1
00:00:00,590 --> 00:00:03,880
Vi skal lave nogle ligninger, der indeholder absolutte værdier.

2
00:00:03,880 --> 00:00:05,119
Vi genopfrisker lige, hvad det vil sige,

3
00:00:05,119 --> 00:00:07,650
når vi tager den absolutte værdi af et tal.

4
00:00:07,650 --> 00:00:10,680
Lad os sige, at vi skal finde den absolutte værdi af minus 1.

5
00:00:10,680 --> 00:00:12,263
Vi skal spørge os selv,

6
00:00:12,263 --> 00:00:16,090
hvor langt tallet er fra 0.

7
00:00:16,090 --> 00:00:20,620
Vi tegner en tallinje.

8
00:00:20,620 --> 00:00:23,310
.

9
00:00:23,310 --> 00:00:26,230
Det her er 0.

10
00:00:26,230 --> 00:00:28,470
Det her er minus 1.

11
00:00:28,470 --> 00:00:30,230
Minus 1 er 1 væk fra 0.

12
00:00:30,230 --> 00:00:33,250
Den absolutte værdi af minus 1 er altså 1.

13
00:00:33,250 --> 00:00:38,850
Den absolutte værdi af 1 er også 1. 1 er også 1 væk fra 0.

14
00:00:38,850 --> 00:00:40,610
Det er også lig med 1.

15
00:00:40,610 --> 00:00:43,500
Den absolutte værdi er altså, hvor langt tallet er væk fra 0.

16
00:00:43,500 --> 00:00:45,587
En lidt mere simpel måde at tænke på det på er,

17
00:00:45,587 --> 00:00:48,600
at det altid ender med at blive den positive version af tallet.

18
00:00:48,600 --> 00:00:59,360
Den absolutte værdi af minus 7346 er lig med 7346.

19
00:00:59,360 --> 00:01:00,779
Det husker vi på,

20
00:01:00,779 --> 00:01:05,050
når vi løser ligninger med absolutte værdier.

21
00:01:05,050 --> 00:01:06,675
Vi har ligningen

22
00:01:06,675 --> 00:01:14,500
den absolutte værdi af x minus 5 er lig med 10.

23
00:01:14,500 --> 00:01:15,895
En måde, vi kan tænke på det er,

24
00:01:15,895 --> 00:01:18,161
at det betyder,

25
00:01:18,161 --> 00:01:23,120
at afstanden mellem x og 5 er lig med 10.

26
00:01:23,120 --> 00:01:26,750
Hvor mange tal er præcis 10 væk fra 5?

27
00:01:26,750 --> 00:01:29,430
Vi kan allerede nu gætte løsningen,

28
00:01:29,430 --> 00:01:31,960
men vi gør det systematisk.

29
00:01:31,960 --> 00:01:36,510
I 2 tilfælde vil x være 10 væk fra 5.

30
00:01:36,510 --> 00:01:41,800
Enten er x lig med minus 5 eller 10.

31
00:01:41,800 --> 00:01:44,630
Hvis det er 10,

32
00:01:44,630 --> 00:01:46,610
får vi 10,

33
00:01:46,610 --> 00:01:48,380
når vi tager den absolutte værdi af det.

34
00:01:48,380 --> 00:01:53,130
Når x er minus 5, bliver det minus 10.

35
00:01:53,130 --> 00:01:58,700
Når vi tager den absolutte værdi af minus 10,

36
00:01:58,700 --> 00:01:59,950
får vi igen 10.

37
00:01:59,950 --> 00:02:04,280
x minus 5 kan altså være lig med minus 10.

38
00:02:04,280 --> 00:02:07,730
Både 10 og minus 5 passer som løsning i ligningen.

39
00:02:07,730 --> 00:02:08,958
For at løse den

40
00:02:08,958 --> 00:02:11,500
lægger vi 5 til på begge sider af lighedstegnet.

41
00:02:11,500 --> 00:02:14,160
Vi får, at x er lig med 15.

42
00:02:14,160 --> 00:02:17,830
Vi lægger altså 5 til på begge sider i den her ligningen.

43
00:02:17,830 --> 00:02:20,900
x er lig med minus 5.

44
00:02:20,900 --> 00:02:21,963
.

45
00:02:21,963 --> 00:02:24,910
Der er altså to x-værdier, der passer som løsning til ligningen.

46
00:02:24,910 --> 00:02:26,890
x kan være 15.

47
00:02:26,890 --> 00:02:29,502
15 minus 5 er 10, og tager vi den absolutte værdi,

48
00:02:29,502 --> 00:02:32,690
får vi 10. x kan også være minus 5.

49
00:02:32,690 --> 00:02:36,060
Minus 5 minus 5 er minus 10.

50
00:02:36,060 --> 00:02:39,020
Tager vi den absolutte værdi af det, får vi 10.

51
00:02:39,020 --> 00:02:41,632
Begge tal er præcis

52
00:02:41,632 --> 00:02:45,750
10 væk fra tallet 5.

53
00:02:45,750 --> 00:02:48,050
Lad os lave en til.

54
00:02:48,050 --> 00:02:51,130
Vi laver en ligning til.

55
00:02:51,130 --> 00:02:52,182
Vi har ligningen

56
00:02:52,182 --> 00:02:58,580
den absolutte værdi af x plus 2 er lig med 6.

57
00:02:58,580 --> 00:02:59,610
Hvad fortæller det os?

58
00:02:59,610 --> 00:03:03,132
Det fortæller os,

59
00:03:03,132 --> 00:03:07,030
at x plus 2, som står som absolut værdi, kan være lig med 6.

60
00:03:07,030 --> 00:03:10,380
Det fortæller os også,

61
00:03:10,380 --> 00:03:12,050
at x plus 2 kan være lig med minus 6.

62
00:03:12,050 --> 00:03:13,910
Hvis det bliver minus 6,

63
00:03:13,910 --> 00:03:16,210
og vi tager den absolutte værdi af det, får vi 6.

64
00:03:16,210 --> 00:03:20,340
x plus 2 kan altså være lig med minus 6.

65
00:03:20,340 --> 00:03:22,880
Vi trækker 2 fra på begge sider,

66
00:03:22,880 --> 00:03:25,850
og x kan nu være lig med 4.

67
00:03:25,850 --> 00:03:29,780
Når vi har trukket 2 fra på begge sider,

68
00:03:29,780 --> 00:03:33,690
kan x også være lig med minus 8.

69
00:03:33,690 --> 00:03:37,240
Det er altså de 2 løsninger til ligningen.

70
00:03:37,240 --> 00:03:39,740
VI skal huske, at den absolutte værdi kan ses

71
00:03:39,740 --> 00:03:42,500
som afstanden fra 0.

72
00:03:42,500 --> 00:03:43,940
Vi kan omskrive opgaven

73
00:03:43,940 --> 00:03:50,410
til den absolutte værdi af x minus minus 2 er lig med 6.

74
00:03:50,410 --> 00:03:52,759
Vi skal altså finde ud af,

75
00:03:52,759 --> 00:03:57,590
hvilke x-værdier, der er præcis 6 væk fra minus 2

76
00:03:57,590 --> 00:03:59,168
Heroppe spurgte vi,

77
00:03:59,168 --> 00:04:03,560
hvilke x-værdier, der er præcis 10 væk fra 5?

78
00:04:03,560 --> 00:04:05,990
Ligemeget hvilket tal, vi trækker fra 5,

79
00:04:05,990 --> 00:04:08,560
vil begge tal være 10 væk fra 5.

80
00:04:08,560 --> 00:04:09,515
Den her spørger,

81
00:04:09,515 --> 00:04:13,080
hvad der er præcis 6 væk fra minus 2.

82
00:04:13,080 --> 00:04:15,510
Det vil enten være 4 eller minus 8.

83
00:04:15,510 --> 00:04:17,959
Man kan selv prøve de her tal af.

84
00:04:17,959 --> 00:04:20,459
Lad os lave en til.

85
00:04:20,459 --> 00:04:25,330
Vi laver en i lilla skrift.

86
00:04:25,330 --> 00:04:30,190
Til at starte med har vi den absolutte værdi af 4x.

87
00:04:30,190 --> 00:04:31,430
Vi tilføjer lidt til opgaven.

88
00:04:31,430 --> 00:04:33,390
4x minus 1.

89
00:04:33,390 --> 00:04:36,583
Den absolutte værdi af 4x minus 1

90
00:04:36,583 --> 00:04:40,200
er lig med 19.

91
00:04:40,200 --> 00:04:41,769
Ligesom i de sidste opgaver

92
00:04:41,769 --> 00:04:47,640
kan 4x minus 1 være lig med 19.

93
00:04:47,640 --> 00:04:51,670
Det kan også være lig med minus 19.

94
00:04:51,670 --> 00:04:53,130
Når vi tager den absolutte værdi af det,

95
00:04:53,130 --> 00:04:54,800
får vi 19 igen.

96
00:04:54,800 --> 00:04:59,100
4x minus 1 kan altså også være lig med minus 19.

97
00:04:59,100 --> 00:05:00,970
Nu løser vi de 2 ligninger.

98
00:05:00,970 --> 00:05:02,945
Vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet.

99
00:05:02,945 --> 00:05:04,274
Det gør vi på begge ligninger.

100
00:05:04,274 --> 00:05:08,510
Her lægger vi 1 til på begge sider, og nu er 4x lig med 20.

101
00:05:08,510 --> 00:05:11,005
Her lægger vi også 1 til på begge sider,

102
00:05:11,005 --> 00:05:15,340
og nu er 4x lig med minus 18.

103
00:05:15,340 --> 00:05:20,210
Nu dividerer vi begge sider med 4, og x er nu lig med 5.

104
00:05:20,210 --> 00:05:23,920
Her dividerer vi også begge sider med 4,

105
00:05:23,920 --> 00:05:31,770
og x er lig med minus 18/4, der er det samme som minus 9/2.

106
00:05:31,770 --> 00:05:35,730
Begge x-værdierne passer ind i ligningen.

107
00:05:35,730 --> 00:05:36,587
Vi prøver.

108
00:05:36,587 --> 00:05:39,580
Minus 9/2 gange 4.

109
00:05:39,580 --> 00:05:41,570
Det bliver minus 18.

110
00:05:41,570 --> 00:05:44,200
Minus 18 minus 1 er minus 19.

111
00:05:44,200 --> 00:05:46,740
Vi tager den absolutte værdi af minus 19 og får 19.

112
00:05:46,740 --> 00:05:49,920
Vi indsætter 5 her. 4 gange 5 er 20.

113
00:05:49,920 --> 00:05:51,960
20 minus 1 er 19.

114
00:05:51,960 --> 00:05:53,260
Vi tager den absolutte værdi af det.

115
00:05:53,260 --> 00:05:55,920
Igen giver det 19.

116
00:05:55,920 --> 00:05:58,580
Lad os for sjov prøve at tegne en af dem her.

117
00:05:58,580 --> 00:05:59,283
.

118
00:05:59,283 --> 00:06:04,990
Vi har, at y er lig med den absolutte værdi af x plus 3.

119
00:06:04,990 --> 00:06:07,840
Det er altså en funktion, eller en graf,

120
00:06:07,840 --> 00:06:09,410
der indeholder en absolut værdi.

121
00:06:09,410 --> 00:06:11,820
Lad os tænke på 2 muligheder.

122
00:06:11,820 --> 00:06:13,136
Den ene mulighed er,

123
00:06:13,136 --> 00:06:16,430
at tallet i den absolutte værdi er positivt.

124
00:06:16,430 --> 00:06:18,873
.

125
00:06:18,873 --> 00:06:23,420
Vi skriver det her. x plus 3 er større end 0.

126
00:06:23,420 --> 00:06:29,370
Der er også den mulighed, at x plus 3 er mindre end 0.

127
00:06:29,370 --> 00:06:32,658
Når x plus 3 er større end 0,

128
00:06:32,658 --> 00:06:36,490
er den her graf eller funktion

129
00:06:36,490 --> 00:06:41,690
det samme som y er lig med x plus 3.

130
00:06:41,690 --> 00:06:44,370
Hvis det her er større end 0,

131
00:06:44,370 --> 00:06:46,750
er den absolutte værdi irrelevant.

132
00:06:46,750 --> 00:06:48,780
I så fald er det her det samme som

133
00:06:48,780 --> 00:06:50,280
y er lig med x plus 3.

134
00:06:50,280 --> 00:06:52,590
Hvornår er x plus 3 over 0?

135
00:06:52,590 --> 00:06:56,366
Vi trækker 3 fra begge sider, og så står der,

136
00:06:56,366 --> 00:06:59,910
at x er større end minus 3.

137
00:06:59,910 --> 00:07:02,249
Når x er større end minus 3,

138
00:07:02,249 --> 00:07:08,460
vil grafen se ud, som hvis det var y er lig med x plus 3.

139
00:07:08,460 --> 00:07:11,500
Nu kigger vi på, når x plus 3 er mindre end 0.

140
00:07:11,500 --> 00:07:13,328
Når tallet imellem tegnene

141
00:07:13,328 --> 00:07:16,509
for absolut værdi er negativt,

142
00:07:16,509 --> 00:07:20,356
vil ligningen sige,

143
00:07:20,356 --> 00:07:26,250
at y er lig med den negative version af x plus 3.

144
00:07:26,250 --> 00:07:27,540
Hvordan ved vi det?

145
00:07:27,540 --> 00:07:30,520
Hvis vi går ud fra,

146
00:07:30,520 --> 00:07:33,060
at x plus 3 giver et negativt tal,

147
00:07:33,060 --> 00:07:36,010
tager vi den absolutte værdi af det,

148
00:07:36,010 --> 00:07:38,090
og så bliver det et positivt tal.

149
00:07:38,090 --> 00:07:40,050
.

150
00:07:40,050 --> 00:07:43,280
Det er ligesom at gange med minus 1.

151
00:07:43,280 --> 00:07:45,870
Hvis vi tager den absolutte værdi af et negativt tal,

152
00:07:45,870 --> 00:07:48,890
er det ligesom at gange tallet med minus 1.

153
00:07:48,890 --> 00:07:51,010
På den måde bliver det positivt.

154
00:07:51,010 --> 00:07:53,870
Det er situationen her.

155
00:07:53,870 --> 00:07:55,840
x plus 3 er mindre end 0.

156
00:07:55,840 --> 00:07:59,850
Vi trækker 3 fra på begge sider,

157
00:07:59,850 --> 00:08:01,280
og så er x mindre end minus 3.

158
00:08:01,280 --> 00:08:03,920
Når x er mindre end minus 3,

159
00:08:03,920 --> 00:08:05,040
ser grafen således her ud.

160
00:08:05,040 --> 00:08:08,280
Når x er større end minus 3,

161
00:08:08,280 --> 00:08:09,600
ser grafen således her ud.

162
00:08:09,600 --> 00:08:11,300
Lad os se,

163
00:08:11,300 --> 00:08:13,670
hvordan hele grafen ser ud.

164
00:08:13,670 --> 00:08:21,520
Vi tegner vores akser.

165
00:08:21,520 --> 00:08:26,070
Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.

166
00:08:26,070 --> 00:08:29,090
Vi ganger det ud,

167
00:08:29,090 --> 00:08:29,870
så vi har det i formen ax plus b.

168
00:08:29,870 --> 00:08:36,070
Det her er lig med minus x minus 3.

169
00:08:36,070 --> 00:08:37,409
Lad os finde ud af,

170
00:08:37,409 --> 00:08:38,620
hvordan hele grafen ser ud.

171
00:08:38,620 --> 00:08:42,020
Minus x minus 3.

172
00:08:42,020 --> 00:08:47,380
Skæringspunktet på y-aksen er minus 3. 1, 2, 3.

173
00:08:47,380 --> 00:08:51,060
Minus x betyder, at grafen hælder nedad.

174
00:08:51,060 --> 00:08:52,290
Den har en negativ hældning på 1.

175
00:08:52,290 --> 00:08:53,540
Den ser således ud.

176
00:08:56,840 --> 00:09:02,830
.

177
00:09:02,830 --> 00:09:07,740
Hvis vi siger, at y er lig med 0,

178
00:09:07,740 --> 00:09:08,575
skærer grafen x-aksen, hvor x er minus 3.

179
00:09:08,575 --> 00:09:10,380
Det er altså gennem

180
00:09:10,380 --> 00:09:11,920
det her punkt.

181
00:09:11,920 --> 00:09:14,190
Hvis vi ikke havde det her krav,

182
00:09:14,190 --> 00:09:15,600
så grafen sådan her ud.

183
00:09:19,890 --> 00:09:22,760
Det her er, hvis vi ikke begrænsede den

184
00:09:22,760 --> 00:09:23,880
til et bestemt interval på x-aksen.

185
00:09:23,880 --> 00:09:27,080
Hvordan ser grafen ud?

186
00:09:27,080 --> 00:09:27,480
Lad os se.

187
00:09:27,480 --> 00:09:31,810
Skæringspunktet på y-aksen er 3.

188
00:09:31,810 --> 00:09:33,230
Her.

189
00:09:33,230 --> 00:09:35,260
Hvor skærer grafen x-aksen?

190
00:09:35,260 --> 00:09:37,970
Det gør den, når y er lig med 0. Så er x lig med minus 3.

191
00:09:37,970 --> 00:09:39,760
Den går altså også gennem punktet her,

192
00:09:39,760 --> 00:09:40,620
og hældningen er på 1.

193
00:09:40,620 --> 00:09:43,710
Den ser cirka således ud.

194
00:09:43,710 --> 00:09:45,330
Det her er sådan, grafen ser ud.

195
00:09:45,330 --> 00:09:48,100
Vi har nu fundet ud af, at den her funktion med en absolut værdi

196
00:09:48,100 --> 00:09:52,030
ser ud som den her lilla graf,

197
00:09:52,030 --> 00:09:53,830
når x er mindre end minus 3.

198
00:09:53,830 --> 00:09:57,070
Det her er der, hvor x er lig med minus 3.

199
00:09:57,070 --> 00:09:59,593
Når x er mindre end minus 3,

200
00:09:59,593 --> 00:10:03,170
ser grafen ud som den lilla her.

201
00:10:03,170 --> 00:10:04,570
.

202
00:10:04,570 --> 00:10:07,390
Det her er, når x er mindre end minus 3.

203
00:10:07,390 --> 00:10:10,830
Når x er større end minus 3,

204
00:10:10,830 --> 00:10:12,160
ser funktonen ud som den grønne graf her.

205
00:10:12,160 --> 00:10:14,640
Den ser således ud.

206
00:10:14,640 --> 00:10:17,480
Grafen ligner altså et underligt v.

207
00:10:17,480 --> 00:10:21,430
Når x er større end minus 3, er det her positivt.

208
00:10:21,430 --> 00:10:24,950
Hældningen er positiv.

209
00:10:24,950 --> 00:10:28,270
Når x er mindre end minus 3,

210
00:10:28,270 --> 00:10:30,550
tager vi i virkeligheden den negative funktion.

211
00:10:30,550 --> 00:10:32,280
Hældningen er negativ.

212
00:10:32,280 --> 00:10:35,060
Funktionen er altså formet som et v,

213
00:10:35,060 --> 00:10:38,250
og når den er det, betyder det,

214
00:10:38,250 --> 00:10:39,950
at det er en funktion med en absolut værdi.