-
Vi skal lave nogle ligninger, der indeholder absolutte værdier.
-
Vi genopfrisker lige, hvad det vil sige,
-
når vi tager den absolutte værdi af et tal.
-
Lad os sige, at vi skal finde den absolutte værdi af minus 1.
-
Vi skal spørge os selv,
-
hvor langt tallet er fra 0.
-
Vi tegner en tallinje.
-
.
-
Det her er 0.
-
Det her er minus 1.
-
Minus 1 er 1 væk fra 0.
-
Den absolutte værdi af minus 1 er altså 1.
-
Den absolutte værdi af 1 er også 1. 1 er også 1 væk fra 0.
-
Det er også lig med 1.
-
Den absolutte værdi er altså, hvor langt tallet er væk fra 0.
-
En lidt mere simpel måde at tænke på det på er,
-
at det altid ender med at blive den positive version af tallet.
-
Den absolutte værdi af minus 7346 er lig med 7346.
-
Det husker vi på,
-
når vi løser ligninger med absolutte værdier.
-
Vi har ligningen
-
den absolutte værdi af x minus 5 er lig med 10.
-
En måde, vi kan tænke på det er,
-
at det betyder,
-
at afstanden mellem x og 5 er lig med 10.
-
Hvor mange tal er præcis 10 væk fra 5?
-
Vi kan allerede nu gætte løsningen,
-
men vi gør det systematisk.
-
I 2 tilfælde vil x være 10 væk fra 5.
-
Enten er x lig med minus 5 eller 10.
-
Hvis det er 10,
-
får vi 10,
-
når vi tager den absolutte værdi af det.
-
Når x er minus 5, bliver det minus 10.
-
Når vi tager den absolutte værdi af minus 10,
-
får vi igen 10.
-
x minus 5 kan altså være lig med minus 10.
-
Både 10 og minus 5 passer som løsning i ligningen.
-
For at løse den
-
lægger vi 5 til på begge sider af lighedstegnet.
-
Vi får, at x er lig med 15.
-
Vi lægger altså 5 til på begge sider i den her ligningen.
-
x er lig med minus 5.
-
.
-
Der er altså to x-værdier, der passer som løsning til ligningen.
-
x kan være 15.
-
15 minus 5 er 10, og tager vi den absolutte værdi,
-
får vi 10. x kan også være minus 5.
-
Minus 5 minus 5 er minus 10.
-
Tager vi den absolutte værdi af det, får vi 10.
-
Begge tal er præcis
-
10 væk fra tallet 5.
-
Lad os lave en til.
-
Vi laver en ligning til.
-
Vi har ligningen
-
den absolutte værdi af x plus 2 er lig med 6.
-
Hvad fortæller det os?
-
Det fortæller os,
-
at x plus 2, som står som absolut værdi, kan være lig med 6.
-
Det fortæller os også,
-
at x plus 2 kan være lig med minus 6.
-
Hvis det bliver minus 6,
-
og vi tager den absolutte værdi af det, får vi 6.
-
x plus 2 kan altså være lig med minus 6.
-
Vi trækker 2 fra på begge sider,
-
og x kan nu være lig med 4.
-
Når vi har trukket 2 fra på begge sider,
-
kan x også være lig med minus 8.
-
Det er altså de 2 løsninger til ligningen.
-
VI skal huske, at den absolutte værdi kan ses
-
som afstanden fra 0.
-
Vi kan omskrive opgaven
-
til den absolutte værdi af x minus minus 2 er lig med 6.
-
Vi skal altså finde ud af,
-
hvilke x-værdier, der er præcis 6 væk fra minus 2
-
Heroppe spurgte vi,
-
hvilke x-værdier, der er præcis 10 væk fra 5?
-
Ligemeget hvilket tal, vi trækker fra 5,
-
vil begge tal være 10 væk fra 5.
-
Den her spørger,
-
hvad der er præcis 6 væk fra minus 2.
-
Det vil enten være 4 eller minus 8.
-
Man kan selv prøve de her tal af.
-
Lad os lave en til.
-
Vi laver en i lilla skrift.
-
Til at starte med har vi den absolutte værdi af 4x.
-
Vi tilføjer lidt til opgaven.
-
4x minus 1.
-
Den absolutte værdi af 4x minus 1
-
er lig med 19.
-
Ligesom i de sidste opgaver
-
kan 4x minus 1 være lig med 19.
-
Det kan også være lig med minus 19.
-
Når vi tager den absolutte værdi af det,
-
får vi 19 igen.
-
4x minus 1 kan altså også være lig med minus 19.
-
Nu løser vi de 2 ligninger.
-
Vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet.
-
Det gør vi på begge ligninger.
-
Her lægger vi 1 til på begge sider, og nu er 4x lig med 20.
-
Her lægger vi også 1 til på begge sider,
-
og nu er 4x lig med minus 18.
-
Nu dividerer vi begge sider med 4, og x er nu lig med 5.
-
Her dividerer vi også begge sider med 4,
-
og x er lig med minus 18/4, der er det samme som minus 9/2.
-
Begge x-værdierne passer ind i ligningen.
-
Vi prøver.
-
Minus 9/2 gange 4.
-
Det bliver minus 18.
-
Minus 18 minus 1 er minus 19.
-
Vi tager den absolutte værdi af minus 19 og får 19.
-
Vi indsætter 5 her. 4 gange 5 er 20.
-
20 minus 1 er 19.
-
Vi tager den absolutte værdi af det.
-
Igen giver det 19.
-
Lad os for sjov prøve at tegne en af dem her.
-
.
-
Vi har, at y er lig med den absolutte værdi af x plus 3.
-
Det er altså en funktion, eller en graf,
-
der indeholder en absolut værdi.
-
Lad os tænke på 2 muligheder.
-
Den ene mulighed er,
-
at tallet i den absolutte værdi er positivt.
-
.
-
Vi skriver det her. x plus 3 er større end 0.
-
Der er også den mulighed, at x plus 3 er mindre end 0.
-
Når x plus 3 er større end 0,
-
er den her graf eller funktion
-
det samme som y er lig med x plus 3.
-
Hvis det her er større end 0,
-
er den absolutte værdi irrelevant.
-
I så fald er det her det samme som
-
y er lig med x plus 3.
-
Hvornår er x plus 3 over 0?
-
Vi trækker 3 fra begge sider, og så står der,
-
at x er større end minus 3.
-
Når x er større end minus 3,
-
vil grafen se ud, som hvis det var y er lig med x plus 3.
-
Nu kigger vi på, når x plus 3 er mindre end 0.
-
Når tallet imellem tegnene
-
for absolut værdi er negativt,
-
vil ligningen sige,
-
at y er lig med den negative version af x plus 3.
-
Hvordan ved vi det?
-
Hvis vi går ud fra,
-
at x plus 3 giver et negativt tal,
-
tager vi den absolutte værdi af det,
-
og så bliver det et positivt tal.
-
.
-
Det er ligesom at gange med minus 1.
-
Hvis vi tager den absolutte værdi af et negativt tal,
-
er det ligesom at gange tallet med minus 1.
-
På den måde bliver det positivt.
-
Det er situationen her.
-
x plus 3 er mindre end 0.
-
Vi trækker 3 fra på begge sider,
-
og så er x mindre end minus 3.
-
Når x er mindre end minus 3,
-
ser grafen således her ud.
-
Når x er større end minus 3,
-
ser grafen således her ud.
-
Lad os se,
-
hvordan hele grafen ser ud.
-
Vi tegner vores akser.
-
Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.
-
Vi ganger det ud,
-
så vi har det i formen ax plus b.
-
Det her er lig med minus x minus 3.
-
Lad os finde ud af,
-
hvordan hele grafen ser ud.
-
Minus x minus 3.
-
Skæringspunktet på y-aksen er minus 3. 1, 2, 3.
-
Minus x betyder, at grafen hælder nedad.
-
Den har en negativ hældning på 1.
-
Den ser således ud.
-
.
-
Hvis vi siger, at y er lig med 0,
-
skærer grafen x-aksen, hvor x er minus 3.
-
Det er altså gennem
-
det her punkt.
-
Hvis vi ikke havde det her krav,
-
så grafen sådan her ud.
-
Det her er, hvis vi ikke begrænsede den
-
til et bestemt interval på x-aksen.
-
Hvordan ser grafen ud?
-
Lad os se.
-
Skæringspunktet på y-aksen er 3.
-
Her.
-
Hvor skærer grafen x-aksen?
-
Det gør den, når y er lig med 0. Så er x lig med minus 3.
-
Den går altså også gennem punktet her,
-
og hældningen er på 1.
-
Den ser cirka således ud.
-
Det her er sådan, grafen ser ud.
-
Vi har nu fundet ud af, at den her funktion med en absolut værdi
-
ser ud som den her lilla graf,
-
når x er mindre end minus 3.
-
Det her er der, hvor x er lig med minus 3.
-
Når x er mindre end minus 3,
-
ser grafen ud som den lilla her.
-
.
-
Det her er, når x er mindre end minus 3.
-
Når x er større end minus 3,
-
ser funktonen ud som den grønne graf her.
-
Den ser således ud.
-
Grafen ligner altså et underligt v.
-
Når x er større end minus 3, er det her positivt.
-
Hældningen er positiv.
-
Når x er mindre end minus 3,
-
tager vi i virkeligheden den negative funktion.
-
Hældningen er negativ.
-
Funktionen er altså formet som et v,
-
og når den er det, betyder det,
-
at det er en funktion med en absolut værdi.
