WEBVTT 00:00:00.480 --> 00:00:03.140 Quello che voglio fare in questo video e' usare un po' dei risultati degli 00:00:03.140 --> 00:00:05.960 ultimi video per fare un po' di cose piuttosto fiche. 00:00:05.960 --> 00:00:10.000 Allora, diciamo che questo e' un cerchio e ho un triangolo 00:00:10.000 --> 00:00:12.130 equilatero inscritto in questo cerchio. 00:00:12.130 --> 00:00:17.340 Percio' tutti i vertici di questo triangolo stanno nella 00:00:17.340 --> 00:00:18.825 circonferenza del cerchio. 00:00:18.825 --> 00:00:24.170 Allora faro' del mio meglio per disegnare un triangolo equilatero. 00:00:24.170 --> 00:00:26.960 Penso che sia piu' o meno la cosa migliore che riesco a fare. 00:00:26.960 --> 00:00:28.620 E quando dico equilatero significa che tutti 00:00:28.620 --> 00:00:29.910 i lati hanno la stessa lunghezza. 00:00:29.910 --> 00:00:33.060 Percio' se questo lato e' lungo a, allora questo lato e' lungo a 00:00:33.060 --> 00:00:36.610 e anche questo e' un lato di lunghezza a. 00:00:36.610 --> 00:00:44.010 E diciamo che sappiamo che il raggio di questo cerchio e' 2. 00:00:44.010 --> 00:00:45.925 Sto prendendo un numero a caso, giusto per fare questo problema. 00:00:45.925 --> 00:00:49.600 Percio' diciamo che il raggio di questo cerchio e' 2. 00:00:49.600 --> 00:00:51.700 Quindi dal centro della circonferenza a qualsiasi 00:00:51.700 --> 00:00:55.910 punto, questa distanza, il raggio, e' uguale a 2. 00:00:55.910 --> 00:01:01.780 Ora, quello che ti chiedo e' usando qualche risultato 00:01:01.780 --> 00:01:04.020 degli ultimi video e un po' di trigonometria 00:01:04.020 --> 00:01:06.940 di base --- e se la parola trigonometria di spaventa 00:01:06.940 --> 00:01:09.570 avrai bisogno di sapere magari i primi due o tre video 00:01:09.570 --> 00:01:11.710 della playlist di trigonometria per essere in grado di capire 00:01:11.710 --> 00:01:12.840 cosa faccio qui. 00:01:12.840 --> 00:01:18.830 Quello che voglio fare e' capire l'area della regione 00:01:18.830 --> 00:01:21.080 nel cerchio e fuori del triangolo. 00:01:21.080 --> 00:01:25.690 Percio' voglio capire l'area di questo spazietto, 00:01:25.690 --> 00:01:30.940 questo spazio e questo spazio combinati. 00:01:30.940 --> 00:01:33.490 Quindi il modo ovvio di farlo e' dire: beh, posso 00:01:33.490 --> 00:01:36.670 calcolare l'area del cerchio piuttosto facilmente. 00:01:36.670 --> 00:01:40.215 Area del cerchio. 00:01:40.215 --> 00:01:43.740 E sara' uguale a p grego r^2. 00:01:43.740 --> 00:01:48.840 O p greco per 2^2, che e' uguale a 4 p greco. 00:01:48.840 --> 00:01:53.040 E potrei sottrarre da 4 p greco l'area del triangolo. 00:01:53.040 --> 00:01:55.450 Percio' dobbiamo calcolare l'area del triangolo. 00:01:55.450 --> 00:02:00.760 Quant'e' l'area del triangolo? 00:02:03.930 --> 00:02:07.260 Beh, un po' di video fa ti ho mostrato la formula di Erone, 00:02:07.260 --> 00:02:10.720 dove se conosci le lunghezze dei lati di un triangolo 00:02:10.720 --> 00:02:12.070 puoi calcolare l'area. 00:02:12.070 --> 00:02:14.180 Ma le lunghezze dei lati ancora non le conosciamo. 00:02:14.180 --> 00:02:16.560 Una volta che le sappiamo magari possiamo calcolare l'area. 00:02:16.560 --> 00:02:18.740 Fammi applicare la formula di Erone senza conoscerla. 00:02:18.740 --> 00:02:21.950 Quindi fammi dire che la lunghezza di questo triangolo equilatero --- 00:02:21.950 --> 00:02:23.760 la lunghezza dei lati --- e' a. 00:02:23.760 --> 00:02:31.450 Applicando la formula di Erone, prima definiamo la variabile 00:02:31.450 --> 00:02:38.220 S come uguale ad (a + a + a) / 2. 00:02:38.220 --> 00:02:42.070 Che e' come dire 3a / 2. 00:02:42.070 --> 00:02:46.380 E poi l'area del triangolo, in termini di a. 00:02:46.380 --> 00:02:52.910 Percio' l'area sara' uguale alla radice quadrata di 00:02:52.910 --> 00:02:59.310 s, che e' 3a/2, per s - a. 00:02:59.310 --> 00:03:03.820 Quindi e' (3a/2) - a. 00:03:03.820 --> 00:03:07.060 O potrei scrivere 2a/2. 00:03:07.060 --> 00:03:08.970 Giusto? a e' come dire 2a/2. 00:03:08.970 --> 00:03:10.740 Puoi annullare questi e ottieni a. 00:03:10.740 --> 00:03:13.170 E poi faccio questa cosa 3 volte. 00:03:13.170 --> 00:03:16.000 Percio' invece di moltiplicare questo 3 volte per ognuno 00:03:16.000 --> 00:03:18.640 dei lati, per la formula di Erone potrei dire semplicemente 00:03:18.640 --> 00:03:20.700 alla terza potenza. 00:03:20.700 --> 00:03:22.000 Quindi a quanto sara' uguale? 00:03:22.000 --> 00:03:31.050 Questo sara' uguale alla radice quadrata di 3a/2. 00:03:31.050 --> 00:03:34.070 E poi questo qui sara' uguale 00:03:34.070 --> 00:03:36.810 a 3a - 2a, che e' a. 00:03:36.810 --> 00:03:42.010 Quindi a/2 alla terza potenza. 00:03:42.010 --> 00:03:44.860 E quindi questo sara' uguale a --- cambio colore 00:03:44.860 --> 00:03:46.490 arbitrariamente. 00:03:46.490 --> 00:03:53.560 Abbiamo 3a per a alla terza, che e' 3a alla 00:03:53.560 --> 00:03:58.170 quarta, su 2 per 2 alla terza. 00:03:58.170 --> 00:04:03.400 Beh, e' 2 alla quarta, o 16. 00:04:03.400 --> 00:04:03.680 Giusto? 00:04:03.680 --> 00:04:07.100 2 per 2 alla terza e' 2 alla quarta. 00:04:07.100 --> 00:04:07.890 Fa 16. 00:04:07.890 --> 00:04:10.660 E poi prendiamo la radice quadrata del numeratore e 00:04:10.660 --> 00:04:14.150 del denominatore, sara' uguale alla radice quadrata di 00:04:14.150 --> 00:04:16.690 a^4 e' a^2. 00:04:16.690 --> 00:04:21.390 a^2 per, scriviamo giusto radice quadrata di 3, 00:04:21.390 --> 00:04:24.860 sulla radice quadrata del denominatore, che e' 4. 00:04:24.860 --> 00:04:30.130 Quindi se sappiamo a, usando la formula di Erone sappiamo quant'e' 00:04:30.130 --> 00:04:32.720 l'area di questo triangolo equilatero. 00:04:32.720 --> 00:04:35.080 Quindi come capiamo a? 00:04:35.080 --> 00:04:37.770 Allora che altro sappiamo dei triangoli equilateri? 00:04:37.770 --> 00:04:42.690 Beh sappiamo che tutti questi angoli sono uguali. 00:04:42.690 --> 00:04:45.720 E visto che la loro somma deve fare 180 gradi, devono 00:04:45.720 --> 00:04:48.210 essere tutti di 60 gradi. 00:04:48.210 --> 00:04:51.890 Questo e' 60 gradi, questo e' 60 gradi e 00:04:51.890 --> 00:04:54.090 questo e' 60 gradi. 00:04:54.090 --> 00:04:56.980 Ora vediamo se possiamo usare l'ultimo video, dove ho parlato 00:04:56.980 --> 00:05:01.720 della relazione tra un angolo inscritto 00:05:01.720 --> 00:05:02.800 e un angolo centrale. 00:05:02.800 --> 00:05:04.560 Allora questo qui e' un angolo inscritto. 00:05:04.560 --> 00:05:09.620 Il vertice sta sulla circonferenza. 00:05:09.620 --> 00:05:16.630 E quindi sottende quest'arco qui. 00:05:20.500 --> 00:05:25.000 E l'angolo centrale che sottende lo stesso arco 00:05:25.000 --> 00:05:26.330 e' questo qui. 00:05:29.880 --> 00:05:33.740 L'angolo centrale che sottende lo stesso arco e' 00:05:33.740 --> 00:05:34.960 questo qui. 00:05:34.960 --> 00:05:39.170 Quindi in base a quello che abbiamo visto nell'ultimo video, l'angolo centrale 00:05:39.170 --> 00:05:41.980 che sottende lo stesso arco sara' il doppio 00:05:41.980 --> 00:05:43.040 dell'angolo inscritto. 00:05:43.040 --> 00:05:47.230 Quindi quest'angolo qui sara' 120 gradi. 00:05:47.230 --> 00:05:48.860 Fammici mettere una freccia. 00:05:48.860 --> 00:05:50.860 120 gradi. 00:05:50.860 --> 00:05:52.440 E' il doppio di questo. 00:05:52.440 --> 00:05:56.110 Ora, se dovessi mettere una bisettrice su quest'angolo qui. 00:05:56.110 --> 00:05:58.140 Quindi vado in mezzo all'angolo e voglio 00:05:58.140 --> 00:06:01.260 scendere in questo modo. 00:06:01.260 --> 00:06:03.310 Quanto saranno questi angoli? 00:06:03.310 --> 00:06:04.440 Beh, saranno 60 gradi. 00:06:04.440 --> 00:06:05.760 Sto bisecando l'angolo. 00:06:05.760 --> 00:06:10.480 Questo e' 60 gradi e questo qui e' 60 gradi. 00:06:10.480 --> 00:06:14.450 E sappiamo che sto dividendo questo in due. 00:06:14.450 --> 00:06:17.080 Questo e' un triangolo isoscele. 00:06:17.080 --> 00:06:19.040 Questo qui e' un raggio. 00:06:19.040 --> 00:06:21.030 Il raggio r e' uguale a 2. 00:06:21.030 --> 00:06:24.530 Questo raggio qui r e' uguale a 2. 00:06:24.530 --> 00:06:26.090 Quindi tutto questo triangolo e' simmetrico. 00:06:26.090 --> 00:06:28.540 Se vado giu' in mezzo, questa lunghezza qui 00:06:28.540 --> 00:06:33.100 sara' questo lato diviso 2. 00:06:33.100 --> 00:06:36.280 Questo lato qui sara' questo lato diviso 2. 00:06:36.280 --> 00:06:37.240 Fammelo disegnare qui. 00:06:37.240 --> 00:06:39.890 Se prendo un triangolo isoscele, un qualsiasi 00:06:39.890 --> 00:06:44.850 triangolo isoscele, dove questo lato e' equivalente a questo lato. 00:06:44.850 --> 00:06:47.300 Questi sono i raggi in questo esempio. 00:06:47.300 --> 00:06:49.530 E qeusto angolo sara' uguale a questo angolo. 00:06:49.530 --> 00:06:51.790 Se dovessi andare giu' da questo angolo qui 00:06:51.790 --> 00:06:55.260 dividerei questo lato opposto in due. 00:06:55.260 --> 00:06:56.880 Quindi queste lunghezze saranno uguali. 00:06:56.880 --> 00:06:59.120 In questo caso se tutta questa cosa e' a, ognuno di questi 00:06:59.120 --> 00:07:01.140 sara' a/2. 00:07:01.140 --> 00:07:04.420 Ora, vediamo se possiamo usare un po' di 00:07:04.420 --> 00:07:08.620 trigonometria per trovarel la relazione tra a ed r. 00:07:08.620 --> 00:07:12.050 Perche' se siamo in grado di risolvere a usando r allora possiamo 00:07:12.050 --> 00:07:14.640 mettere quel valore di a qui e otteniamo l'area 00:07:14.640 --> 00:07:15.690 del nostro triangolo. 00:07:15.690 --> 00:07:17.600 E poi possiamo sottrarla dall'area del 00:07:17.600 --> 00:07:20.070 cerchio e abbiamo finito. 00:07:20.070 --> 00:07:22.050 Avremo risolto il problema. 00:07:22.050 --> 00:07:24.610 Quindi vediamo se ci riusciamo. 00:07:24.610 --> 00:07:29.340 Allora qui abbiamo un angolo di 60 gradi. 00:07:29.340 --> 00:07:32.050 Meta' di tutto questo angolo centrale qui. 00:07:32.050 --> 00:07:35.890 Se questo e' 60 gradi, abbiamo a/2 00:07:35.890 --> 00:07:37.380 all'opposto di quest'angolo. 00:07:37.380 --> 00:07:43.480 Quindi abbiamo un opposto uguale ad a/2. 00:07:43.480 --> 00:07:44.860 E abbiamo anche l'ipotenusa. 00:07:44.860 --> 00:07:45.040 Giusto? 00:07:45.040 --> 00:07:46.870 Questo qui e' un triangolo rettangolo. 00:07:46.870 --> 00:07:49.830 Stai andando giu' e stai bisecando 00:07:49.830 --> 00:07:50.840 quel lato opposto. 00:07:50.840 --> 00:07:52.640 Questo e' un triangolo rettangolo. 00:07:52.640 --> 00:07:54.000 Quindi possiamo usare un po' di trigonometria. 00:07:54.000 --> 00:08:02.550 L'opposto e' a/2, l'ipotenusa e' uguale a r. 00:08:02.550 --> 00:08:05.020 Questa e' l'ipotenusa, qui, del nostro triangolo rettangolo. 00:08:05.020 --> 00:08:06.360 Percio' questo e' 2. 00:08:06.360 --> 00:08:12.440 Quindi quale rapporto c'e' tra un angolo opposto 00:08:12.440 --> 00:08:14.920 e l'ipotenusa? 00:08:14.920 --> 00:08:18.910 Qualcuno sara' stufo di sentirmi fare questa cosa tutte 00:08:18.910 --> 00:08:22.030 le volte, ma SOH CAH TOA. 00:08:22.030 --> 00:08:27.070 SOH --- il seno di un angolo e' uguale all'opposto 00:08:27.070 --> 00:08:28.620 fratto l'ipotenusa. 00:08:28.620 --> 00:08:29.580 Quindi fammi scorrere un po' verso il basso. 00:08:29.580 --> 00:08:31.270 Mi sta finendo lo spazio. 00:08:31.270 --> 00:08:38.700 Allora il seno di questo angolo qui, il seno di 60 gradi, 00:08:38.700 --> 00:08:42.070 sara' uguale al lato opposto, sara' 00:08:42.070 --> 00:08:45.800 uguale a a/2, fratto l'ipotenusa, che e' 00:08:45.800 --> 00:08:48.140 il nostro raggio --- fratto 2. 00:08:48.140 --> 00:08:54.510 Che e' uguale a a/2 diviso 2 e' a/4. 00:08:54.510 --> 00:08:56.880 E quant'e' il seno di 60 gradi? 00:08:56.880 --> 00:08:59.720 E se la parola seno ti e' completamente estranea 00:08:59.720 --> 00:09:04.150 guardati i primi video della playlist di trigonometria. 00:09:04.150 --> 00:09:06.240 Non dovrebbe essere troppo scoraggiante. 00:09:06.240 --> 00:09:08.310 Il seno di 60 gradi potresti ricordartelo dai 00:09:08.310 --> 00:09:10.680 triangoli 30-60-90. 00:09:10.680 --> 00:09:13.210 Quindi fammene disegnare uno qui. 00:09:13.210 --> 00:09:15.705 Questo e' un triangolo 30-60-90. 00:09:15.705 --> 00:09:21.540 Se questo e' 60 gradi, questo e' 30 gradi, questo e' 90. 00:09:21.540 --> 00:09:26.660 Magari ti ricordi che se questo e' lungo 1, questo sara' 00:09:26.660 --> 00:09:29.520 lungo 1/2 e questo sara' lungo 00:09:29.520 --> 00:09:31.370 radice quadrata di 3/2. 00:09:31.370 --> 00:09:35.300 Quindi il seno di 60 gradi e' l'opposto sull'ipotenusa. 00:09:35.300 --> 00:09:37.770 Radice quadrata di 3 fratto 2 fratto 1. 00:09:37.770 --> 00:09:40.940 Seno di 60 gradi. 00:09:40.940 --> 00:09:42.840 Se non hai una calcolatrice, potresti usare questo --- 00:09:42.840 --> 00:09:44.930 e' radice quadrata di 3 su 2. 00:09:44.930 --> 00:09:48.890 Percio' questo qui e' radice quadrata di 3 fratto 2. 00:09:48.890 --> 00:09:51.280 Ora possiamo risolvere a. 00:09:51.280 --> 00:09:56.920 Radice quadrata di 3 fratto 2 e' uguale a a/4. 00:09:56.920 --> 00:09:59.610 Moltiplichiamo entrambi i lati per 4. 00:09:59.610 --> 00:10:01.640 Quindi ottieni questi 4 si annullano. 00:10:01.640 --> 00:10:03.445 Qui moltiplichi il 4. 00:10:03.445 --> 00:10:04.480 Questo diventa un 2. 00:10:04.480 --> 00:10:05.660 Questo diventa un 1. 00:10:05.660 --> 00:10:09.250 Ottieni a = 2 radice di 3. 00:10:09.250 --> 00:10:11.000 Siamo in dirittura d'arrivo. 00:10:11.000 --> 00:10:15.420 Abbiamo appena capito la lunghezza di ognuno dei lati. 00:10:15.420 --> 00:10:17.460 Abbiamo usato la formula di Erone per calcolare l'area di 00:10:17.460 --> 00:10:19.080 un triangolo in base a queste lunghezze. 00:10:19.080 --> 00:10:22.110 Quindi sostituiamo questo valore di a qui dentro 00:10:22.110 --> 00:10:24.670 per ottenere l'area. 00:10:24.670 --> 00:10:30.380 Quindi l'area del triangolo e' uguale ad a^2. 00:10:30.380 --> 00:10:31.690 Quant'e' a^2? 00:10:31.690 --> 00:10:37.780 E' 2 radice di 3 al quadrato, per 00:10:37.780 --> 00:10:42.710 la radice quadrata di 3 fratto 4. 00:10:42.710 --> 00:10:45.470 Abbiamo solo fatto a^2 per la radice quadrata di 3 fratto 4. 00:10:45.470 --> 00:10:51.950 Sara' uguale a 4 per 3 per 00:10:51.950 --> 00:10:53.930 il quadrato di 3 fratto 4. 00:10:53.930 --> 00:10:55.350 Questi 4 si annullano. 00:10:55.350 --> 00:10:58.360 Percio' l'area del triangolo che abbiamo e' 3 per la 00:10:58.360 --> 00:11:00.770 radice quadrata di 3. 00:11:00.770 --> 00:11:03.160 Quindi quest'area qui e' 3 radice quadrata di 3. 00:11:03.160 --> 00:11:06.480 Questa e' l'area di tutto questo triangolo. 00:11:06.480 --> 00:11:08.810 Ora, tornando a cosa ci chiedeva la domanda. 00:11:08.810 --> 00:11:12.970 L'area di quest'area arancione fuori dal triangolo 00:11:12.970 --> 00:11:14.530 e dentro al cerchio. 00:11:14.530 --> 00:11:18.460 Beh, l'area del cerchio e' 4 p greco. 00:11:18.460 --> 00:11:23.340 E da questa sottraiamo l'area del triangolo, 00:11:23.340 --> 00:11:25.170 3 radice quadrata di 3. 00:11:25.170 --> 00:11:27.390 E abbiamo fatto. 00:11:27.390 --> 00:11:28.670 La risposta e' questa. 00:11:28.670 --> 00:11:35.270 Questa e' l'area di questa regione arancione qui. 00:11:35.270 --> 00:11:37.800 Ad ogni modo, spero tu lo abbia trovato divertente.