WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.880
Давайте решим несколько уравнений с модулями

00:00:03.880 --> 00:00:05.119
Для начала вспомним,

00:00:05.119 --> 00:00:07.650
когда вы берете модуль числа.

00:00:07.650 --> 00:00:10.680
Скажем, я беру модуль от -1.

00:00:10.680 --> 00:00:12.263
Что вы на самом деле делаете?

00:00:12.263 --> 00:00:16.090
Вы говорите, как далеко это число находится от 0?

00:00:16.090 --> 00:00:20.620
И в случае -1, если мым нарисуем числовую прямую,

00:00:20.620 --> 00:00:23.310
это очень плохо нарисованная числовая прямая.

00:00:23.310 --> 00:00:26.230
Если мы нарисуем числовую прямую, это 0.

00:00:26.230 --> 00:00:28.470
Здесь будет -1.

00:00:28.470 --> 00:00:30.230
Это на расстоянии 1 от 0.

00:00:30.230 --> 00:00:33.250
Таким образом, модуль -1 это 1.

00:00:33.250 --> 00:00:38.850
И модуль 1 - тоже на расстоянии 1 от 0.

00:00:38.850 --> 00:00:40.610
Он равен 1.

00:00:40.610 --> 00:00:43.500
Таким образом, модуль числа - это расстояние от нуля.

00:00:43.500 --> 00:00:45.587
Иначе, я думаю так проще,

00:00:45.587 --> 00:00:48.600
это всегда положительная версия числа.

00:00:48.600 --> 00:00:59.360
Модуль -7346 равен 7346.

00:00:59.360 --> 00:01:00.779
Помня об этом, давайте попробуем

00:01:00.779 --> 00:01:05.050
решить несколько уравнений с модулями.

00:01:05.050 --> 00:01:06.675
Скажем, у меня естьуравнение

00:01:06.675 --> 00:01:14.500
модуль х-5 равно 10.

00:01:14.500 --> 00:01:15.895
И если интерпретировать это первым способом,

00:01:15.895 --> 00:01:18.161
и я хочу, чтобы вы подумали над этим, это говорит,

00:01:18.161 --> 00:01:23.120
что расстояние между x и 5 равно 10.

00:01:23.120 --> 00:01:26.750
Так сколько чисел находятся на расстоянии ровно 10 от 5.

00:01:26.750 --> 00:01:29.430
И вы можете уже решить это уравнение,

00:01:29.430 --> 00:01:31.960
но я покажу вам алгоритм решения таких уравнений.

00:01:31.960 --> 00:01:36.510
Это может быть правдой в двух случаях.

00:01:36.510 --> 00:01:41.800
Либо х-5 равно +10.

00:01:41.800 --> 00:01:44.630
Если это равно +10,

00:01:44.630 --> 00:01:46.610
то когда вы возьмете модуль,

00:01:46.610 --> 00:01:48.380
вы получите +10.

00:01:48.380 --> 00:01:53.130
Или же х-5 равно -10.

00:01:53.130 --> 00:01:58.700
Если х-5 равно -10, когда вы возьмете модуль,

00:01:58.700 --> 00:01:59.950
вы опять получите 10.

00:01:59.950 --> 00:02:04.280
Таким образом, х-5 также может быть равным -10.

00:02:04.280 --> 00:02:07.730
Оба этих случая будут удовлетворять условиям уравнения.

00:02:07.730 --> 00:02:08.958
Теперь, чтобы решить это уравнение,

00:02:08.958 --> 00:02:11.500
добавим 5 к обоим частям этого уравнения.

00:02:11.500 --> 00:02:14.160
Вы получаете х равно 15.

00:02:14.160 --> 00:02:17.830
Чтобы решить это уравнение, добавьте 5 к обеим частям уравнения.

00:02:17.830 --> 00:02:20.900
х равно -5.

00:02:20.900 --> 00:02:21.963
То есть наше решение

00:02:21.963 --> 00:02:24.910
содержит два х, которые удовлетворяют этому уравнению.

00:02:24.910 --> 00:02:26.890
х может быть 15.

00:02:26.890 --> 00:02:29.502
15-5 это 10, возьмите модуль,

00:02:29.502 --> 00:02:32.690
и вы получите 10, или х может быть -5.

00:02:32.690 --> 00:02:36.060
-5 минус 5 это -10.

00:02:36.060 --> 00:02:39.020
Возьмите модуль, вы получите 10.

00:02:39.020 --> 00:02:41.632
Добавлю, что оба этих числа

00:02:41.632 --> 00:02:45.750
находятся на расстоянии ровно 10 от числа 5.

00:02:45.750 --> 00:02:48.050
Давайте решим еще одно подобное.

00:02:48.050 --> 00:02:51.130
Давайте решим еще одно.

00:02:51.130 --> 00:02:52.182
Скажем, у нас есть

00:02:52.182 --> 00:02:58.580
модуль х + 2 равно 6.

00:02:58.580 --> 00:02:59.610
О чем это говорит нам?

00:02:59.610 --> 00:03:03.132
Это значит, что либо х + 2,

00:03:03.132 --> 00:03:07.030
то, что написано внутри модуля, равно 6.

00:03:07.030 --> 00:03:10.380
Или выражение под знаком модуля,

00:03:10.380 --> 00:03:12.050
х + 2, может также быть -6.

00:03:12.050 --> 00:03:13.910
Если все это равно -6,

00:03:13.910 --> 00:03:16.210
вы возьмете модуль и получите 6.

00:03:16.210 --> 00:03:20.340
То есть, или х + 3 может быть равно 6.

00:03:20.340 --> 00:03:22.880
И затем, если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,

00:03:22.880 --> 00:03:25.850
вы получите, что х может быть равно 4.

00:03:25.850 --> 00:03:29.780
Если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,

00:03:29.780 --> 00:03:33.690
вы получите, что х может быть равно -8.

00:03:33.690 --> 00:03:37.240
Таким образом, мы имеем два решения уравнения.

00:03:37.240 --> 00:03:39.740
И чтобы понять результат, вспомним, что

00:03:39.740 --> 00:03:42.500
модуль можно рассматривать как расстояние,

00:03:42.500 --> 00:03:43.940
и вы можете переписать эту задачу

00:03:43.940 --> 00:03:50.410
как модуль х минус -2 равно 6.

00:03:50.410 --> 00:03:52.759
То здесь нужно узнать,

00:03:52.759 --> 00:03:57.590
какие значения х находятся на расстоянии ровно 6 от -2.

00:03:57.590 --> 00:03:59.168
Помните, здесь выше мы говорили,

00:03:59.168 --> 00:04:03.560
какие значения х находятся на расстоянии 10 от +5?

00:04:03.560 --> 00:04:05.990
Из какого бы числа вы ни вычитали +5,

00:04:05.990 --> 00:04:08.560
они оба на расстоянии 10 от +5.

00:04:08.560 --> 00:04:09.515
Это спрашивает,

00:04:09.515 --> 00:04:13.080
что находится на расстоянии 6 от -2?

00:04:13.080 --> 00:04:15.510
И это будут 4 или -8.

00:04:15.510 --> 00:04:17.959
Вы можете проверить эти числа самостоятельно.

00:04:17.959 --> 00:04:20.459
Давайте решим еще одно подобное уравнение.

00:04:20.459 --> 00:04:25.330
Давайте решим еще одно, и мы напишем его фиолетовым.

00:04:25.330 --> 00:04:30.190
Скажем, у нас есть модуль 4х.

00:04:30.190 --> 00:04:31.430
Я немного изменю его.

00:04:31.430 --> 00:04:33.390
4х -1.

00:04:33.390 --> 00:04:36.583
Модуль 4х -1 равен...

00:04:36.583 --> 00:04:40.200
пусть будет... равен 10.

00:04:40.200 --> 00:04:41.769
Как и в предыдущих уравнениях,

00:04:41.769 --> 00:04:47.640
4х -1 может быть равен 19.

00:04:47.640 --> 00:04:51.670
Или 4х - 1 может быть равен -19.

00:04:51.670 --> 00:04:53.130
Потому что когда вы возьмете модуль,

00:04:53.130 --> 00:04:54.800
вы получите 19.

00:04:54.800 --> 00:04:59.100
Или 4х -й может быть равно -19.

00:04:59.100 --> 00:05:00.970
Потом вы просто решаете эти два уравнения.

00:05:00.970 --> 00:05:02.945
Прибавим 1 к обеим частям этого уравнения.

00:05:02.945 --> 00:05:04.274
мы даже можем решать их одновременно.

00:05:04.274 --> 00:05:08.510
Добавьте 1 к обеим частям этого, вы получите 4х = 10.

00:05:08.510 --> 00:05:11.005
Добавьте 1 к обеим частям этого уравнения,

00:05:11.005 --> 00:05:15.340
вы получите 4х = -18.

00:05:15.340 --> 00:05:20.210
Разделите обе части этого на 4, вы получите х равно 5.

00:05:20.210 --> 00:05:23.920
Поделите обе части этого на 4, вы получите х равно -18/4,

00:05:23.920 --> 00:05:31.770
что равно -9/2.

00:05:31.770 --> 00:05:35.730
Оба этих значения х удовлетворяют уравнению.

00:05:35.730 --> 00:05:36.587
Проверьте.

00:05:36.587 --> 00:05:39.580
-9/2 умножить на 4.

00:05:39.580 --> 00:05:41.570
Это будет -18.

00:05:41.570 --> 00:05:44.200
-18 минус 1 равно -19.

00:05:44.200 --> 00:05:46.740
Возьмите модуль, вы получите 19.

00:05:46.740 --> 00:05:49.920
Возьмите 5 здесь, 4 умножить на равно 20.

00:05:49.920 --> 00:05:51.960
Минус 1 это +19.

00:05:51.960 --> 00:05:53.260
Возьмите модуль.

00:05:53.260 --> 00:05:55.920
И опять вы получите 19.

00:05:55.920 --> 00:05:58.580
Давайте попробуем нарисовать это, ради интереса.

00:05:58.580 --> 00:05:59.283
Скажем

00:05:59.283 --> 00:06:04.990
У меня есть у = модулю х +3.

00:06:04.990 --> 00:06:07.840
То есть это функция

00:06:07.840 --> 00:06:09.410
с модулем в ней.

00:06:09.410 --> 00:06:11.820
Давайте подумаем о двух случаях.

00:06:11.820 --> 00:06:13.136
Вот один случай,

00:06:13.136 --> 00:06:16.430
когда выражение под модулем положительное.

00:06:16.430 --> 00:06:18.873
Это случай, когда х + 3

00:06:18.873 --> 00:06:23.420
Я напишу это здесь: х + 3 > 0.

00:06:23.420 --> 00:06:29.370
И еще один случай, когда х + 3 < 0.

00:06:29.370 --> 00:06:32.658
Если х + 3 > 0,

00:06:32.658 --> 00:06:36.490
этот график, или эта линия... или я думаю мы не можем назвать это линией...

00:06:36.490 --> 00:06:41.690
эта функция , это то же самое, что у = х + 3.

00:06:41.690 --> 00:06:44.370
Если это выражение > 0,

00:06:44.370 --> 00:06:46.750
тогда знак модуля не имеет значения.

00:06:46.750 --> 00:06:48.780
То есть, тогда это то же самое,

00:06:48.780 --> 00:06:50.280
что у = х + 3.

00:06:50.280 --> 00:06:52.590
Но когда х + 3 > 0?

00:06:52.590 --> 00:06:56.366
Ну, если вы вычтите 3 из обеих частей,

00:06:56.366 --> 00:06:59.910
вы получите х > -3.

00:06:59.910 --> 00:07:02.249
То есть, если х > -3,

00:07:02.249 --> 00:07:08.460
то этот график будет выглядеть, как график у = х + 3.

00:07:08.460 --> 00:07:11.500
Теперь, когда х + 3 < 0.

00:07:11.500 --> 00:07:13.328
Это случай, когда это выражение

00:07:13.328 --> 00:07:16.509
под модулем имеет отрицательное значение,

00:07:16.509 --> 00:07:20.356
в такой ситуации неравенство будет таким

00:07:20.356 --> 00:07:26.250
у = - (х + 3).

00:07:26.250 --> 00:07:27.540
Как это понимать?

00:07:27.540 --> 00:07:30.520
Посмотите, если это будет отрицательным числом,

00:07:30.520 --> 00:07:33.060
если х плюс 3 будет отрицательным числом, что мы имеем здесь,

00:07:33.060 --> 00:07:36.010
если это будет отрицательным числом,

00:07:36.010 --> 00:07:38.090
тогда если вы возьмете модуль отрицательного числа,

00:07:38.090 --> 00:07:40.050
вы получите положительное.

00:07:40.050 --> 00:07:43.280
Это как умножить его на минус 1.

00:07:43.280 --> 00:07:45.870
Как вы знаете, когда вы берете модуль отричательного числа,

00:07:45.870 --> 00:07:48.890
это как умножить его на минус 1,

00:07:48.890 --> 00:07:51.010
потому что вы делаете его положительным.

00:07:51.010 --> 00:07:53.870
И это будет случай

00:07:53.870 --> 00:07:55.840
х плюс 3 меньше 0.

00:07:55.840 --> 00:07:59.850
Если мы вычтем 3 из обеих частей, когда х меньше чем

00:07:59.850 --> 00:08:01.280
- 3.

00:08:01.280 --> 00:08:03.920
То есть, когда х меньше -3, график будет выглядеть

00:08:03.920 --> 00:08:05.040
вот так.

00:08:05.040 --> 00:08:08.280
Когда х больше -3, график

00:08:08.280 --> 00:08:09.600
будет выглядеть вот так.

00:08:09.600 --> 00:08:11.300
Давайте посмотрим, как же будет

00:08:11.300 --> 00:08:13.670
выглядеть весь график.

00:08:13.670 --> 00:08:21.520
Давайте, я нарисую систему координат.

00:08:21.520 --> 00:08:26.070
Это Ось х, это Ось у.

00:08:26.070 --> 00:08:29.090
Давайте, я перемножу это, чтобы представить это

00:08:29.090 --> 00:08:29.870
в форме mх + b.

00:08:29.870 --> 00:08:36.070
Это равно -х -3.

00:08:36.070 --> 00:08:37.409
Давайте представим, какэтот график

00:08:37.409 --> 00:08:38.620
будет выглядеть в целом.

00:08:38.620 --> 00:08:42.020
-х -3.

00:08:42.020 --> 00:08:47.380
Он пересекает Ось у в точке -3, так 1, 2, 3.

00:08:47.380 --> 00:08:51.060
А -х, значит что он низходящий,

00:08:51.060 --> 00:08:52.290
имеет наклон вниз, с коэффициентом 1.

00:08:52.290 --> 00:08:53.540
Это будет выглядеть так.

00:08:56.840 --> 00:09:02.830
Пересекает Ось х в точке...

00:09:02.830 --> 00:09:07.740
Если у равен 0, это случится, если х

00:09:07.740 --> 00:09:08.575
равен -3.

00:09:08.575 --> 00:09:10.380
То есть он пройдет через эту линию,

00:09:10.380 --> 00:09:11.920
эту точку, вот здесь.

00:09:11.920 --> 00:09:14.190
И график, если он не ограничен здесь,

00:09:14.190 --> 00:09:15.600
будет выглядеть вот так.

00:09:19.890 --> 00:09:22.760
Это если мы не ограничиваем его определенным интервалос

00:09:22.760 --> 00:09:23.880
на оси х.

00:09:23.880 --> 00:09:27.080
А теперь этот график, как он будет выглядеть?

00:09:27.080 --> 00:09:27.480
Давайте посмотрим.

00:09:27.480 --> 00:09:31.810
Он пересекает Ось у в точке +3.

00:09:31.810 --> 00:09:33.230
Вот так.

00:09:33.230 --> 00:09:35.260
А где он пересекает Ось х?

00:09:35.260 --> 00:09:37.970
Если у равен 0, х = -3.

00:09:37.970 --> 00:09:39.760
То есть он тоже проходит, через эту точку, и

00:09:39.760 --> 00:09:40.620
имеет коэффициент наклона 1.

00:09:40.620 --> 00:09:43.710
То есть он будет выглядеть как-то так.

00:09:43.710 --> 00:09:45.330
Вот как он будет выглядеть.

00:09:45.330 --> 00:09:48.100
Теперь мы можем представить, что эта функция с модулем,

00:09:48.100 --> 00:09:52.030
выглядит как этот фиолетовый график, когда х меньше

00:09:52.030 --> 00:09:53.830
-3.

00:09:53.830 --> 00:09:57.070
Если х меньше -3... вот здесь х равен

00:09:57.070 --> 00:09:59.593
-3... когда х меньше

00:09:59.593 --> 00:10:03.170
-3, он выглядит, как этот фиолетовый график.

00:10:03.170 --> 00:10:04.570
Вот здесь.

00:10:04.570 --> 00:10:07.390
Это когда х меньше -3.

00:10:07.390 --> 00:10:10.830
Но если х больше -3, он выглядит, как

00:10:10.830 --> 00:10:12.160
зеленый график.

00:10:12.160 --> 00:10:14.640
Он выглядит вот так.

00:10:14.640 --> 00:10:17.480
То есть этот график выглядит, как эта странная буква V.

00:10:17.480 --> 00:10:21.430
Когда х больше -3, он положительный.

00:10:21.430 --> 00:10:24.950
Поэтому у нас график с положительным наклоном.

00:10:24.950 --> 00:10:28.270
Но когда х меньше -3, по существу

00:10:28.270 --> 00:10:30.550
мы берем противоположную функцию, если посмотреть с этой стороны,

00:10:30.550 --> 00:10:32.280
и поэтому у нас отрицательный наклон.

00:10:32.280 --> 00:10:35.060
У вас получается V-образная функциия,

00:10:35.060 --> 00:10:38.250
этот V-образный график, указывающий

00:10:38.250 --> 00:10:39.950
на фнкцию с модулем.