1 00:00:00,059 --> 00:00:03,087 Pojďme si udělat nějaké rovnice, které se zabývají absolutními hodnotami. 2 00:00:03,087 --> 00:00:06,025 A jenom trochu na zopakování, pokud si vezmeme absolutní 3 00:00:06,025 --> 00:00:07,065 hodnotu čísla. 4 00:00:07,065 --> 00:00:10,067 Vezměme si například absolutní hodnotu mínus jedničky. 5 00:00:10,067 --> 00:00:13,069 Co doopravdy děláte, je, že říkáte, jak daleko je toto 6 00:00:13,069 --> 00:00:16,008 číslo od nuly. 7 00:00:16,008 --> 00:00:20,062 A v případě mínus jedničky, pokud si tady nakreslíme číselnou osu, 8 00:00:20,062 --> 00:00:23,030 to je ale ošklivá osa. 9 00:00:23,030 --> 00:00:26,023 Pokud si nakreslíme číselnou řadu, tohle je 0. 10 00:00:26,023 --> 00:00:28,046 Tady máte mínus 1. 11 00:00:28,046 --> 00:00:30,023 Tedy, vzdálenost od nuly je 1. 12 00:00:30,023 --> 00:00:33,025 Takže absolutní hodnota mínus jedničky je 1. 13 00:00:33,025 --> 00:00:38,085 A absolutní hodnota jedničky je také 1, vzdálenost od nuly. 14 00:00:38,085 --> 00:00:40,060 je také rovna 1. 15 00:00:40,060 --> 00:00:43,050 Takže, do jisté míry, absolutní hodnota je vzdálenost od nuly. 16 00:00:43,050 --> 00:00:46,018 Ale další, a myslím si jednodušší způsob, jak o tom přemýšlet, je, že vždy 17 00:00:46,018 --> 00:00:48,060 je výsledkem kladná hodnota tohoto čísla. 18 00:00:48,060 --> 00:00:59,035 absolutní hodnota mínus 7 celých 346 tisícin je 7 celých 346 tisícin. 19 00:00:59,035 --> 00:01:02,024 Takže, s tímto na mysli, pojďme zkusit vyřešit nějaké rovnice 20 00:01:02,024 --> 00:01:05,004 s absolutními hodnotami. 21 00:01:05,004 --> 00:01:08,064 Takže řekněme, že mám rovnici -- absolutní hodnota 22 00:01:08,064 --> 00:01:14,050 "x" mínus 5 je rovna 10ti. 23 00:01:14,050 --> 00:01:16,056 Jeden způsob, jak toto interpretovat, a chci abyste se 24 00:01:16,056 --> 00:01:18,084 nad tím zamysleli, toto nám říká, že vzdálenost 25 00:01:18,084 --> 00:01:23,012 mezi "x" a 5 je rovna 10ti. 26 00:01:23,012 --> 00:01:26,075 Takže kolik je čísel, která jsou přesně ve vzdálenosti 10 od 5ti? 27 00:01:26,075 --> 00:01:29,043 A už můžete myslet na řešení této rovnice, 28 00:01:29,043 --> 00:01:31,095 ale já vám ukážu, jak to vyřešit systematicky. 29 00:01:31,095 --> 00:01:36,051 Bude to platit ve dvou situacích. 30 00:01:36,051 --> 00:01:41,079 Za prvé, buď se "x" mínus 5 rovná 10ti. 31 00:01:41,079 --> 00:01:44,062 Jestliže nám vyjde plus 10, tak pokud 32 00:01:44,062 --> 00:01:46,060 vezmete absolutní hodnotu, dostanete 33 00:01:46,060 --> 00:01:48,037 opět plus 10. 34 00:01:48,037 --> 00:01:53,012 Za druhé, "x" mínus 5 se rovná mínus 10ti. 35 00:01:53,012 --> 00:01:56,090 Jestliže "x" mínus 5 je mínus 10, pokud vezmete 36 00:01:56,090 --> 00:01:59,095 absolutní hodnotu, dostanete opět 10. 37 00:01:59,095 --> 00:02:04,028 Takže "x" mínus 5 se může rovnat mínus 10ti. 38 00:02:04,028 --> 00:02:07,073 Oba tyto příklady splňují tuto rovnici. 39 00:02:07,073 --> 00:02:10,009 Teď, jak vyřešit tohle? Přičtěte 5 k oběma 40 00:02:10,009 --> 00:02:11,050 stranám této rovnice. 41 00:02:11,050 --> 00:02:14,015 Vyjde vám, že "x" se rovná 15ti. 42 00:02:14,015 --> 00:02:17,083 K vyřešení tohoto, přičtěte 5 k oběma stranám této rovnice 43 00:02:17,083 --> 00:02:20,090 "x" se rovná mínus 5ti. 44 00:02:20,090 --> 00:02:23,005 Takže naše řešení -- existují dvě "x", které 45 00:02:23,005 --> 00:02:24,090 splňují tuto rovnici. 46 00:02:24,090 --> 00:02:26,088 Za prvé, "x" může být 15. 47 00:02:26,088 --> 00:02:29,050 15 mínus 5 je 10, absolutní hodnota 10ti je10. 48 00:02:29,050 --> 00:02:32,068 Za druhé, "x" může být mínus 5. 49 00:02:32,068 --> 00:02:36,006 mínus 5 mínus 5 je mínus 10 50 00:02:36,006 --> 00:02:39,002 Absolutní hodnota mínus 10ti je 10. 51 00:02:39,002 --> 00:02:43,037 A všimněte si, obě tato čísla jsou ve vzdálenosti 10 52 00:02:43,037 --> 00:02:45,075 od čísla 5. 53 00:02:45,075 --> 00:02:48,005 Udělejme ještě jeden podobný. 54 00:02:48,005 --> 00:02:51,012 Pojďme si udělat ještě jeden. 55 00:02:51,012 --> 00:02:54,087 Řekněme, že máme absolutní hodnotu 56 00:02:54,087 --> 00:02:58,058 "x" plus 2 rovnu 6ti. 57 00:02:58,058 --> 00:02:59,061 Co nám to říká? 58 00:02:59,061 --> 00:03:03,088 Říká nám to, že buď "x" plus 2 -- že ta věc uvnitř 59 00:03:03,088 --> 00:03:07,003 absolutní hodnoty je rovna 6ti. 60 00:03:07,003 --> 00:03:10,037 Nebo, to uvnitř absolutní hodnoty -- 61 00:03:10,037 --> 00:03:12,005 "x" plus 2 může být i mínus 6. 62 00:03:12,005 --> 00:03:13,090 Pokud tato celá věc vyjde mínus 6, vezměte 63 00:03:13,090 --> 00:03:16,021 absolutní hodnotu a dostanete 6. 64 00:03:16,021 --> 00:03:20,034 Nebo "x" plus 2 se může rovnat mínus 6ti. 65 00:03:20,034 --> 00:03:22,087 A pak, pokud odečtete 2 od obou stran této 66 00:03:22,087 --> 00:03:25,084 rovnice, dostanete, že "x" se rovná 4. 67 00:03:25,084 --> 00:03:29,078 Pokud odečteme 2 od obou stran této rovnice, 68 00:03:29,078 --> 00:03:33,068 dostanete, že "x" se rovná mínus 8. 69 00:03:33,068 --> 00:03:37,024 Takže toto jsou dvě řešení rovnice. 70 00:03:37,024 --> 00:03:39,074 A jen tak, abyste to měli v hlavě, 71 00:03:39,074 --> 00:03:42,050 můžete na absolutní hodnotu nahlížet jako na druh vzdálenosti, 72 00:03:42,050 --> 00:03:46,096 můžete přepsat tento problém jako absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti 73 00:03:46,096 --> 00:03:50,040 absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti 74 00:03:50,040 --> 00:03:55,013 A to se mě ptá, která "x" jsou vzdálena přesně 6 75 00:03:55,013 --> 00:03:57,059 od mínus 2. 76 00:03:57,059 --> 00:04:00,021 Pamatujte si, že tady jsme si řekli, která "x" jsou 77 00:04:00,021 --> 00:04:03,056 přesně 10 od 5ti. 78 00:04:03,056 --> 00:04:05,099 Ať už kterékoliv z těchto čísel odečtete od 5ti, 79 00:04:05,099 --> 00:04:08,056 tyto obě jsou vzdáleny 10 od 5ti. 80 00:04:08,056 --> 00:04:11,006 Toto se mě ptá, co přesně je vzdáleno 6 81 00:04:11,006 --> 00:04:13,008 od mínus 2? 82 00:04:13,008 --> 00:04:15,050 A bude to buď 4 nebo mínus 8 . 83 00:04:15,050 --> 00:04:17,095 Mohli byste to s těmito čísly zkusit sami. 84 00:04:17,095 --> 00:04:20,045 Udělejme ještě jeden takový příklad. 85 00:04:20,045 --> 00:04:25,032 Udělejme ještě jeden, a uděláme ho fialový. 86 00:04:25,032 --> 00:04:30,018 Řekněme, že máme absolutní hodnotu 4 "x" mínus -- 87 00:04:30,018 --> 00:04:31,043 trochu ten problém pozměním. 88 00:04:31,043 --> 00:04:33,038 4 "x" mínus 1 89 00:04:33,038 --> 00:04:36,058 Absolutní hodnota 4 "x" mínus 1 se rovná ... 90 00:04:36,058 --> 00:04:40,019 například... se rovná 19ti. 91 00:04:40,019 --> 00:04:43,016 Takže, stejně jako v posledních několika problémech, 4 "x" mínus 1 může být 92 00:04:43,016 --> 00:04:47,063 rovno 19ti. 93 00:04:47,063 --> 00:04:51,067 Nebo 4 "x" mínus 1 může vyjít mínus 19. 94 00:04:51,067 --> 00:04:53,012 Protože pak, když budete mít absolutní hodnotu, 95 00:04:53,012 --> 00:04:54,080 dostanete znovu 19. 96 00:04:54,080 --> 00:04:59,010 Nebo 4 "x" mínus 1 může být rovna mínus 19. 97 00:04:59,010 --> 00:05:00,097 Pak už stačí vyřešit tyto dvě rovnice. 98 00:05:00,097 --> 00:05:03,012 Přičtěte 1 k oběma stranám této rovnice... můžeme to udělat 99 00:05:03,012 --> 00:05:03,088 zároveň. 100 00:05:03,088 --> 00:05:08,050 Přičtěte 1 na obou stranách, dostanete 4 "x" se rovná 20ti. 101 00:05:08,050 --> 00:05:13,043 Přičtěte 1 na obou stranách této rovnice, dostanete 4 "x" se rovná 102 00:05:13,043 --> 00:05:15,033 mínus 18ti. 103 00:05:15,033 --> 00:05:20,020 Vydělte obě strany 4, dostanete "x" se rovná 5. 104 00:05:21,556 --> 00:05:23,092 Vydělte obě strany 4, dostanete, že "x" se rovná 105 00:05:23,092 --> 00:05:31,076 mínus 18 čtvrtin, což je rovno mínus 9 polovin. 106 00:05:31,076 --> 00:05:35,073 Takže obě tyto hodnoty "x" splňují rovnici. 107 00:05:35,073 --> 00:05:36,027 Zkuste to. 108 00:05:36,027 --> 00:05:39,057 mínus 9 polovin krát 4 109 00:05:39,057 --> 00:05:41,056 To nám vyjde mínus 18. 110 00:05:41,056 --> 00:05:44,019 mínus 18 mínus 1 se rovná mínus 19 111 00:05:44,019 --> 00:05:46,074 Vezměte absolutní hodnotu, dostanete 19. 112 00:05:46,074 --> 00:05:49,092 Dosadíte 5, 4 krát 5 je 20 113 00:05:49,092 --> 00:05:51,095 20 mínus 1 je 19 114 00:05:51,095 --> 00:05:53,025 Vezměte absolutní hodnotu. 115 00:05:53,025 --> 00:05:55,092 A opět, dostanete 19. 116 00:05:55,092 --> 00:05:58,057 Pojďme si jeden příklad nakreslit do grafu, jen tak pro zábavu. 117 00:05:58,057 --> 00:06:03,062 Takže řekněmě, že máme "y", které je rovno absolutní 118 00:06:03,062 --> 00:06:04,099 hodnotě "x" plus 3 119 00:06:04,099 --> 00:06:07,083 Takže, toto je funkce, nebo graf, s 120 00:06:07,083 --> 00:06:09,041 absolutní hodnotou. 121 00:06:09,041 --> 00:06:11,081 Uvažujme dvě situace 122 00:06:11,081 --> 00:06:14,062 Existuje první situace, kde je tahle věc uvnitř absolutní 123 00:06:14,062 --> 00:06:16,043 hodnoty kladná. 124 00:06:16,043 --> 00:06:19,074 Takže budete mít situaci, kde "x" plus 3... napíšu to 125 00:06:19,074 --> 00:06:23,042 tady... "x" plus 3 je větší než nula. 126 00:06:23,042 --> 00:06:29,037 A pak máte situaci, kde "x" plus 3 je menší než nula. 127 00:06:29,037 --> 00:06:35,010 Když "x" plus 3 je větší než nula, tento graf, nebo tato přímka, 128 00:06:35,010 --> 00:06:37,068 ...myslím, že to můžeme nazvat přímka... tato funkce je 129 00:06:37,068 --> 00:06:41,068 totéž, co "y" se rovná "x" plus 3. 130 00:06:41,068 --> 00:06:44,037 Pokud tahle věc tady je větší než nula, 131 00:06:44,037 --> 00:06:46,075 znaménko absolutní hodnoty nehraje roli. 132 00:06:46,075 --> 00:06:48,077 Takže tohle je totéž, jako 133 00:06:48,077 --> 00:06:50,027 "y" se rovná plus 3 134 00:06:50,027 --> 00:06:52,058 Ale v jakém případě je "x" plus 3 je větší než nula? 135 00:06:52,058 --> 00:06:57,093 Tedy, pokud od obou stran odečteme 3, dostaneme, že 136 00:06:57,093 --> 00:06:59,091 "x" je větší než mínus 3. 137 00:06:59,091 --> 00:07:03,008 Takže pokud "x" je větší než mínus 3, tento graf bude 138 00:07:03,008 --> 00:07:08,045 vypadat stejně jako "y" se rovná "x" plus 3 139 00:07:08,045 --> 00:07:11,050 Nyní, když "x" plus 3 je menší než nula: 140 00:07:11,050 --> 00:07:14,012 V situaci, kdy tohle.. vnitřek naši 141 00:07:14,012 --> 00:07:18,091 absolutní hodnoty... je záporný, v takovém případě 142 00:07:18,091 --> 00:07:22,002 bude tato rovnice rovna 143 00:07:22,002 --> 00:07:26,025 "y" se rovná mínus dvojčlen "x" plus 3 144 00:07:26,025 --> 00:07:27,054 Jak to mohu říct? 145 00:07:27,054 --> 00:07:30,051 Podívejte se, pokud má toto být záporné číslo, pokud 146 00:07:30,051 --> 00:07:33,006 "x" plus 3 bude záporné číslo... to je to, 147 00:07:33,006 --> 00:07:36,000 co zde předpokládáme... pokud to bude záporné číslo 148 00:07:36,000 --> 00:07:38,008 pak, pokud vezmete absolutní hodnotu záporného 149 00:07:38,008 --> 00:07:40,005 čísla, vyjde vám číslo kladné. 150 00:07:40,005 --> 00:07:43,027 Je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou. 151 00:07:43,027 --> 00:07:45,087 Pokud víte, že pracujete s absolutní hodnotou záporného 152 00:07:45,087 --> 00:07:48,088 čísla, je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou, 153 00:07:48,088 --> 00:07:51,000 protože z něj vytvoříte číslo kladné. 154 00:07:51,000 --> 00:07:53,087 A to bude ta situace. 155 00:07:53,087 --> 00:07:55,083 "x" plus 3 je menší než nula. 156 00:07:55,083 --> 00:07:59,085 Pokud odečteme 3 od obou stran, pak 157 00:07:59,085 --> 00:08:01,027 "x" je menší než mínus 3. 158 00:08:01,027 --> 00:08:03,092 Takže když je "x" menší než mínus 3, náš graf bude 159 00:08:03,092 --> 00:08:05,004 vypadat takto. 160 00:08:05,004 --> 00:08:08,027 Když je "x" je větší než mínus 3, graf bude 161 00:08:08,027 --> 00:08:09,060 vypadat takto. 162 00:08:09,060 --> 00:08:11,030 Takže se podívejme, jak bude náš 163 00:08:11,030 --> 00:08:13,067 celý graf vypadat. 164 00:08:13,067 --> 00:08:21,051 Nakreslím si osy. 165 00:08:21,051 --> 00:08:26,006 Tohle je moje osa "x", tohle je moje osa "y" 166 00:08:26,006 --> 00:08:29,008 Takže, tohle si vynásobím, abychom měli vzorec 167 00:08:29,008 --> 00:08:29,087 ve formě "a" "x" plus "b". 168 00:08:29,087 --> 00:08:36,007 Tak tohle roznásobím: mínus "x" mínus 3. 169 00:08:36,007 --> 00:08:37,040 Takže, nyní zkusme přijít na to, jak bude tento graf 170 00:08:37,040 --> 00:08:38,062 obecně vypadat. 171 00:08:38,062 --> 00:08:42,001 mínus "x" mínus 3 172 00:08:42,001 --> 00:08:47,037 Průsečík s osou "y" je v bodě mínus 3, takže 1, 2, 3. 173 00:08:47,037 --> 00:08:51,005 A mínus "x" znamená, že bude klesat, 174 00:08:51,005 --> 00:08:52,028 klesat o hodnotu 1. 175 00:08:52,028 --> 00:08:53,053 Takže to bude vypadat takto. 176 00:08:56,084 --> 00:09:02,083 Průsečík s osou "x" bude v bodě, kdy "x" je rovno 177 00:09:02,083 --> 00:09:07,074 Pokud řekneme, že "y" je rovno nule, tak to nastane v případě, že "x" 178 00:09:07,074 --> 00:09:08,057 je rovno mínus 3 179 00:09:08,057 --> 00:09:10,037 Takže to půjde po této přímce, 180 00:09:10,037 --> 00:09:11,091 do tohoto bodu. 181 00:09:11,091 --> 00:09:14,019 A graf, pokud bychom neměli toto omezení 182 00:09:14,019 --> 00:09:15,060 zde, by vypadal přibližně takto. 183 00:09:19,088 --> 00:09:22,075 To znamená, že pokud bychom jej neomezili pouze na určitý interval na 184 00:09:22,075 --> 00:09:23,087 ose "x". 185 00:09:23,087 --> 00:09:27,008 Jak tento graf tedy vypadá? 186 00:09:27,008 --> 00:09:27,048 Pojďme se podívat. 187 00:09:27,048 --> 00:09:31,080 Průsečík s osou "y" má v bodě 3 188 00:09:31,080 --> 00:09:33,023 Přesně zde. 189 00:09:33,023 --> 00:09:35,025 A kde je jeho průsečík s osou "x"? 190 00:09:35,025 --> 00:09:37,097 Pokud "y" se rovná nule, "x" se rovná mínus 3 191 00:09:37,097 --> 00:09:39,075 Takže to prochází přesně tímto bodem tady, a má 192 00:09:39,075 --> 00:09:40,062 sklon 1. 193 00:09:40,062 --> 00:09:43,071 Takže to bude vypadat asi takto. 194 00:09:43,071 --> 00:09:45,033 Takhle tedy graf vypadá. 195 00:09:45,033 --> 00:09:48,010 A nyní, to co jsme zjistili, je, že funkce absolutní 196 00:09:48,010 --> 00:09:52,002 hodnoty, vypadá jako tento fialový graf pokud je "x" 197 00:09:52,002 --> 00:09:53,083 menší než mínus 3. 198 00:09:53,083 --> 00:09:57,007 Takže pokud je "x" menší než mínus 3 -- že "x" se rovná 199 00:09:57,007 --> 00:09:59,059 mínus 3 právě zde -- když je "x" menší než 200 00:09:59,059 --> 00:10:03,016 mínus 3, vypadá jako tento fialový graf. 201 00:10:03,016 --> 00:10:04,057 Přesně zde. 202 00:10:04,057 --> 00:10:07,038 Tak to je, když je "x" menší než mínus 3 . 203 00:10:07,038 --> 00:10:10,083 Ale když je "x" větší než mínus 3, vypadá jako tento 204 00:10:10,083 --> 00:10:12,015 zelený graf. 205 00:10:12,015 --> 00:10:14,063 Vypadá to takto. 206 00:10:14,063 --> 00:10:17,048 Takže tento graf vypadá jako takové divné "V". 207 00:10:17,048 --> 00:10:21,042 Když je "x" větší než mínus 3, tato část je kladná. 208 00:10:21,042 --> 00:10:24,095 Takže máme graf -- máme rostoucí sklon. 209 00:10:24,095 --> 00:10:28,026 Ale když je "x" menší než mínus 3, tak v podstatě 210 00:10:28,026 --> 00:10:30,054 bereme zápornou část funkce, pokud se na to podíváte 211 00:10:30,054 --> 00:10:32,027 takto, a proto máme klesající sklon. 212 00:10:32,027 --> 00:10:35,005 Takže máte něco jako takovou funkci ve tvaru "V", tento 213 00:10:35,005 --> 00:10:38,025 graf ve tvaru "V", který naznačuje funkci 214 00:10:38,025 --> 00:10:39,095 absolutní hodnoty.