa boki, które są sobie równe. 00:03:49.890 --> 00:03:51.880 Te dwie strony są na pewno równe. 00:03:51.880 --> 00:03:54.630 Wiemy, że jeśli mamy dwa boki równe w trójkącie, 00:03:54.630 --> 00:03:57.290 to kąty przy podstawie są równe. 00:03:57.290 --> 00:04:00.640 Czyli to także jest równe psi. 00:04:00.640 --> 00:04:02.130 Być może nie rozpoznasz tego ponieważ to 00:04:02.130 --> 00:04:03.180 jest obrócone. 00:04:03.180 --> 00:04:05.720 Ale, Myślę że wielu z nas gdy widzi trókąt który wygląda jak 00:04:05.720 --> 00:04:10.940 ten, Gdybym powiedział tobie to jest r i to jest r, to te dwa 00:04:10.940 --> 00:04:17.860 boki są równe, i jeśli to jest psi, wtedy również 00:04:17.860 --> 00:04:20.830 wiemy że ten kąt również będzie psi. 00:04:20.830 --> 00:04:23.930 Kąty przy podstawie są odpowiednikami dla trójkąta równoramiennego. 00:04:23.930 --> 00:04:26.720 Więc to jest psi, i to także psi. 00:04:26.720 --> 00:04:29.770 Teraz, spoójrzmy na kąt środkowy. 00:04:29.770 --> 00:04:32.710 To jest kąt środkowy leżący na przeciwko łuku arc. 00:04:32.710 --> 00:04:35.920 Zaznaczę cały arc które leżą na przeciwko kąta. 00:04:35.920 --> 00:04:40.300 To właśnie tutaj jest arc leżący na przeciwko. 00:04:40.300 --> 00:04:44.350 Więc to jest mój kąt środkowy, theta. 00:04:44.350 --> 00:04:49.000 Teraz jeśli kąt jest theta, co to za kąt będzie? 00:04:49.000 --> 00:04:50.620 To kąt ten tutaj. 00:04:50.620 --> 00:04:53.010 Więc, ten kąt jest uzupełniający do theta 00:04:53.010 --> 00:04:56.640 więc to jest 180 minus theta. 00:04:56.640 --> 00:04:59.560 Gdy dodasz te dwa kąty razem To wyjdzie 180 stopni 00:04:59.560 --> 00:05:01.750 lub linia prosta. 00:05:01.750 --> 00:05:03.790 One uzupełniają się wzajemnie. 00:05:03.790 --> 00:05:06.740 Teraz, My także wiemy że te trzy kąty są wewnętrzne 00:05:06.740 --> 00:05:08.260 w tym samym trójkącie. 00:05:08.260 --> 00:05:12.030 Więc One muszą dać łącznie 180 stopni. 00:05:12.030 --> 00:05:19.300 Więc mamy psi -- te psi plus te psi plus psi plus ten 00:05:19.300 --> 00:05:25.420 kąt, wynosi 180 minus theta plus 180 minus theta. 00:05:25.420 --> 00:05:29.130 Te trzy kąty muszą dać nam 180 stopni. 00:05:29.130 --> 00:05:31.740 To są trzy kąty trójkąta. 00:05:31.740 --> 00:05:34.605 teraz my możemy odjąć 180 z obu stron. 00:05:37.140 --> 00:05:43.260 psi plus psi jest 2 psi minus theta równa się 0. 00:05:43.260 --> 00:05:44.840 Dodaj theta do obu stron. 00:05:44.840 --> 00:05:48.770 Otrzymasz 2 psi równa się theta. 00:05:48.770 --> 00:05:52.850 Pomnóż obie strony przez 1/2 lub podziel obie strony przez 2. 00:05:52.850 --> 00:05:56.680 Otrzymasz psi równa się 1/2 theta. 00:05:56.680 --> 00:06:00.070 Więc po prostu okazało się to co określiłem do udowodnienia dla specjalnego 00:06:00.070 --> 00:06:07.120 przypadku gdzie nasz kąt wpisany jest zdefiniowany, w którym jeden z 00:06:07.120 --> 00:06:11.200 promieni, Jeśli Ty chcesz zobaczyć tą linię jako promień, w którym jeden z 00:06:11.200 --> 00:06:15.220 promieni definuje ten wpisany kąt jest 00:06:15.220 --> 00:06:17.180 wzdłuż średnicy. 00:06:17.180 --> 00:06:19.200 Średnica stanowi część tego promienia. 00:06:19.200 --> 00:06:21.720 Więc jest to szczególny przypadek, w którym jedna krawędź jest 00:06:21.720 --> 00:06:23.760 znajduje się na średnicy. 00:06:23.760 --> 00:06:27.660 Więc możemy już uogólnić to. 00:06:27.660 --> 00:06:30.580 Więc teraz my wiemy że Jeśli to jest 50 więc to będzie 00:06:30.580 --> 00:06:32.820 100 stopni również, prawda? 00:06:32.820 --> 00:06:37.460 Jaka kolwiek jest psi lub jakakolwiek jest teta, psi będzie połową tego, 00:06:37.460 --> 00:06:40.450 lub jaka kolwiek jest psi, theta będzie 00:06:40.450 --> 00:06:41.830 2 razy większa od tego. 00:06:41.830 --> 00:06:44.110 Teraz to będzie się pojawiać za każdym razem. 00:06:44.110 --> 00:06:55.440 My możemy użyć tej notacji za każdym razem -- więc używając to 00:06:55.440 --> 00:06:59.460 otrzymamy wynik, możemy nieco to uogólnić, 00:06:59.460 --> 00:07:02.890 choć nie będzie to pojawiało się we wszystkich kątach wpisanych. 00:07:02.890 --> 00:07:05.090 Mamy kąt wpisany który wygląda tak. 00:07:10.680 --> 00:07:12.980 Te położenie, centralne, może wyglądać jak by 00:07:12.980 --> 00:07:15.470 wewnątrz konta. 00:07:15.470 --> 00:07:17.150 To jest mój kąt wpisany. 00:07:17.150 --> 00:07:18.890 I ja chcę znaleźć związki między tym 00:07:18.890 --> 00:07:22.450 wpisanym kątem a kątem środkowym opisanym 00:07:22.450 --> 00:07:24.360 na tym samym łuku. 00:07:24.360 --> 00:07:29.880 Więc to jest mój kąt środkowy opisany na tym łuku. 00:07:29.880 --> 00:07:33.550 Więc, możesz powiedzieć, hey, gee, żaden z tych końców lub tych 00:07:33.550 --> 00:07:37.310 cięciw nie określa tego kąta, żadna tych średnic, 00:07:37.310 --> 00:07:40.400 ale co możemy zrobić jeśli możemy narysować średnicę. 00:07:40.400 --> 00:07:43.300 Jeśli w środku jest jeden z dwóch cięciw my 00:07:43.300 --> 00:07:46.100 możemy narysować średnicę. 00:07:46.100 --> 00:07:48.920 My możemy narysować średnicę właśnie tak. 00:07:48.920 --> 00:07:51.680 Jeśli my naryujemy średnicę właśnie tak, jeśli określimy ten kąt 00:07:51.680 --> 00:07:55.430 jako psi 1, ten kąt jako psi 2. 00:07:55.430 --> 00:07:58.320 Oczywiście psi jest sumą tych dwóch kątów. 00:07:58.320 --> 00:08:04.350 Nazwijmy ten kąt theta 1, a ten kąt teta 2. 00:08:04.350 --> 00:08:07.240 Od razu wiemy że,odtrzymałem wynik 00:08:07.240 --> 00:08:12.540 ponieważ mamy jeden bok naszego kąta w obu przypadkach 00:08:12.540 --> 00:08:18.260 jako średnica, my wiemy że psi 1 będzie 00:08:18.260 --> 00:08:22.010 połową theta 1. 00:08:22.010 --> 00:08:24.870 My wiemy że psi 2 będzie połową theta 2. 00:08:24.870 --> 00:08:30.140 Psi 2 będzie połową theta 2. 00:08:30.140 --> 00:08:39.850 Więc psi, to jest psi1 plus psi 2, więc psi 1 plus psi 2 będzie 00:08:39.850 --> 00:08:41.120 równe tym dwóm rzeczom. 00:08:41.120 --> 00:08:47.580 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2 00:08:47.580 --> 00:08:51.180 psi 1 plus psi 2, równa się pierwszemu wpisanemu 00:08:51.180 --> 00:08:53.850 kątowi jaki chcemy traktować właśnie jako reguralne psi. 00:08:53.850 --> 00:08:54.980 To jest psi. 00:08:54.980 --> 00:08:58.350 I to właśnie tu, to jest równe połowie 00:08:58.350 --> 00:09:00.960 theta 1 plus theta 2. 00:09:00.960 --> 00:09:03.960 Co to jest theta 1 plus theta 2? 00:09:03.960 --> 00:09:06.470 Więc właśnie to jest nasza orginalna theta z którą 00:09:06.470 --> 00:09:08.490 mieliśmy do czynienia. 00:09:08.490 --> 00:09:12.080 Więc teraz my widzidzmy że psi jest równe połowie theta. 00:09:12.080 --> 00:09:14.710 Więc teraz my udowodniliśmy to dla nieco bardziej ogólnych przypadków 00:09:14.710 --> 00:09:20.020 gdzie naszym środkiem jest wewnątrz dwóch promieni 00:09:20.020 --> 00:09:21.640 określonych jako kąt. 00:09:21.640 --> 00:09:27.100 Teraz, jeszcze nie weżmiemy się za nie co trudniejsze sytuacje 00:09:27.100 --> 00:09:33.660 ale bardziej ogólne sytuacje gdzie jeśli jest w środku naszego 00:09:33.660 --> 00:09:39.420 koła i ja mam kąt wpisany którego środek jest 00:09:39.420 --> 00:09:40.990 usytuwoany wewnątrz dwóch cięciw. 00:09:40.990 --> 00:09:41.820 Narysuję to. 00:09:41.820 --> 00:09:48.800 Więc to będzie wierzchołek, zaznaczę go kolorem, 00:09:48.800 --> 00:09:51.540 powiedzmy że to jest jedna z cięciw określonego 00:09:51.540 --> 00:09:53.320 kąta, właśnie jak tutaj. 00:09:53.320 --> 00:09:57.860 I powiedzmy że inna cięciwa określonego 00:09:57.860 --> 00:09:59.170 kąta jest jak tutaj. 00:09:59.170 --> 00:10:02.500 Więc jak możemy znaleźć relacje pomiędzy, 00:10:02.500 --> 00:10:07.910 nazwijmy, ten kąt właśnie tutaj, nazwijmy psi 1. 00:10:07.910 --> 00:10:13.050 Jak my możemy znaleźć relacje pomiędzy psi 1 i środkowym 00:10:13.050 --> 00:10:16.160 kątem umieszczonym na tym samym łuku? 00:10:16.160 --> 00:10:19.530 Więc mówiłem o jakimś łuku, tak jak właśnie tutaj. 00:10:19.530 --> 00:10:22.720 Kąt wpisany opisany jest na tym łuku 00:10:22.720 --> 00:10:23.660 co wygląda jak tu. 00:10:28.150 --> 00:10:32.910 Nazwijmy to theta 1. 00:10:32.910 --> 00:10:36.770 Co możemy zrobić, wykorzystując to co właśnie się dowiedziałem gdy jeden z boków 00:10:36.770 --> 00:10:39.350 naszego kątu wpisanego jest średnicą. 00:10:39.350 --> 00:10:41.135 Skonstruujmy to. 00:10:41.135 --> 00:10:44.260 Narysujmy średnicę tutaj. 00:10:44.260 --> 00:10:47.010 Jako wynik my chcemy nadal, że to powinno być połową 00:10:47.010 --> 00:10:48.180 tego, ale udowodnijmy to. 00:10:48.180 --> 00:10:57.560 Namalujmy średnicę właśnie tak. 00:10:57.560 --> 00:11:09.490 Nazwijmy ten kąt właśnie tutaj, nawijmy go jako psi 2. 00:11:09.490 --> 00:11:14.770 To jest opisane na tym łuku - - róbmy to 00:11:14.770 --> 00:11:16.140 na ciemniejszy kolor. 00:11:16.140 --> 00:11:19.770 To jest opisane na tym łuku jak tam. 00:11:19.770 --> 00:11:22.360 Kąt środkowy jest opisany na tym samym łuku, 00:11:22.360 --> 00:11:25.300 nazwijmy go theta 2. 00:11:25.300 --> 00:11:30.890 Teraz, my wiemy z wcześniejszej części tego video że psi 2 00:11:30.890 --> 00:11:37.600 będzie równe połowie theta, prawda? 00:11:37.600 --> 00:11:40.760 Średnica jest tutaj. 00:11:40.760 --> 00:11:44.300 Średnica jest jedną z cięciw kąta. 00:11:44.300 --> 00:11:47.500 Więc psi 2 będzie równe połowie theta 2 00:11:50.140 --> 00:11:52.810 To jest dokładnie to co było zrobione w ostatnim video, prawda? 00:11:52.810 --> 00:11:55.430 To jest kąt wpisany. 00:11:55.430 --> 00:11:59.550 Jedna z cięciw określona jest jako średnica. 00:11:59.550 --> 00:12:02.740 Więc to będzie połowa kąta, kąta środkowego 00:12:02.740 --> 00:12:05.980 opisanego na tym samym łuku. 00:12:05.980 --> 00:12:09.000 Teraz, zobaczmy na ten więksy kąt. 00:12:09.000 --> 00:12:11.680 Ten większy kąt jest tutaj. 00:12:11.680 --> 00:12:14.240 Psi 1 plus psi 2. 00:12:14.240 --> 00:12:22.720 Dobrze, większy kąt jest psi 1 plus psi 2. 00:12:22.720 --> 00:12:28.680 Jeszcze raz, ten leżący na przeciwko tego całego łuku jak tutaj, 00:12:28.680 --> 00:12:32.100 jest średnicą tak jak jedna z cięciw określona 00:12:32.100 --> 00:12:34.310 w tym gromnym kącie. 00:12:34.310 --> 00:12:37.380 Więc to będie połowa kąta środkowego 00:12:37.380 --> 00:12:38.580 naprzeciwko tego samego łuku. 00:12:38.580 --> 00:12:42.270 My używamy to co już przedstawialiśmy w tym video. 00:12:42.270 --> 00:12:47.390 Więc to będzie równe połowie tego ogromnego środkowego kąta 00:12:47.390 --> 00:12:51.370 theta 1 plus theta 2. 00:12:54.310 --> 00:12:56.530 Do tej pory używaliśmy wszystko co się nauczyliśmy 00:12:56.530 --> 00:12:58.160 wcześniej w tym video. 00:12:58.160 --> 00:13:03.160 Teraz, wiemy jeszcze że psi 2 jest równe połowie theta 2. 00:13:03.160 --> 00:13:05.630 Więc pozwól mi że podstawię. 00:13:05.630 --> 00:13:07.030 To jest równe to. 00:13:07.030 --> 00:13:15.330 Więc my możemy powiedzieć że si 1 plus -- zamiast si 2 ja napiszę 00:13:15.330 --> 00:13:26.630 1/2 theta 2 jest równe 1/2 theta 1 plus 1/2 theta 2. 00:13:30.340 --> 00:13:34.020 My możemy odjąć połowę teta 2 z obu boków, i 00:13:34.020 --> 00:13:35.740 my mamy nasz wynik. 00:13:35.740 --> 00:13:40.900 Si 1 jest równe połowie theta jeden. 00:13:40.900 --> 00:13:41.970 I teraz mamy zrobione. 00:13:41.970 --> 00:13:44.990 Udowodniliśmy sytuację że kąt wpisany jest 00:13:44.990 --> 00:13:50.680 zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, 00:13:50.680 --> 00:13:53.980 nie zależnie czy środek koła znajduje się wewnątrz 00:13:53.980 --> 00:13:58.990 kąta, czy na zewnątrz kąta, czy jeśli mamy 00:13:58.990 --> 00:14:00.950 średnicę jako jeden bok. 00:14:00.950 --> 00:14:05.860 Więc inne kąty mogą być konstruowane jak suma 00:14:05.860 --> 00:14:08.300 wszelkich, lub wszystkie takie że mamy już zrobione. 00:14:08.300 --> 00:14:10.190 Mam nadzieję że było to przydatne i teraz możemy aktualnie 00:14:10.190 --> 00:14:14.630 zbudować na podstawie tegobardziej interesujące 00:14:14.630 --> 00:14:16.460 dowody geometryczne.