-
Pojďme si udělat nějaké rovnice, které se zabývají absolutními hodnotami.
-
A jenom trochu na zopakování, pokud si vezmeme absolutní
-
hodnotu čísla.
-
Vezměme si například absolutní hodnotu mínus jedničky.
-
Co doopravdy děláte, je, že říkáte, jak daleko je toto
-
číslo od nuly.
-
A v případě mínus jedničky, pokud si tady nakreslíme číselnou osu,
-
to je ale ošklivá osa.
-
Pokud si nakreslíme číselnou řadu, tohle je 0.
-
Tady máte mínus 1.
-
Tedy, vzdálenost od nuly je 1.
-
Takže absolutní hodnota mínus jedničky je 1.
-
A absolutní hodnota jedničky je také 1, vzdálenost od nuly.
-
je také rovna 1.
-
Takže, do jisté míry, absolutní hodnota je vzdálenost od nuly.
-
Ale další, a myslím si jednodušší způsob, jak o tom přemýšlet, je, že vždy
-
je výsledkem kladná hodnota tohoto čísla.
-
absolutní hodnota mínus 7 celých 346 tisícin je 7 celých 346 tisícin.
-
Takže, s tímto na mysli, pojďme zkusit vyřešit nějaké rovnice
-
s absolutními hodnotami.
-
Takže řekněme, že mám rovnici -- absolutní hodnota
-
"x" mínus 5 je rovna 10ti.
-
Jeden způsob, jak toto interpretovat, a chci abyste se
-
nad tím zamysleli, toto nám říká, že vzdálenost
-
mezi "x" a 5 je rovna 10ti.
-
Takže kolik je čísel, která jsou přesně ve vzdálenosti 10 od 5ti?
-
A už můžete myslet na řešení této rovnice,
-
ale já vám ukážu, jak to vyřešit systematicky.
-
Bude to platit ve dvou situacích.
-
Za prvé, buď se "x" mínus 5 rovná 10ti.
-
Jestliže nám vyjde plus 10, tak pokud
-
vezmete absolutní hodnotu, dostanete
-
opět plus 10.
-
Za druhé, "x" mínus 5 se rovná mínus 10ti.
-
Jestliže "x" mínus 5 je mínus 10, pokud vezmete
-
absolutní hodnotu, dostanete opět 10.
-
Takže "x" mínus 5 se může rovnat mínus 10ti.
-
Oba tyto příklady splňují tuto rovnici.
-
Teď, jak vyřešit tohle? Přičtěte 5 k oběma
-
stranám této rovnice.
-
Vyjde vám, že "x" se rovná 15ti.
-
K vyřešení tohoto, přičtěte 5 k oběma stranám této rovnice
-
"x" se rovná mínus 5ti.
-
Takže naše řešení -- existují dvě "x", které
-
splňují tuto rovnici.
-
Za prvé, "x" může být 15.
-
15 mínus 5 je 10, absolutní hodnota 10ti je10.
-
Za druhé, "x" může být mínus 5.
-
mínus 5 mínus 5 je mínus 10
-
Absolutní hodnota mínus 10ti je 10.
-
A všimněte si, obě tato čísla jsou ve vzdálenosti 10
-
od čísla 5.
-
Udělejme ještě jeden podobný.
-
Pojďme si udělat ještě jeden.
-
Řekněme, že máme absolutní hodnotu
-
"x" plus 2 rovnu 6ti.
-
Co nám to říká?
-
Říká nám to, že buď "x" plus 2 -- že ta věc uvnitř
-
absolutní hodnoty je rovna 6ti.
-
Nebo, to uvnitř absolutní hodnoty --
-
"x" plus 2 může být i mínus 6.
-
Pokud tato celá věc vyjde mínus 6, vezměte
-
absolutní hodnotu a dostanete 6.
-
Nebo "x" plus 2 se může rovnat mínus 6ti.
-
A pak, pokud odečtete 2 od obou stran této
-
rovnice, dostanete, že "x" se rovná 4.
-
Pokud odečteme 2 od obou stran této rovnice,
-
dostanete, že "x" se rovná mínus 8.
-
Takže toto jsou dvě řešení rovnice.
-
A jen tak, abyste to měli v hlavě,
-
můžete na absolutní hodnotu nahlížet jako na druh vzdálenosti,
-
můžete přepsat tento problém jako absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti
-
absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti
-
A to se mě ptá, která "x" jsou vzdálena přesně 6
-
od mínus 2.
-
Pamatujte si, že tady jsme si řekli, která "x" jsou
-
přesně 10 od 5ti.
-
Ať už kterékoliv z těchto čísel odečtete od 5ti,
-
tyto obě jsou vzdáleny 10 od 5ti.
-
Toto se mě ptá, co přesně je vzdáleno 6
-
od mínus 2?
-
A bude to buď 4 nebo mínus 8 .
-
Mohli byste to s těmito čísly zkusit sami.
-
Udělejme ještě jeden takový příklad.
-
Udělejme ještě jeden, a uděláme ho fialový.
-
Řekněme, že máme absolutní hodnotu 4 "x" mínus --
-
trochu ten problém pozměním.
-
4 "x" mínus 1
-
Absolutní hodnota 4 "x" mínus 1 se rovná ...
-
například... se rovná 19ti.
-
Takže, stejně jako v posledních několika problémech, 4 "x" mínus 1 může být
-
rovno 19ti.
-
Nebo 4 "x" mínus 1 může vyjít mínus 19.
-
Protože pak, když budete mít absolutní hodnotu,
-
dostanete znovu 19.
-
Nebo 4 "x" mínus 1 může být rovna mínus 19.
-
Pak už stačí vyřešit tyto dvě rovnice.
-
Přičtěte 1 k oběma stranám této rovnice... můžeme to udělat
-
zároveň.
-
Přičtěte 1 na obou stranách, dostanete 4 "x" se rovná 20ti.
-
Přičtěte 1 na obou stranách této rovnice, dostanete 4 "x" se rovná
-
mínus 18ti.
-
Vydělte obě strany 4, dostanete "x" se rovná 5.
-
Vydělte obě strany 4, dostanete, že "x" se rovná
-
mínus 18 čtvrtin, což je rovno mínus 9 polovin.
-
Takže obě tyto hodnoty "x" splňují rovnici.
-
Zkuste to.
-
mínus 9 polovin krát 4
-
To nám vyjde mínus 18.
-
mínus 18 mínus 1 se rovná mínus 19
-
Vezměte absolutní hodnotu, dostanete 19.
-
Dosadíte 5, 4 krát 5 je 20
-
20 mínus 1 je 19
-
Vezměte absolutní hodnotu.
-
A opět, dostanete 19.
-
Pojďme si jeden příklad nakreslit do grafu, jen tak pro zábavu.
-
Takže řekněmě, že máme "y", které je rovno absolutní
-
hodnotě "x" plus 3
-
Takže, toto je funkce, nebo graf, s
-
absolutní hodnotou.
-
Uvažujme dvě situace
-
Existuje první situace, kde je tahle věc uvnitř absolutní
-
hodnoty kladná.
-
Takže budete mít situaci, kde "x" plus 3... napíšu to
-
tady... "x" plus 3 je větší než nula.
-
A pak máte situaci, kde "x" plus 3 je menší než nula.
-
Když "x" plus 3 je větší než nula, tento graf, nebo tato přímka,
-
...myslím, že to můžeme nazvat přímka... tato funkce je
-
totéž, co "y" se rovná "x" plus 3.
-
Pokud tahle věc tady je větší než nula,
-
znaménko absolutní hodnoty nehraje roli.
-
Takže tohle je totéž, jako
-
"y" se rovná plus 3
-
Ale v jakém případě je "x" plus 3 je větší než nula?
-
Tedy, pokud od obou stran odečteme 3, dostaneme, že
-
"x" je větší než mínus 3.
-
Takže pokud "x" je větší než mínus 3, tento graf bude
-
vypadat stejně jako "y" se rovná "x" plus 3
-
Nyní, když "x" plus 3 je menší než nula:
-
V situaci, kdy tohle.. vnitřek naši
-
absolutní hodnoty... je záporný, v takovém případě
-
bude tato rovnice rovna
-
"y" se rovná mínus dvojčlen "x" plus 3
-
Jak to mohu říct?
-
Podívejte se, pokud má toto být záporné číslo, pokud
-
"x" plus 3 bude záporné číslo... to je to,
-
co zde předpokládáme... pokud to bude záporné číslo
-
pak, pokud vezmete absolutní hodnotu záporného
-
čísla, vyjde vám číslo kladné.
-
Je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou.
-
Pokud víte, že pracujete s absolutní hodnotou záporného
-
čísla, je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou,
-
protože z něj vytvoříte číslo kladné.
-
A to bude ta situace.
-
"x" plus 3 je menší než nula.
-
Pokud odečteme 3 od obou stran, pak
-
"x" je menší než mínus 3.
-
Takže když je "x" menší než mínus 3, náš graf bude
-
vypadat takto.
-
Když je "x" je větší než mínus 3, graf bude
-
vypadat takto.
-
Takže se podívejme, jak bude náš
-
celý graf vypadat.
-
Nakreslím si osy.
-
Tohle je moje osa "x", tohle je moje osa "y"
-
Takže, tohle si vynásobím, abychom měli vzorec
-
ve formě "a" "x" plus "b".
-
Tak tohle roznásobím: mínus "x" mínus 3.
-
Takže, nyní zkusme přijít na to, jak bude tento graf
-
obecně vypadat.
-
mínus "x" mínus 3
-
Průsečík s osou "y" je v bodě mínus 3, takže 1, 2, 3.
-
A mínus "x" znamená, že bude klesat,
-
klesat o hodnotu 1.
-
Takže to bude vypadat takto.
-
Průsečík s osou "x" bude v bodě, kdy "x" je rovno
-
Pokud řekneme, že "y" je rovno nule,
tak to nastane v případě, že "x"
-
je rovno mínus 3
-
Takže to půjde po této přímce,
-
do tohoto bodu.
-
A graf, pokud bychom neměli toto omezení
-
zde, by vypadal přibližně takto.
-
To znamená, že pokud bychom jej neomezili
pouze na určitý interval na
-
ose "x".
-
Jak tento graf tedy vypadá?
-
Pojďme se podívat.
-
Průsečík s osou "y" má v bodě 3
-
Přesně zde.
-
A kde je jeho průsečík s osou "x"?
-
Pokud "y" se rovná nule, "x" se rovná mínus 3
-
Takže to prochází přesně tímto bodem tady,
a má
-
sklon 1.
-
Takže to bude vypadat asi takto.
-
Takhle tedy graf vypadá.
-
A nyní, to co jsme zjistili, je, že funkce absolutní
-
hodnoty, vypadá jako tento fialový graf pokud je "x"
-
menší než mínus 3.
-
Takže pokud je "x" menší než mínus 3 -- že "x" se rovná
-
mínus 3 právě zde -- když je "x" menší než
-
mínus 3, vypadá jako tento fialový graf.
-
Přesně zde.
-
Tak to je, když je "x" menší než mínus 3 .
-
Ale když je "x" větší než mínus 3, vypadá jako tento
-
zelený graf.
-
Vypadá to takto.
-
Takže tento graf vypadá jako takové
divné "V".
-
Když je "x" větší než mínus 3, tato část je kladná.
-
Takže máme graf -- máme rostoucí sklon.
-
Ale když je "x" menší než mínus 3, tak v podstatě
-
bereme zápornou část funkce, pokud se na to podíváte
-
takto, a proto máme klesající sklon.
-
Takže máte něco jako takovou funkci ve tvaru "V", tento
-
graf ve tvaru "V", který naznačuje funkci
-
absolutní hodnoty.
