-
Давайте решим несколько уравнений с модулями
-
Для начала вспомним,
-
когда вы берете модуль числа.
-
Скажем, я беру модуль от -1.
-
Что вы на самом деле делаете?
-
Вы говорите, как далеко это число находится от 0?
-
И в случае -1, если мым нарисуем числовую прямую,
-
это очень плохо нарисованная числовая прямая.
-
Если мы нарисуем числовую прямую, это 0.
-
Здесь будет -1.
-
Это на расстоянии 1 от 0.
-
Таким образом, модуль -1 это 1.
-
И модуль 1 - тоже на расстоянии 1 от 0.
-
Он равен 1.
-
Таким образом, модуль числа - это расстояние от нуля.
-
Иначе, я думаю так проще,
-
это всегда положительная версия числа.
-
Модуль -7346 равен 7346.
-
Помня об этом, давайте попробуем
-
решить несколько уравнений с модулями.
-
Скажем, у меня естьуравнение
-
модуль х-5 равно 10.
-
И если интерпретировать это первым способом,
-
и я хочу, чтобы вы подумали над этим, это говорит,
-
что расстояние между x и 5 равно 10.
-
Так сколько чисел находятся на расстоянии ровно 10 от 5.
-
И вы можете уже решить это уравнение,
-
но я покажу вам алгоритм решения таких уравнений.
-
Это может быть правдой в двух случаях.
-
Либо х-5 равно +10.
-
Если это равно +10,
-
то когда вы возьмете модуль,
-
вы получите +10.
-
Или же х-5 равно -10.
-
Если х-5 равно -10, когда вы возьмете модуль,
-
вы опять получите 10.
-
Таким образом, х-5 также может быть равным -10.
-
Оба этих случая будут удовлетворять условиям уравнения.
-
Теперь, чтобы решить это уравнение,
-
добавим 5 к обоим частям этого уравнения.
-
Вы получаете х равно 15.
-
Чтобы решить это уравнение, добавьте 5 к обеим частям уравнения.
-
х равно -5.
-
То есть наше решение
-
содержит два х, которые удовлетворяют этому уравнению.
-
х может быть 15.
-
15-5 это 10, возьмите модуль,
-
и вы получите 10, или х может быть -5.
-
-5 минус 5 это -10.
-
Возьмите модуль, вы получите 10.
-
Добавлю, что оба этих числа
-
находятся на расстоянии ровно 10 от числа 5.
-
Давайте решим еще одно подобное.
-
Давайте решим еще одно.
-
Скажем, у нас есть
-
модуль х + 2 равно 6.
-
О чем это говорит нам?
-
Это значит, что либо х + 2,
-
то, что написано внутри модуля, равно 6.
-
Или выражение под знаком модуля,
-
х + 2, может также быть -6.
-
Если все это равно -6,
-
вы возьмете модуль и получите 6.
-
То есть, или х + 3 может быть равно 6.
-
И затем, если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,
-
вы получите, что х может быть равно 4.
-
Если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,
-
вы получите, что х может быть равно -8.
-
Таким образом, мы имеем два решения уравнения.
-
И чтобы понять результат, вспомним, что
-
модуль можно рассматривать как расстояние,
-
и вы можете переписать эту задачу
-
как модуль х минус -2 равно 6.
-
То здесь нужно узнать,
-
какие значения х находятся на расстоянии ровно 6 от -2.
-
Помните, здесь выше мы говорили,
-
какие значения х находятся на расстоянии 10 от +5?
-
Из какого бы числа вы ни вычитали +5,
-
они оба на расстоянии 10 от +5.
-
Это спрашивает,
-
что находится на расстоянии 6 от -2?
-
И это будут 4 или -8.
-
Вы можете проверить эти числа самостоятельно.
-
Давайте решим еще одно подобное уравнение.
-
Давайте решим еще одно, и мы напишем его фиолетовым.
-
Скажем, у нас есть модуль 4х.
-
Я немного изменю его.
-
4х -1.
-
Модуль 4х -1 равен...
-
пусть будет... равен 10.
-
Как и в предыдущих уравнениях,
-
4х -1 может быть равен 19.
-
Или 4х - 1 может быть равен -19.
-
Потому что когда вы возьмете модуль,
-
вы получите 19.
-
Или 4х -й может быть равно -19.
-
Потом вы просто решаете эти два уравнения.
-
Прибавим 1 к обеим частям этого уравнения.
-
мы даже можем решать их одновременно.
-
Добавьте 1 к обеим частям этого, вы получите 4х = 10.
-
Добавьте 1 к обеим частям этого уравнения,
-
вы получите 4х = -18.
-
Разделите обе части этого на 4, вы получите х равно 5.
-
Поделите обе части этого на 4, вы получите х равно -18/4,
-
что равно -9/2.
-
Оба этих значения х удовлетворяют уравнению.
-
Проверьте.
-
-9/2 умножить на 4.
-
Это будет -18.
-
-18 минус 1 равно -19.
-
Возьмите модуль, вы получите 19.
-
Возьмите 5 здесь, 4 умножить на равно 20.
-
Минус 1 это +19.
-
Возьмите модуль.
-
И опять вы получите 19.
-
Давайте попробуем нарисовать это, ради интереса.
-
Скажем
-
У меня есть у = модулю х +3.
-
То есть это функция
-
с модулем в ней.
-
Давайте подумаем о двух случаях.
-
Вот один случай,
-
когда выражение под модулем положительное.
-
Это случай, когда х + 3
-
Я напишу это здесь: х + 3 > 0.
-
И еще один случай, когда х + 3 < 0.
-
Если х + 3 > 0,
-
этот график, или эта линия... или я думаю мы не можем назвать это линией...
-
эта функция , это то же самое, что у = х + 3.
-
Если это выражение > 0,
-
тогда знак модуля не имеет значения.
-
То есть, тогда это то же самое,
-
что у = х + 3.
-
Но когда х + 3 > 0?
-
Ну, если вы вычтите 3 из обеих частей,
-
вы получите х > -3.
-
То есть, если х > -3,
-
то этот график будет выглядеть, как график у = х + 3.
-
Теперь, когда х + 3 < 0.
-
Это случай, когда это выражение
-
под модулем имеет отрицательное значение,
-
в такой ситуации неравенство будет таким
-
у = - (х + 3).
-
Как это понимать?
-
Посмотите, если это будет отрицательным числом,
-
если х плюс 3 будет отрицательным числом, что мы имеем здесь,
-
если это будет отрицательным числом,
-
тогда если вы возьмете модуль отрицательного числа,
-
вы получите положительное.
-
Это как умножить его на минус 1.
-
Как вы знаете, когда вы берете модуль отричательного числа,
-
это как умножить его на минус 1,
-
потому что вы делаете его положительным.
-
И это будет случай
-
х плюс 3 меньше 0.
-
Если мы вычтем 3 из обеих частей, когда х меньше чем
-
- 3.
-
То есть, когда х меньше -3, график будет выглядеть
-
вот так.
-
Когда х больше -3, график
-
будет выглядеть вот так.
-
Давайте посмотрим, как же будет
-
выглядеть весь график.
-
Давайте, я нарисую систему координат.
-
Это Ось х, это Ось у.
-
Давайте, я перемножу это, чтобы представить это
-
в форме mх + b.
-
Это равно -х -3.
-
Давайте представим, какэтот график
-
будет выглядеть в целом.
-
-х -3.
-
Он пересекает Ось у в точке -3, так 1, 2, 3.
-
А -х, значит что он низходящий,
-
имеет наклон вниз, с коэффициентом 1.
-
Это будет выглядеть так.
-
Пересекает Ось х в точке...
-
Если у равен 0, это случится, если х
-
равен -3.
-
То есть он пройдет через эту линию,
-
эту точку, вот здесь.
-
И график, если он не ограничен здесь,
-
будет выглядеть вот так.
-
Это если мы не ограничиваем его определенным интервалос
-
на оси х.
-
А теперь этот график, как он будет выглядеть?
-
Давайте посмотрим.
-
Он пересекает Ось у в точке +3.
-
Вот так.
-
А где он пересекает Ось х?
-
Если у равен 0, х = -3.
-
То есть он тоже проходит, через эту точку, и
-
имеет коэффициент наклона 1.
-
То есть он будет выглядеть как-то так.
-
Вот как он будет выглядеть.
-
Теперь мы можем представить, что эта функция с модулем,
-
выглядит как этот фиолетовый график, когда х меньше
-
-3.
-
Если х меньше -3... вот здесь х равен
-
-3... когда х меньше
-
-3, он выглядит, как этот фиолетовый график.
-
Вот здесь.
-
Это когда х меньше -3.
-
Но если х больше -3, он выглядит, как
-
зеленый график.
-
Он выглядит вот так.
-
То есть этот график выглядит, как эта странная буква V.
-
Когда х больше -3, он положительный.
-
Поэтому у нас график с положительным наклоном.
-
Но когда х меньше -3, по существу
-
мы берем противоположную функцию, если посмотреть с этой стороны,
-
и поэтому у нас отрицательный наклон.
-
У вас получается V-образная функциия,
-
этот V-образный график, указывающий
-
на фнкцию с модулем.
