1
00:00:00,480 --> 00:00:03,140
Quello che voglio fare in questo video e' usare un po' dei risultati degli

2
00:00:03,140 --> 00:00:05,960
ultimi video per fare un po' di cose piuttosto fiche.

3
00:00:05,960 --> 00:00:10,000
Allora, diciamo che questo e' un cerchio e ho un triangolo

4
00:00:10,000 --> 00:00:12,130
equilatero inscritto in questo cerchio.

5
00:00:12,130 --> 00:00:17,340
Percio' tutti i vertici di questo triangolo stanno nella

6
00:00:17,340 --> 00:00:18,825
circonferenza del cerchio.

7
00:00:18,825 --> 00:00:24,170
Allora faro' del mio meglio per disegnare un triangolo equilatero.

8
00:00:24,170 --> 00:00:26,960
Penso che sia piu' o meno la cosa migliore che riesco a fare.

9
00:00:26,960 --> 00:00:28,620
E quando dico equilatero significa che tutti

10
00:00:28,620 --> 00:00:29,910
i lati hanno la stessa lunghezza.

11
00:00:29,910 --> 00:00:33,060
Percio' se questo lato e' lungo a, allora questo lato e' lungo a

12
00:00:33,060 --> 00:00:36,610
e anche questo e' un lato di lunghezza a.

13
00:00:36,610 --> 00:00:44,010
E diciamo che sappiamo che il raggio di questo cerchio e' 2.

14
00:00:44,010 --> 00:00:45,925
Sto prendendo un numero a caso, giusto per fare questo problema.

15
00:00:45,925 --> 00:00:49,600
Percio' diciamo che il raggio di questo cerchio e' 2.

16
00:00:49,600 --> 00:00:51,700
Quindi dal centro della circonferenza a qualsiasi

17
00:00:51,700 --> 00:00:55,910
punto, questa distanza, il raggio, e' uguale a 2.

18
00:00:55,910 --> 00:01:01,780
Ora, quello che ti chiedo e' usando qualche risultato

19
00:01:01,780 --> 00:01:04,020
degli ultimi video e un po' di trigonometria

20
00:01:04,020 --> 00:01:06,940
di base --- e se la parola trigonometria di spaventa

21
00:01:06,940 --> 00:01:09,570
avrai bisogno di sapere magari i primi due o tre video

22
00:01:09,570 --> 00:01:11,710
della playlist di trigonometria per essere in grado di capire

23
00:01:11,710 --> 00:01:12,840
cosa faccio qui.

24
00:01:12,840 --> 00:01:18,830
Quello che voglio fare e' capire l'area della regione

25
00:01:18,830 --> 00:01:21,080
nel cerchio e fuori del triangolo.

26
00:01:21,080 --> 00:01:25,690
Percio' voglio capire l'area di questo spazietto,

27
00:01:25,690 --> 00:01:30,940
questo spazio e questo spazio combinati.

28
00:01:30,940 --> 00:01:33,490
Quindi il modo ovvio di farlo e' dire: beh, posso

29
00:01:33,490 --> 00:01:36,670
calcolare l'area del cerchio piuttosto facilmente.

30
00:01:36,670 --> 00:01:40,215
Area del cerchio.

31
00:01:40,215 --> 00:01:43,740
E sara' uguale a p grego r^2.

32
00:01:43,740 --> 00:01:48,840
O p greco per 2^2, che e' uguale a 4 p greco.

33
00:01:48,840 --> 00:01:53,040
E potrei sottrarre da 4 p greco l'area del triangolo.

34
00:01:53,040 --> 00:01:55,450
Percio' dobbiamo calcolare l'area del triangolo.

35
00:01:55,450 --> 00:02:00,760
Quant'e' l'area del triangolo?

36
00:02:03,930 --> 00:02:07,260
Beh, un po' di video fa ti ho mostrato la formula di Erone,

37
00:02:07,260 --> 00:02:10,720
dove se conosci le lunghezze dei lati di un triangolo

38
00:02:10,720 --> 00:02:12,070
puoi calcolare l'area.

39
00:02:12,070 --> 00:02:14,180
Ma le lunghezze dei lati ancora non le conosciamo.

40
00:02:14,180 --> 00:02:16,560
Una volta che le sappiamo magari possiamo calcolare l'area.

41
00:02:16,560 --> 00:02:18,740
Fammi applicare la formula di Erone senza conoscerla.

42
00:02:18,740 --> 00:02:21,950
Quindi fammi dire che la lunghezza di questo triangolo equilatero ---

43
00:02:21,950 --> 00:02:23,760
la lunghezza dei lati --- e' a.

44
00:02:23,760 --> 00:02:31,450
Applicando la formula di Erone, prima definiamo la variabile

45
00:02:31,450 --> 00:02:38,220
S come uguale ad (a + a + a) / 2.

46
00:02:38,220 --> 00:02:42,070
Che e' come dire 3a / 2.

47
00:02:42,070 --> 00:02:46,380
E poi l'area del triangolo, in termini di a.

48
00:02:46,380 --> 00:02:52,910
Percio' l'area sara' uguale alla radice quadrata di

49
00:02:52,910 --> 00:02:59,310
s, che e' 3a/2, per s - a.

50
00:02:59,310 --> 00:03:03,820
Quindi e' (3a/2) - a.

51
00:03:03,820 --> 00:03:07,060
O potrei scrivere 2a/2.

52
00:03:07,060 --> 00:03:08,970
Giusto? a e' come dire 2a/2.

53
00:03:08,970 --> 00:03:10,740
Puoi annullare questi e ottieni a.

54
00:03:10,740 --> 00:03:13,170
E poi faccio questa cosa 3 volte.

55
00:03:13,170 --> 00:03:16,000
Percio' invece di moltiplicare questo 3 volte per ognuno

56
00:03:16,000 --> 00:03:18,640
dei lati, per la formula di Erone potrei dire semplicemente

57
00:03:18,640 --> 00:03:20,700
alla terza potenza.

58
00:03:20,700 --> 00:03:22,000
Quindi a quanto sara' uguale?

59
00:03:22,000 --> 00:03:31,050
Questo sara' uguale alla radice quadrata di 3a/2.

60
00:03:31,050 --> 00:03:34,070
E poi questo qui sara' uguale

61
00:03:34,070 --> 00:03:36,810
a 3a - 2a, che e' a.

62
00:03:36,810 --> 00:03:42,010
Quindi a/2 alla terza potenza.

63
00:03:42,010 --> 00:03:44,860
E quindi questo sara' uguale a --- cambio colore

64
00:03:44,860 --> 00:03:46,490
arbitrariamente.

65
00:03:46,490 --> 00:03:53,560
Abbiamo 3a per a alla terza, che e' 3a alla

66
00:03:53,560 --> 00:03:58,170
quarta, su 2 per 2 alla terza.

67
00:03:58,170 --> 00:04:03,400
Beh, e' 2 alla quarta, o 16.

68
00:04:03,400 --> 00:04:03,680
Giusto?

69
00:04:03,680 --> 00:04:07,100
2 per 2 alla terza e' 2 alla quarta.

70
00:04:07,100 --> 00:04:07,890
Fa 16.

71
00:04:07,890 --> 00:04:10,660
E poi prendiamo la radice quadrata del numeratore e

72
00:04:10,660 --> 00:04:14,150
del denominatore, sara' uguale alla radice quadrata di

73
00:04:14,150 --> 00:04:16,690
a^4 e' a^2.

74
00:04:16,690 --> 00:04:21,390
a^2 per, scriviamo giusto radice quadrata di 3,

75
00:04:21,390 --> 00:04:24,860
sulla radice quadrata del denominatore, che e' 4.

76
00:04:24,860 --> 00:04:30,130
Quindi se sappiamo a, usando la formula di Erone sappiamo quant'e'

77
00:04:30,130 --> 00:04:32,720
l'area di questo triangolo equilatero.

78
00:04:32,720 --> 00:04:35,080
Quindi come capiamo a?

79
00:04:35,080 --> 00:04:37,770
Allora che altro sappiamo dei triangoli equilateri?

80
00:04:37,770 --> 00:04:42,690
Beh sappiamo che tutti questi angoli sono uguali.

81
00:04:42,690 --> 00:04:45,720
E visto che la loro somma deve fare 180 gradi, devono

82
00:04:45,720 --> 00:04:48,210
essere tutti di 60 gradi.

83
00:04:48,210 --> 00:04:51,890
Questo e' 60 gradi, questo e' 60 gradi e

84
00:04:51,890 --> 00:04:54,090
questo e' 60 gradi.

85
00:04:54,090 --> 00:04:56,980
Ora vediamo se possiamo usare l'ultimo video, dove ho parlato

86
00:04:56,980 --> 00:05:01,720
della relazione tra un angolo inscritto

87
00:05:01,720 --> 00:05:02,800
e un angolo centrale.

88
00:05:02,800 --> 00:05:04,560
Allora questo qui e' un angolo inscritto.

89
00:05:04,560 --> 00:05:09,620
Il vertice sta sulla circonferenza.

90
00:05:09,620 --> 00:05:16,630
E quindi sottende quest'arco qui.

91
00:05:20,500 --> 00:05:25,000
E l'angolo centrale che sottende lo stesso arco

92
00:05:25,000 --> 00:05:26,330
e' questo qui.

93
00:05:29,880 --> 00:05:33,740
L'angolo centrale che sottende lo stesso arco e'

94
00:05:33,740 --> 00:05:34,960
questo qui.

95
00:05:34,960 --> 00:05:39,170
Quindi in base a quello che abbiamo visto nell'ultimo video, l'angolo centrale

96
00:05:39,170 --> 00:05:41,980
che sottende lo stesso arco sara' il doppio

97
00:05:41,980 --> 00:05:43,040
dell'angolo inscritto.

98
00:05:43,040 --> 00:05:47,230
Quindi quest'angolo qui sara' 120 gradi.

99
00:05:47,230 --> 00:05:48,860
Fammici mettere una freccia.

100
00:05:48,860 --> 00:05:50,860
120 gradi.

101
00:05:50,860 --> 00:05:52,440
E' il doppio di questo.

102
00:05:52,440 --> 00:05:56,110
Ora, se dovessi mettere una bisettrice su quest'angolo qui.

103
00:05:56,110 --> 00:05:58,140
Quindi vado in mezzo all'angolo e voglio

104
00:05:58,140 --> 00:06:01,260
scendere in questo modo.

105
00:06:01,260 --> 00:06:03,310
Quanto saranno questi angoli?

106
00:06:03,310 --> 00:06:04,440
Beh, saranno 60 gradi.

107
00:06:04,440 --> 00:06:05,760
Sto bisecando l'angolo.

108
00:06:05,760 --> 00:06:10,480
Questo e' 60 gradi e questo qui e' 60 gradi.

109
00:06:10,480 --> 00:06:14,450
E sappiamo che sto dividendo questo in due.

110
00:06:14,450 --> 00:06:17,080
Questo e' un triangolo isoscele.

111
00:06:17,080 --> 00:06:19,040
Questo qui e' un raggio.

112
00:06:19,040 --> 00:06:21,030
Il raggio r e' uguale a 2.

113
00:06:21,030 --> 00:06:24,530
Questo raggio qui r e' uguale a 2.

114
00:06:24,530 --> 00:06:26,090
Quindi tutto questo triangolo e' simmetrico.

115
00:06:26,090 --> 00:06:28,540
Se vado giu' in mezzo, questa lunghezza qui

116
00:06:28,540 --> 00:06:33,100
sara' questo lato diviso 2.

117
00:06:33,100 --> 00:06:36,280
Questo lato qui sara' questo lato diviso 2.

118
00:06:36,280 --> 00:06:37,240
Fammelo disegnare qui.

119
00:06:37,240 --> 00:06:39,890
Se prendo un triangolo isoscele, un qualsiasi

120
00:06:39,890 --> 00:06:44,850
triangolo isoscele, dove questo lato e' equivalente a questo lato.

121
00:06:44,850 --> 00:06:47,300
Questi sono i raggi in questo esempio.

122
00:06:47,300 --> 00:06:49,530
E qeusto angolo sara' uguale a questo angolo.

123
00:06:49,530 --> 00:06:51,790
Se dovessi andare giu' da questo angolo qui

124
00:06:51,790 --> 00:06:55,260
dividerei questo lato opposto in due.

125
00:06:55,260 --> 00:06:56,880
Quindi queste lunghezze saranno uguali.

126
00:06:56,880 --> 00:06:59,120
In questo caso se tutta questa cosa e' a, ognuno di questi

127
00:06:59,120 --> 00:07:01,140
sara' a/2.

128
00:07:01,140 --> 00:07:04,420
Ora, vediamo se possiamo usare un po' di

129
00:07:04,420 --> 00:07:08,620
trigonometria per trovarel la relazione tra a ed r.

130
00:07:08,620 --> 00:07:12,050
Perche' se siamo in grado di risolvere a usando r allora possiamo

131
00:07:12,050 --> 00:07:14,640
mettere quel valore di a qui e otteniamo l'area

132
00:07:14,640 --> 00:07:15,690
del nostro triangolo.

133
00:07:15,690 --> 00:07:17,600
E poi possiamo sottrarla dall'area del

134
00:07:17,600 --> 00:07:20,070
cerchio e abbiamo finito.

135
00:07:20,070 --> 00:07:22,050
Avremo risolto il problema.

136
00:07:22,050 --> 00:07:24,610
Quindi vediamo se ci riusciamo.

137
00:07:24,610 --> 00:07:29,340
Allora qui abbiamo un angolo di 60 gradi.

138
00:07:29,340 --> 00:07:32,050
Meta' di tutto questo angolo centrale qui.

139
00:07:32,050 --> 00:07:35,890
Se questo e' 60 gradi, abbiamo a/2

140
00:07:35,890 --> 00:07:37,380
all'opposto di quest'angolo.

141
00:07:37,380 --> 00:07:43,480
Quindi abbiamo un opposto uguale ad a/2.

142
00:07:43,480 --> 00:07:44,860
E abbiamo anche l'ipotenusa.

143
00:07:44,860 --> 00:07:45,040
Giusto?

144
00:07:45,040 --> 00:07:46,870
Questo qui e' un triangolo rettangolo.

145
00:07:46,870 --> 00:07:49,830
Stai andando giu' e stai bisecando

146
00:07:49,830 --> 00:07:50,840
quel lato opposto.

147
00:07:50,840 --> 00:07:52,640
Questo e' un triangolo rettangolo.

148
00:07:52,640 --> 00:07:54,000
Quindi possiamo usare un po' di trigonometria.

149
00:07:54,000 --> 00:08:02,550
L'opposto e' a/2, l'ipotenusa e' uguale a r.

150
00:08:02,550 --> 00:08:05,020
Questa e' l'ipotenusa, qui, del nostro triangolo rettangolo.

151
00:08:05,020 --> 00:08:06,360
Percio' questo e' 2.

152
00:08:06,360 --> 00:08:12,440
Quindi quale rapporto c'e' tra un angolo opposto

153
00:08:12,440 --> 00:08:14,920
e l'ipotenusa?

154
00:08:14,920 --> 00:08:18,910
Qualcuno sara' stufo di sentirmi fare questa cosa tutte

155
00:08:18,910 --> 00:08:22,030
le volte, ma SOH CAH TOA.

156
00:08:22,030 --> 00:08:27,070
SOH --- il seno di un angolo e' uguale all'opposto

157
00:08:27,070 --> 00:08:28,620
fratto l'ipotenusa.

158
00:08:28,620 --> 00:08:29,580
Quindi fammi scorrere un po' verso il basso.

159
00:08:29,580 --> 00:08:31,270
Mi sta finendo lo spazio.

160
00:08:31,270 --> 00:08:38,700
Allora il seno di questo angolo qui, il seno di 60 gradi,

161
00:08:38,700 --> 00:08:42,070
sara' uguale al lato opposto, sara'

162
00:08:42,070 --> 00:08:45,800
uguale a a/2, fratto l'ipotenusa, che e'

163
00:08:45,800 --> 00:08:48,140
il nostro raggio --- fratto 2.

164
00:08:48,140 --> 00:08:54,510
Che e' uguale a a/2 diviso 2 e' a/4.

165
00:08:54,510 --> 00:08:56,880
E quant'e' il seno di 60 gradi?

166
00:08:56,880 --> 00:08:59,720
E se la parola seno ti e' completamente estranea

167
00:08:59,720 --> 00:09:04,150
guardati i primi video della playlist di trigonometria.

168
00:09:04,150 --> 00:09:06,240
Non dovrebbe essere troppo scoraggiante.

169
00:09:06,240 --> 00:09:08,310
Il seno di 60 gradi potresti ricordartelo dai

170
00:09:08,310 --> 00:09:10,680
triangoli 30-60-90.

171
00:09:10,680 --> 00:09:13,210
Quindi fammene disegnare uno qui.

172
00:09:13,210 --> 00:09:15,705
Questo e' un triangolo 30-60-90.

173
00:09:15,705 --> 00:09:21,540
Se questo e' 60 gradi, questo e' 30 gradi, questo e' 90.

174
00:09:21,540 --> 00:09:26,660
Magari ti ricordi che se questo e' lungo 1, questo sara'

175
00:09:26,660 --> 00:09:29,520
lungo 1/2 e questo sara' lungo

176
00:09:29,520 --> 00:09:31,370
radice quadrata di 3/2.

177
00:09:31,370 --> 00:09:35,300
Quindi il seno di 60 gradi e' l'opposto sull'ipotenusa.

178
00:09:35,300 --> 00:09:37,770
Radice quadrata di 3 fratto 2 fratto 1.

179
00:09:37,770 --> 00:09:40,940
Seno di 60 gradi.

180
00:09:40,940 --> 00:09:42,840
Se non hai una calcolatrice, potresti usare questo ---

181
00:09:42,840 --> 00:09:44,930
e' radice quadrata di 3 su 2.

182
00:09:44,930 --> 00:09:48,890
Percio' questo qui e' radice quadrata di 3 fratto 2.

183
00:09:48,890 --> 00:09:51,280
Ora possiamo risolvere a.

184
00:09:51,280 --> 00:09:56,920
Radice quadrata di 3 fratto 2 e' uguale a a/4.

185
00:09:56,920 --> 00:09:59,610
Moltiplichiamo entrambi i lati per 4.

186
00:09:59,610 --> 00:10:01,640
Quindi ottieni questi 4 si annullano.

187
00:10:01,640 --> 00:10:03,445
Qui moltiplichi il 4.

188
00:10:03,445 --> 00:10:04,480
Questo diventa un 2.

189
00:10:04,480 --> 00:10:05,660
Questo diventa un 1.

190
00:10:05,660 --> 00:10:09,250
Ottieni a = 2 radice di 3.

191
00:10:09,250 --> 00:10:11,000
Siamo in dirittura d'arrivo.

192
00:10:11,000 --> 00:10:15,420
Abbiamo appena capito la lunghezza di ognuno dei lati.

193
00:10:15,420 --> 00:10:17,460
Abbiamo usato la formula di Erone per calcolare l'area di

194
00:10:17,460 --> 00:10:19,080
un triangolo in base a queste lunghezze.

195
00:10:19,080 --> 00:10:22,110
Quindi sostituiamo questo valore di a qui dentro

196
00:10:22,110 --> 00:10:24,670
per ottenere l'area.

197
00:10:24,670 --> 00:10:30,380
Quindi l'area del triangolo e' uguale ad a^2.

198
00:10:30,380 --> 00:10:31,690
Quant'e' a^2?

199
00:10:31,690 --> 00:10:37,780
E' 2 radice di 3 al quadrato, per

200
00:10:37,780 --> 00:10:42,710
la radice quadrata di 3 fratto 4.

201
00:10:42,710 --> 00:10:45,470
Abbiamo solo fatto a^2 per la radice quadrata di 3 fratto 4.

202
00:10:45,470 --> 00:10:51,950
Sara' uguale a 4 per 3 per

203
00:10:51,950 --> 00:10:53,930
il quadrato di 3 fratto 4.

204
00:10:53,930 --> 00:10:55,350
Questi 4 si annullano.

205
00:10:55,350 --> 00:10:58,360
Percio' l'area del triangolo che abbiamo e' 3 per la

206
00:10:58,360 --> 00:11:00,770
radice quadrata di 3.

207
00:11:00,770 --> 00:11:03,160
Quindi quest'area qui e' 3 radice quadrata di 3.

208
00:11:03,160 --> 00:11:06,480
Questa e' l'area di tutto questo triangolo.

209
00:11:06,480 --> 00:11:08,810
Ora, tornando a cosa ci chiedeva la domanda.

210
00:11:08,810 --> 00:11:12,970
L'area di quest'area arancione fuori dal triangolo

211
00:11:12,970 --> 00:11:14,530
e dentro al cerchio.

212
00:11:14,530 --> 00:11:18,460
Beh, l'area del cerchio e' 4 p greco.

213
00:11:18,460 --> 00:11:23,340
E da questa sottraiamo l'area del triangolo,

214
00:11:23,340 --> 00:11:25,170
3 radice quadrata di 3.

215
00:11:25,170 --> 00:11:27,390
E abbiamo fatto.

216
00:11:27,390 --> 00:11:28,670
La risposta e' questa.

217
00:11:28,670 --> 00:11:35,270
Questa e' l'area di questa regione arancione qui.

218
00:11:35,270 --> 00:11:37,800
Ad ogni modo, spero tu lo abbia trovato divertente.