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Quello che voglio fare in questo video e' usare un po' dei risultati degli
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ultimi video per fare un po' di cose piuttosto fiche.
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Allora, diciamo che questo e' un cerchio e ho un triangolo
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equilatero inscritto in questo cerchio.
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Percio' tutti i vertici di questo triangolo stanno nella
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circonferenza del cerchio.
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Allora faro' del mio meglio per disegnare un triangolo equilatero.
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Penso che sia piu' o meno la cosa migliore che riesco a fare.
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E quando dico equilatero significa che tutti
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i lati hanno la stessa lunghezza.
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Percio' se questo lato e' lungo a, allora questo lato e' lungo a
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e anche questo e' un lato di lunghezza a.
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E diciamo che sappiamo che il raggio di questo cerchio e' 2.
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Sto prendendo un numero a caso, giusto per fare questo problema.
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Percio' diciamo che il raggio di questo cerchio e' 2.
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Quindi dal centro della circonferenza a qualsiasi
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punto, questa distanza, il raggio, e' uguale a 2.
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Ora, quello che ti chiedo e' usando qualche risultato
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degli ultimi video e un po' di trigonometria
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di base --- e se la parola trigonometria di spaventa
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avrai bisogno di sapere magari i primi due o tre video
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della playlist di trigonometria per essere in grado di capire
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cosa faccio qui.
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Quello che voglio fare e' capire l'area della regione
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nel cerchio e fuori del triangolo.
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Percio' voglio capire l'area di questo spazietto,
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questo spazio e questo spazio combinati.
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Quindi il modo ovvio di farlo e' dire: beh, posso
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calcolare l'area del cerchio piuttosto facilmente.
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Area del cerchio.
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E sara' uguale a p grego r^2.
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O p greco per 2^2, che e' uguale a 4 p greco.
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E potrei sottrarre da 4 p greco l'area del triangolo.
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Percio' dobbiamo calcolare l'area del triangolo.
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Quant'e' l'area del triangolo?
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Beh, un po' di video fa ti ho mostrato la formula di Erone,
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dove se conosci le lunghezze dei lati di un triangolo
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puoi calcolare l'area.
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Ma le lunghezze dei lati ancora non le conosciamo.
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Una volta che le sappiamo magari possiamo calcolare l'area.
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Fammi applicare la formula di Erone senza conoscerla.
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Quindi fammi dire che la lunghezza di questo triangolo equilatero ---
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la lunghezza dei lati --- e' a.
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Applicando la formula di Erone, prima definiamo la variabile
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S come uguale ad (a + a + a) / 2.
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Che e' come dire 3a / 2.
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E poi l'area del triangolo, in termini di a.
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Percio' l'area sara' uguale alla radice quadrata di
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s, che e' 3a/2, per s - a.
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Quindi e' (3a/2) - a.
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O potrei scrivere 2a/2.
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Giusto? a e' come dire 2a/2.
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Puoi annullare questi e ottieni a.
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E poi faccio questa cosa 3 volte.
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Percio' invece di moltiplicare questo 3 volte per ognuno
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dei lati, per la formula di Erone potrei dire semplicemente
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alla terza potenza.
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Quindi a quanto sara' uguale?
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Questo sara' uguale alla radice quadrata di 3a/2.
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E poi questo qui sara' uguale
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a 3a - 2a, che e' a.
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Quindi a/2 alla terza potenza.
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E quindi questo sara' uguale a --- cambio colore
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arbitrariamente.
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Abbiamo 3a per a alla terza, che e' 3a alla
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quarta, su 2 per 2 alla terza.
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Beh, e' 2 alla quarta, o 16.
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Giusto?
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2 per 2 alla terza e' 2 alla quarta.
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Fa 16.
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E poi prendiamo la radice quadrata del numeratore e
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del denominatore, sara' uguale alla radice quadrata di
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a^4 e' a^2.
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a^2 per, scriviamo giusto radice quadrata di 3,
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sulla radice quadrata del denominatore, che e' 4.
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Quindi se sappiamo a, usando la formula di Erone sappiamo quant'e'
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l'area di questo triangolo equilatero.
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Quindi come capiamo a?
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Allora che altro sappiamo dei triangoli equilateri?
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Beh sappiamo che tutti questi angoli sono uguali.
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E visto che la loro somma deve fare 180 gradi, devono
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essere tutti di 60 gradi.
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Questo e' 60 gradi, questo e' 60 gradi e
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questo e' 60 gradi.
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Ora vediamo se possiamo usare l'ultimo video, dove ho parlato
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della relazione tra un angolo inscritto
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e un angolo centrale.
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Allora questo qui e' un angolo inscritto.
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Il vertice sta sulla circonferenza.
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E quindi sottende quest'arco qui.
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E l'angolo centrale che sottende lo stesso arco
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e' questo qui.
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L'angolo centrale che sottende lo stesso arco e'
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questo qui.
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Quindi in base a quello che abbiamo visto nell'ultimo video, l'angolo centrale
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che sottende lo stesso arco sara' il doppio
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dell'angolo inscritto.
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Quindi quest'angolo qui sara' 120 gradi.
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Fammici mettere una freccia.
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120 gradi.
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E' il doppio di questo.
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Ora, se dovessi mettere una bisettrice su quest'angolo qui.
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Quindi vado in mezzo all'angolo e voglio
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scendere in questo modo.
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Quanto saranno questi angoli?
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Beh, saranno 60 gradi.
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Sto bisecando l'angolo.
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Questo e' 60 gradi e questo qui e' 60 gradi.
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E sappiamo che sto dividendo questo in due.
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Questo e' un triangolo isoscele.
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Questo qui e' un raggio.
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Il raggio r e' uguale a 2.
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Questo raggio qui r e' uguale a 2.
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Quindi tutto questo triangolo e' simmetrico.
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Se vado giu' in mezzo, questa lunghezza qui
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sara' questo lato diviso 2.
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Questo lato qui sara' questo lato diviso 2.
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Fammelo disegnare qui.
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Se prendo un triangolo isoscele, un qualsiasi
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triangolo isoscele, dove questo lato e' equivalente a questo lato.
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Questi sono i raggi in questo esempio.
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E qeusto angolo sara' uguale a questo angolo.
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Se dovessi andare giu' da questo angolo qui
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dividerei questo lato opposto in due.
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Quindi queste lunghezze saranno uguali.
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In questo caso se tutta questa cosa e' a, ognuno di questi
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sara' a/2.
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Ora, vediamo se possiamo usare un po' di
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trigonometria per trovarel la relazione tra a ed r.
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Perche' se siamo in grado di risolvere a usando r allora possiamo
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mettere quel valore di a qui e otteniamo l'area
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del nostro triangolo.
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E poi possiamo sottrarla dall'area del
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cerchio e abbiamo finito.
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Avremo risolto il problema.
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Quindi vediamo se ci riusciamo.
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Allora qui abbiamo un angolo di 60 gradi.
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Meta' di tutto questo angolo centrale qui.
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Se questo e' 60 gradi, abbiamo a/2
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all'opposto di quest'angolo.
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Quindi abbiamo un opposto uguale ad a/2.
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E abbiamo anche l'ipotenusa.
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Giusto?
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Questo qui e' un triangolo rettangolo.
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Stai andando giu' e stai bisecando
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quel lato opposto.
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Questo e' un triangolo rettangolo.
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Quindi possiamo usare un po' di trigonometria.
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L'opposto e' a/2, l'ipotenusa e' uguale a r.
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Questa e' l'ipotenusa, qui, del nostro triangolo rettangolo.
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Percio' questo e' 2.
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Quindi quale rapporto c'e' tra un angolo opposto
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e l'ipotenusa?
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Qualcuno sara' stufo di sentirmi fare questa cosa tutte
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le volte, ma SOH CAH TOA.
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SOH --- il seno di un angolo e' uguale all'opposto
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fratto l'ipotenusa.
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Quindi fammi scorrere un po' verso il basso.
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Mi sta finendo lo spazio.
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Allora il seno di questo angolo qui, il seno di 60 gradi,
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sara' uguale al lato opposto, sara'
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uguale a a/2, fratto l'ipotenusa, che e'
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il nostro raggio --- fratto 2.
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Che e' uguale a a/2 diviso 2 e' a/4.
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E quant'e' il seno di 60 gradi?
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E se la parola seno ti e' completamente estranea
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guardati i primi video della playlist di trigonometria.
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Non dovrebbe essere troppo scoraggiante.
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Il seno di 60 gradi potresti ricordartelo dai
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triangoli 30-60-90.
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Quindi fammene disegnare uno qui.
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Questo e' un triangolo 30-60-90.
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Se questo e' 60 gradi, questo e' 30 gradi, questo e' 90.
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Magari ti ricordi che se questo e' lungo 1, questo sara'
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lungo 1/2 e questo sara' lungo
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radice quadrata di 3/2.
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Quindi il seno di 60 gradi e' l'opposto sull'ipotenusa.
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Radice quadrata di 3 fratto 2 fratto 1.
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Seno di 60 gradi.
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Se non hai una calcolatrice, potresti usare questo ---
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e' radice quadrata di 3 su 2.
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Percio' questo qui e' radice quadrata di 3 fratto 2.
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Ora possiamo risolvere a.
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Radice quadrata di 3 fratto 2 e' uguale a a/4.
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Moltiplichiamo entrambi i lati per 4.
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Quindi ottieni questi 4 si annullano.
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Qui moltiplichi il 4.
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Questo diventa un 2.
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Questo diventa un 1.
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Ottieni a = 2 radice di 3.
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Siamo in dirittura d'arrivo.
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Abbiamo appena capito la lunghezza di ognuno dei lati.
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Abbiamo usato la formula di Erone per calcolare l'area di
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un triangolo in base a queste lunghezze.
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Quindi sostituiamo questo valore di a qui dentro
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per ottenere l'area.
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Quindi l'area del triangolo e' uguale ad a^2.
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Quant'e' a^2?
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E' 2 radice di 3 al quadrato, per
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la radice quadrata di 3 fratto 4.
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Abbiamo solo fatto a^2 per la radice quadrata di 3 fratto 4.
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Sara' uguale a 4 per 3 per
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il quadrato di 3 fratto 4.
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Questi 4 si annullano.
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Percio' l'area del triangolo che abbiamo e' 3 per la
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radice quadrata di 3.
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Quindi quest'area qui e' 3 radice quadrata di 3.
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Questa e' l'area di tutto questo triangolo.
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Ora, tornando a cosa ci chiedeva la domanda.
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L'area di quest'area arancione fuori dal triangolo
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e dentro al cerchio.
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Beh, l'area del cerchio e' 4 p greco.
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E da questa sottraiamo l'area del triangolo,
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3 radice quadrata di 3.
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E abbiamo fatto.
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La risposta e' questa.
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Questa e' l'area di questa regione arancione qui.
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Ad ogni modo, spero tu lo abbia trovato divertente.
