0:00:00.590,0:00:03.880
Vi skal lave nogle ligninger, der indeholder absolutte værdier.

0:00:03.880,0:00:05.119
Vi genopfrisker lige, hvad det vil sige,

0:00:05.119,0:00:07.650
når vi tager den absolutte værdi af et tal.

0:00:07.650,0:00:10.680
Lad os sige, at vi skal finde den absolutte værdi af minus 1.

0:00:10.680,0:00:12.263
Vi skal spørge os selv,

0:00:12.263,0:00:16.090
hvor langt tallet er fra 0.

0:00:16.090,0:00:20.620
Vi tegner en tallinje.

0:00:20.620,0:00:23.310
.

0:00:23.310,0:00:26.230
Det her er 0.

0:00:26.230,0:00:28.470
Det her er minus 1.

0:00:28.470,0:00:30.230
Minus 1 er 1 væk fra 0.

0:00:30.230,0:00:33.250
Den absolutte værdi af minus 1 er altså 1.

0:00:33.250,0:00:38.850
Den absolutte værdi af 1 er også 1. 1 er også 1 væk fra 0.

0:00:38.850,0:00:40.610
Det er også lig med 1.

0:00:40.610,0:00:43.500
Den absolutte værdi er altså, hvor langt tallet er væk fra 0.

0:00:43.500,0:00:45.587
En lidt mere simpel måde at tænke på det på er,

0:00:45.587,0:00:48.600
at det altid ender med at blive den positive version af tallet.

0:00:48.600,0:00:59.360
Den absolutte værdi af minus 7346 er lig med 7346.

0:00:59.360,0:01:00.779
Det husker vi på,

0:01:00.779,0:01:05.050
når vi løser ligninger med absolutte værdier.

0:01:05.050,0:01:06.675
Vi har ligningen

0:01:06.675,0:01:14.500
den absolutte værdi af x minus 5 er lig med 10.

0:01:14.500,0:01:15.895
En måde, vi kan tænke på det er,

0:01:15.895,0:01:18.161
at det betyder,

0:01:18.161,0:01:23.120
at afstanden mellem x og 5 er lig med 10.

0:01:23.120,0:01:26.750
Hvor mange tal er præcis 10 væk fra 5?

0:01:26.750,0:01:29.430
Vi kan allerede nu gætte løsningen,

0:01:29.430,0:01:31.960
men vi gør det systematisk.

0:01:31.960,0:01:36.510
I 2 tilfælde vil x være 10 væk fra 5.

0:01:36.510,0:01:41.800
Enten er x lig med minus 5 eller 10.

0:01:41.800,0:01:44.630
Hvis det er 10,

0:01:44.630,0:01:46.610
får vi 10,

0:01:46.610,0:01:48.380
når vi tager den absolutte værdi af det.

0:01:48.380,0:01:53.130
Når x er minus 5, bliver det minus 10.

0:01:53.130,0:01:58.700
Når vi tager den absolutte værdi af minus 10,

0:01:58.700,0:01:59.950
får vi igen 10.

0:01:59.950,0:02:04.280
x minus 5 kan altså være lig med minus 10.

0:02:04.280,0:02:07.730
Både 10 og minus 5 passer som løsning i ligningen.

0:02:07.730,0:02:08.958
For at løse den

0:02:08.958,0:02:11.500
lægger vi 5 til på begge sider af lighedstegnet.

0:02:11.500,0:02:14.160
Vi får, at x er lig med 15.

0:02:14.160,0:02:17.830
Vi lægger altså 5 til på begge sider i den her ligningen.

0:02:17.830,0:02:20.900
x er lig med minus 5.

0:02:20.900,0:02:21.963
.

0:02:21.963,0:02:24.910
Der er altså to x-værdier, der passer som løsning til ligningen.

0:02:24.910,0:02:26.890
x kan være 15.

0:02:26.890,0:02:29.502
15 minus 5 er 10, og tager vi den absolutte værdi,

0:02:29.502,0:02:32.690
får vi 10. x kan også være minus 5.

0:02:32.690,0:02:36.060
Minus 5 minus 5 er minus 10.

0:02:36.060,0:02:39.020
Tager vi den absolutte værdi af det, får vi 10.

0:02:39.020,0:02:41.632
Begge tal er præcis

0:02:41.632,0:02:45.750
10 væk fra tallet 5.

0:02:45.750,0:02:48.050
Lad os lave en til.

0:02:48.050,0:02:51.130
Vi laver en ligning til.

0:02:51.130,0:02:52.182
Vi har ligningen

0:02:52.182,0:02:58.580
den absolutte værdi af x plus 2 er lig med 6.

0:02:58.580,0:02:59.610
Hvad fortæller det os?

0:02:59.610,0:03:03.132
Det fortæller os,

0:03:03.132,0:03:07.030
at x plus 2, som står som absolut værdi, kan være lig med 6.

0:03:07.030,0:03:10.380
Det fortæller os også,

0:03:10.380,0:03:12.050
at x plus 2 kan være lig med minus 6.

0:03:12.050,0:03:13.910
Hvis det bliver minus 6,

0:03:13.910,0:03:16.210
og vi tager den absolutte værdi af det, får vi 6.

0:03:16.210,0:03:20.340
x plus 2 kan altså være lig med minus 6.

0:03:20.340,0:03:22.880
Vi trækker 2 fra på begge sider,

0:03:22.880,0:03:25.850
og x kan nu være lig med 4.

0:03:25.850,0:03:29.780
Når vi har trukket 2 fra på begge sider,

0:03:29.780,0:03:33.690
kan x også være lig med minus 8.

0:03:33.690,0:03:37.240
Det er altså de 2 løsninger til ligningen.

0:03:37.240,0:03:39.740
VI skal huske, at den absolutte værdi kan ses

0:03:39.740,0:03:42.500
som afstanden fra 0.

0:03:42.500,0:03:43.940
Vi kan omskrive opgaven

0:03:43.940,0:03:50.410
til den absolutte værdi af x minus minus 2 er lig med 6.

0:03:50.410,0:03:52.759
Vi skal altså finde ud af,

0:03:52.759,0:03:57.590
hvilke x-værdier, der er præcis 6 væk fra minus 2

0:03:57.590,0:03:59.168
Heroppe spurgte vi,

0:03:59.168,0:04:03.560
hvilke x-værdier, der er præcis 10 væk fra 5?

0:04:03.560,0:04:05.990
Ligemeget hvilket tal, vi trækker fra 5,

0:04:05.990,0:04:08.560
vil begge tal være 10 væk fra 5.

0:04:08.560,0:04:09.515
Den her spørger,

0:04:09.515,0:04:13.080
hvad der er præcis 6 væk fra minus 2.

0:04:13.080,0:04:15.510
Det vil enten være 4 eller minus 8.

0:04:15.510,0:04:17.959
Man kan selv prøve de her tal af.

0:04:17.959,0:04:20.459
Lad os lave en til.

0:04:20.459,0:04:25.330
Vi laver en i lilla skrift.

0:04:25.330,0:04:30.190
Til at starte med har vi den absolutte værdi af 4x.

0:04:30.190,0:04:31.430
Vi tilføjer lidt til opgaven.

0:04:31.430,0:04:33.390
4x minus 1.

0:04:33.390,0:04:36.583
Den absolutte værdi af 4x minus 1

0:04:36.583,0:04:40.200
er lig med 19.

0:04:40.200,0:04:41.769
Ligesom i de sidste opgaver

0:04:41.769,0:04:47.640
kan 4x minus 1 være lig med 19.

0:04:47.640,0:04:51.670
Det kan også være lig med minus 19.

0:04:51.670,0:04:53.130
Når vi tager den absolutte værdi af det,

0:04:53.130,0:04:54.800
får vi 19 igen.

0:04:54.800,0:04:59.100
4x minus 1 kan altså også være lig med minus 19.

0:04:59.100,0:05:00.970
Nu løser vi de 2 ligninger.

0:05:00.970,0:05:02.945
Vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet.

0:05:02.945,0:05:04.274
Det gør vi på begge ligninger.

0:05:04.274,0:05:08.510
Her lægger vi 1 til på begge sider, og nu er 4x lig med 20.

0:05:08.510,0:05:11.005
Her lægger vi også 1 til på begge sider,

0:05:11.005,0:05:15.340
og nu er 4x lig med minus 18.

0:05:15.340,0:05:20.210
Nu dividerer vi begge sider med 4, og x er nu lig med 5.

0:05:20.210,0:05:23.920
Her dividerer vi også begge sider med 4,

0:05:23.920,0:05:31.770
og x er lig med minus 18/4, der er det samme som minus 9/2.

0:05:31.770,0:05:35.730
Begge x-værdierne passer ind i ligningen.

0:05:35.730,0:05:36.587
Vi prøver.

0:05:36.587,0:05:39.580
Minus 9/2 gange 4.

0:05:39.580,0:05:41.570
Det bliver minus 18.

0:05:41.570,0:05:44.200
Minus 18 minus 1 er minus 19.

0:05:44.200,0:05:46.740
Vi tager den absolutte værdi af minus 19 og får 19.

0:05:46.740,0:05:49.920
Vi indsætter 5 her. 4 gange 5 er 20.

0:05:49.920,0:05:51.960
20 minus 1 er 19.

0:05:51.960,0:05:53.260
Vi tager den absolutte værdi af det.

0:05:53.260,0:05:55.920
Igen giver det 19.

0:05:55.920,0:05:58.580
Lad os for sjov prøve at tegne en af dem her.

0:05:58.580,0:05:59.283
.

0:05:59.283,0:06:04.990
Vi har, at y er lig med den absolutte værdi af x plus 3.

0:06:04.990,0:06:07.840
Det er altså en funktion, eller en graf,

0:06:07.840,0:06:09.410
der indeholder en absolut værdi.

0:06:09.410,0:06:11.820
Lad os tænke på 2 muligheder.

0:06:11.820,0:06:13.136
Den ene mulighed er,

0:06:13.136,0:06:16.430
at tallet i den absolutte værdi er positivt.

0:06:16.430,0:06:18.873
.

0:06:18.873,0:06:23.420
Vi skriver det her. x plus 3 er større end 0.

0:06:23.420,0:06:29.370
Der er også den mulighed, at x plus 3 er mindre end 0.

0:06:29.370,0:06:32.658
Når x plus 3 er større end 0,

0:06:32.658,0:06:36.490
er den her graf eller funktion

0:06:36.490,0:06:41.690
det samme som y er lig med x plus 3.

0:06:41.690,0:06:44.370
Hvis det her er større end 0,

0:06:44.370,0:06:46.750
er den absolutte værdi irrelevant.

0:06:46.750,0:06:48.780
I så fald er det her det samme som

0:06:48.780,0:06:50.280
y er lig med x plus 3.

0:06:50.280,0:06:52.590
Hvornår er x plus 3 over 0?

0:06:52.590,0:06:56.366
Vi trækker 3 fra begge sider, og så står der,

0:06:56.366,0:06:59.910
at x er større end minus 3.

0:06:59.910,0:07:02.249
Når x er større end minus 3,

0:07:02.249,0:07:08.460
vil grafen se ud, som hvis det var y er lig med x plus 3.

0:07:08.460,0:07:11.500
Nu kigger vi på, når x plus 3 er mindre end 0.

0:07:11.500,0:07:13.328
Når tallet imellem tegnene

0:07:13.328,0:07:16.509
for absolut værdi er negativt,

0:07:16.509,0:07:20.356
vil ligningen sige,

0:07:20.356,0:07:26.250
at y er lig med den negative version af x plus 3.

0:07:26.250,0:07:27.540
Hvordan ved vi det?

0:07:27.540,0:07:30.520
Hvis vi går ud fra,

0:07:30.520,0:07:33.060
at x plus 3 giver et negativt tal,

0:07:33.060,0:07:36.010
tager vi den absolutte værdi af det,

0:07:36.010,0:07:38.090
og så bliver det et positivt tal.

0:07:38.090,0:07:40.050
.

0:07:40.050,0:07:43.280
Det er ligesom at gange med minus 1.

0:07:43.280,0:07:45.870
Hvis vi tager den absolutte værdi af et negativt tal,

0:07:45.870,0:07:48.890
er det ligesom at gange tallet med minus 1.

0:07:48.890,0:07:51.010
På den måde bliver det positivt.

0:07:51.010,0:07:53.870
Det er situationen her.

0:07:53.870,0:07:55.840
x plus 3 er mindre end 0.

0:07:55.840,0:07:59.850
Vi trækker 3 fra på begge sider,

0:07:59.850,0:08:01.280
og så er x mindre end minus 3.

0:08:01.280,0:08:03.920
Når x er mindre end minus 3,

0:08:03.920,0:08:05.040
ser grafen således her ud.

0:08:05.040,0:08:08.280
Når x er større end minus 3,

0:08:08.280,0:08:09.600
ser grafen således her ud.

0:08:09.600,0:08:11.300
Lad os se,

0:08:11.300,0:08:13.670
hvordan hele grafen ser ud.

0:08:13.670,0:08:21.520
Vi tegner vores akser.

0:08:21.520,0:08:26.070
Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.

0:08:26.070,0:08:29.090
Vi ganger det ud,

0:08:29.090,0:08:29.870
så vi har det i formen ax plus b.

0:08:29.870,0:08:36.070
Det her er lig med minus x minus 3.

0:08:36.070,0:08:37.409
Lad os finde ud af,

0:08:37.409,0:08:38.620
hvordan hele grafen ser ud.

0:08:38.620,0:08:42.020
Minus x minus 3.

0:08:42.020,0:08:47.380
Skæringspunktet på y-aksen er minus 3. 1, 2, 3.

0:08:47.380,0:08:51.060
Minus x betyder, at grafen hælder nedad.

0:08:51.060,0:08:52.290
Den har en negativ hældning på 1.

0:08:52.290,0:08:53.540
Den ser således ud.

0:08:56.840,0:09:02.830
.

0:09:02.830,0:09:07.740
Hvis vi siger, at y er lig med 0,

0:09:07.740,0:09:08.575
skærer grafen x-aksen, hvor x er minus 3.

0:09:08.575,0:09:10.380
Det er altså gennem

0:09:10.380,0:09:11.920
det her punkt.

0:09:11.920,0:09:14.190
Hvis vi ikke havde det her krav,

0:09:14.190,0:09:15.600
så grafen sådan her ud.

0:09:19.890,0:09:22.760
Det her er, hvis vi ikke begrænsede den

0:09:22.760,0:09:23.880
til et bestemt interval på x-aksen.

0:09:23.880,0:09:27.080
Hvordan ser grafen ud?

0:09:27.080,0:09:27.480
Lad os se.

0:09:27.480,0:09:31.810
Skæringspunktet på y-aksen er 3.

0:09:31.810,0:09:33.230
Her.

0:09:33.230,0:09:35.260
Hvor skærer grafen x-aksen?

0:09:35.260,0:09:37.970
Det gør den, når y er lig med 0. Så er x lig med minus 3.

0:09:37.970,0:09:39.760
Den går altså også gennem punktet her,

0:09:39.760,0:09:40.620
og hældningen er på 1.

0:09:40.620,0:09:43.710
Den ser cirka således ud.

0:09:43.710,0:09:45.330
Det her er sådan, grafen ser ud.

0:09:45.330,0:09:48.100
Vi har nu fundet ud af, at den her funktion med en absolut værdi

0:09:48.100,0:09:52.030
ser ud som den her lilla graf,

0:09:52.030,0:09:53.830
når x er mindre end minus 3.

0:09:53.830,0:09:57.070
Det her er der, hvor x er lig med minus 3.

0:09:57.070,0:09:59.593
Når x er mindre end minus 3,

0:09:59.593,0:10:03.170
ser grafen ud som den lilla her.

0:10:03.170,0:10:04.570
.

0:10:04.570,0:10:07.390
Det her er, når x er mindre end minus 3.

0:10:07.390,0:10:10.830
Når x er større end minus 3,

0:10:10.830,0:10:12.160
ser funktonen ud som den grønne graf her.

0:10:12.160,0:10:14.640
Den ser således ud.

0:10:14.640,0:10:17.480
Grafen ligner altså et underligt v.

0:10:17.480,0:10:21.430
Når x er større end minus 3, er det her positivt.

0:10:21.430,0:10:24.950
Hældningen er positiv.

0:10:24.950,0:10:28.270
Når x er mindre end minus 3,

0:10:28.270,0:10:30.550
tager vi i virkeligheden den negative funktion.

0:10:30.550,0:10:32.280
Hældningen er negativ.

0:10:32.280,0:10:35.060
Funktionen er altså formet som et v,

0:10:35.060,0:10:38.250
og når den er det, betyder det,

0:10:38.250,0:10:39.950
at det er en funktion med en absolut værdi.