Return to Video

Areal af indskreven ligesidet trekant (grundlæggende trigonometri)

  • 0:00 - 0:00
    .
  • 0:00 - 0:03
    I den her video skal vi bruge nogle af resultaterne
  • 0:03 - 0:06
    fra tidligere videoer til at lave nogle andre ting.
  • 0:06 - 0:10
    Her er en cirkel,
  • 0:10 - 0:12
    og en ligesidet trekant er indskrevet i cirklen.
  • 0:12 - 0:17
    Alle trekantens vinkelspidser
  • 0:17 - 0:19
    befinder sig på selve cirkelperiferien.
  • 0:19 - 0:24
    Lad os prøve at tegne trekanten.
  • 0:24 - 0:27
    Det bliver vist ikke bedre.
  • 0:27 - 0:29
    Ligesidet betyder,
  • 0:29 - 0:30
    at alle trekantens sider er lige lange.
  • 0:30 - 0:33
    Hvis den her længde er a,
  • 0:33 - 0:37
    er de 2 andre sider også a.
  • 0:37 - 0:44
    Vi kan sige, at cirklens radius er 2.
  • 0:44 - 0:46
    Vi vælger et tilfældigt tal.
  • 0:46 - 0:50
    Radius er 2.
  • 0:50 - 0:52
    Fra centrum til ethvert punkt på selve cirklen er der altså 2,
  • 0:52 - 0:56
    da det er radius.
  • 0:56 - 1:02
    Til opgaven skal vi bruge nogle af resultaterne fra tidligere videoer
  • 1:02 - 1:04
    og en smule grundlæggende trigonometri.
  • 1:04 - 1:07
    Hvis trigonometri lyder svært,
  • 1:07 - 1:10
    kan det være en god idé
  • 1:10 - 1:12
    at se de første 2 eller 3 videoer om trigonometri,
  • 1:12 - 1:13
    så man bedre kan forstå, hvad vi gør i den her video.
  • 1:13 - 1:19
    Vi skal udregne arealet inde i cirklen,
  • 1:19 - 1:21
    men uden for trekanten.
  • 1:21 - 1:26
    Vi skal altså finde arealet
  • 1:26 - 1:31
    af de her 3 små områder tilsammen.
  • 1:31 - 1:33
    Det er ret simpelt
  • 1:33 - 1:37
    at udregne cirklens areal.
  • 1:37 - 1:40
    .
  • 1:40 - 1:44
    Det er lig med pi gange radius i anden.
  • 1:44 - 1:49
    I det her tilfælde er det pi gange 2 i anden, og det er lig med 4 pi.
  • 1:49 - 1:53
    Vi kan nu trække trekantens areal fra cirklens areal for at finde arealet af resten.
  • 1:53 - 1:55
    Nu skal vi finde arealet af trekanten.
  • 1:55 - 2:01
    Hvordan skal vi finde det?
  • 2:01 - 2:04
    .
  • 2:04 - 2:07
    I en anden video kiggede vi på Herons formel.
  • 2:07 - 2:11
    Den går ud på, at man kan finde arealet af en trekant,
  • 2:11 - 2:12
    hvis man kender sidelængderne.
  • 2:12 - 2:14
    Vi kender ikke sidelængderne endnu.
  • 2:14 - 2:17
    Vi kan måske udregne arealet, når vi kender sidelængderne.
  • 2:17 - 2:19
    Lad os prøve med Herons formel, selvom vi ikke kender sidelængderne.
  • 2:19 - 2:22
    Sidelængderne i den ligesidede trekant
  • 2:22 - 2:24
    er alle lig med a.
  • 2:24 - 2:31
    Når vi bruger Herons formel,
  • 2:31 - 2:38
    siger vi, at s er lig med a plus a plus a over 2.
  • 2:38 - 2:42
    Det er det samme som 3a over 2.
  • 2:42 - 2:46
    Nu skal vi omskrive til arealet i forhold til a.
  • 2:46 - 2:53
    Arealet er lig med kvadratroden af s,
  • 2:53 - 2:59
    som er 3a over 2, gange s minus a.
  • 2:59 - 3:04
    Det er altså 3a over 2 minus a.
  • 3:04 - 3:07
    Det er det samme som 2a over 2.
  • 3:07 - 3:09
    a er det samme som 2a over 2.
  • 3:09 - 3:11
    Det her går ud med hinanden, og vi får a.
  • 3:11 - 3:13
    Det skal vi gøre 3 gange.
  • 3:13 - 3:16
    I stedet for at gange det hele ud 3 gange,
  • 3:16 - 3:19
    kan vi nøjes med at sætte det i tredje,
  • 3:19 - 3:21
    når vi bruger Herons formel.
  • 3:21 - 3:22
    Hvad er det lig med?
  • 3:22 - 3:31
    Det er lig med kvadratroden af 3a over 2.
  • 3:31 - 3:34
    I så fald er det her lig med 3a minus 2a,
  • 3:34 - 3:37
    som er a.
  • 3:37 - 3:42
    a over 2 i tredje.
  • 3:42 - 3:45
    Vi skfiter
  • 3:45 - 3:46
    lige farve.
  • 3:46 - 3:54
    3a gange a i tredje. Det er 3a i fjerde.
  • 3:54 - 3:58
    Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.
  • 3:58 - 4:03
    Det er 2 i fjerde, som er 16.
  • 4:03 - 4:04
    .
  • 4:04 - 4:07
    2 gange 2 i tredje er 2 i fjerde.
  • 4:07 - 4:08
    Det er 16.
  • 4:08 - 4:11
    Når vi tager kvadratroden af både tælleren og nævneren,
  • 4:11 - 4:14
    er det lig med kvadratroden
  • 4:14 - 4:17
    af a i fjerde, hvilket er a i anden.
  • 4:17 - 4:21
    a i anden gange kvadratroden af 3
  • 4:21 - 4:25
    over kvadratroden af nævneren, som er 4.
  • 4:25 - 4:30
    Hvis vi kender a, kan vi altså ved hjælp af
  • 4:30 - 4:33
    Herons formel finde arealet af den ligesidede trekant.
  • 4:33 - 4:35
    Hvordan finder vi a?
  • 4:35 - 4:38
    Hvad ved vi ellers om ligesidede trekanter?
  • 4:38 - 4:43
    Vi ved, at alle de her vinkler er lige store.
  • 4:43 - 4:46
    Eftersom de sammenlagt skal give 180,
  • 4:46 - 4:48
    må de være 60 grader hver.
  • 4:48 - 4:52
    Den her er 60, den her er 60,
  • 4:52 - 4:54
    og den her er 60.
  • 4:54 - 4:57
    I den sidste video
  • 4:57 - 5:02
    snakkede vi om forholdet mellem en
  • 5:02 - 5:03
    indskreven vinkel og en centervinkel.
  • 5:03 - 5:05
    Det her er en indskreven vinkel.
  • 5:05 - 5:10
    Vinkelspidsen er på cirklen.
  • 5:10 - 5:17
    Den ligger lige overfor den her cirkelbue.
  • 5:17 - 5:20
    .
  • 5:20 - 5:25
    Centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue,
  • 5:25 - 5:26
    er den her.
  • 5:26 - 5:30
    .
  • 5:30 - 5:34
    Det er
  • 5:34 - 5:35
    den her centervinkel.
  • 5:35 - 5:39
    Vi ved fra den anden video,
  • 5:39 - 5:42
    at centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue
  • 5:42 - 5:43
    er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel.
  • 5:43 - 5:47
    Den her vinkel er altså 120 grader.
  • 5:47 - 5:49
    Vi tegner en lille pil her.
  • 5:49 - 5:51
    120 grader.
  • 5:51 - 5:52
    Den er dobbelt så stor som den her.
  • 5:52 - 5:56
    Lad os halvere den her vinkel.
  • 5:56 - 5:58
    Vi går halvvejs igennem vinklen og så lige ned.
  • 5:58 - 6:01
    Sådan.
  • 6:01 - 6:03
    Hvor stor er de her 2 vinkler?
  • 6:03 - 6:04
    De er 60 grader hver.
  • 6:04 - 6:06
    Vi halverer jo vinklen.
  • 6:06 - 6:10
    De er begge 60 grader.
  • 6:10 - 6:14
    Vi deler den her side i 2.
  • 6:14 - 6:17
    Det her er en ligebenet trekant.
  • 6:17 - 6:19
    Det her er en radius.
  • 6:19 - 6:21
    Radius r er lig med 2.
  • 6:21 - 6:25
    Det her er en radius. r er lig med 2.
  • 6:25 - 6:26
    Hele den her trekant er symmetrisk.
  • 6:26 - 6:29
    Hvis vi går lige ned i midten her,
  • 6:29 - 6:33
    bliver den her længde lig med den her side divideret med 2.
  • 6:33 - 6:36
    Den her side er lig med den her side delt i 2.
  • 6:36 - 6:37
    Lad os tegne det her.
  • 6:37 - 6:40
    Vi kunne tage enhver ligebenet trekant,
  • 6:40 - 6:45
    hvor den her side er lig med den her side.
  • 6:45 - 6:47
    Det her er vores radiusser eller radier i eksemplet.
  • 6:47 - 6:50
    Den her vinkel er lig med den her vinkel.
  • 6:50 - 6:52
    Hvis vi går lige ned her,
  • 6:52 - 6:55
    bliver den modsatte side delt i 2.
  • 6:55 - 6:57
    De her 2 længder er lige store.
  • 6:57 - 6:59
    Hvis hele længden er a,
  • 6:59 - 7:01
    er hver af dem lig med a over 2.
  • 7:01 - 7:04
    Lad os se, om vi kan bruge det her
  • 7:04 - 7:09
    og en smule trigonometri til at finde et forhold mellem a og r.
  • 7:09 - 7:12
    Hvis vi kan finde a ved at bruge r,
  • 7:12 - 7:15
    kan vi indsætte a her
  • 7:15 - 7:16
    og finde trekantens areal.
  • 7:16 - 7:18
    Derefter kan vi trække trekantens areal fra cirklens areal,
  • 7:18 - 7:20
    og så er vi færdige.
  • 7:20 - 7:22
    Så har vi løst opgaven.
  • 7:22 - 7:25
    Lad os se, om vi kan gøre det.
  • 7:25 - 7:29
    Den her vinkel er 60 grader.
  • 7:29 - 7:32
    Den er halvdelen af centervinklen her.
  • 7:32 - 7:36
    Hvis den her side er 60 grader,
  • 7:36 - 7:37
    er a over 2 modsat den vinkel.
  • 7:37 - 7:43
    Den modsatte side er lig med a over 2.
  • 7:43 - 7:45
    Der er også en hypotenuse.
  • 7:45 - 7:45
    .
  • 7:45 - 7:47
    Det her er en retvinklet trekant.
  • 7:47 - 7:50
    Vi går lige ned herfra
  • 7:50 - 7:51
    og halverer den modstående trekant.
  • 7:51 - 7:53
    Det er en retvinklet trekant.
  • 7:53 - 7:54
    Vi kan bruge lidt trigonometri.
  • 7:54 - 8:03
    Den modsatte side er a over 2, og hypotenusen er lig med r.
  • 8:03 - 8:05
    Det her er hypotenusen i trekanten.
  • 8:05 - 8:06
    Den er lig med 2.
  • 8:06 - 8:12
    Hvilket trigonometrisk forhold er
  • 8:12 - 8:15
    forholdet mellem en vinkels modstående side og hypotenusen?
  • 8:15 - 8:19
    Vi kan bruge nogle forkortelser. De er på engelsk.
  • 8:19 - 8:22
    SOH, CAH og TOA.
  • 8:22 - 8:27
    SOH betyder, at sinus til en vinkel er lig med den modstående
  • 8:27 - 8:29
    side over hypotenusen.
  • 8:29 - 8:30
    O står for opposite, som betyder modstående.
  • 8:30 - 8:31
    Det skal man huske, når man bruger forkortelserne.
  • 8:31 - 8:39
    Sinus af den her vinkel på 60 grader
  • 8:39 - 8:42
    er lig med den modstående side,
  • 8:42 - 8:46
    som er a over 2, over hypotenusen,
  • 8:46 - 8:48
    som er vores radius, altså 2.
  • 8:48 - 8:55
    Det er lig med a over 2 divideret med 2. Det er a over 4.
  • 8:55 - 8:57
    Hvad er sinus af 60 grader?
  • 8:57 - 9:00
    Hvis sinus virker helt fremmed,
  • 9:00 - 9:04
    kan man se de første videoer om trigonometri.
  • 9:04 - 9:06
    De er ikke særligt svære.
  • 9:06 - 9:08
    Sinus af 60 grader kan vi måske
  • 9:08 - 9:11
    huske fra vores 30-60-90-trekanter.
  • 9:11 - 9:13
    Lad os tegne sådan en her.
  • 9:13 - 9:16
    Det her er en 30-60-90-trekant.
  • 9:16 - 9:22
    Hvis den her er 60 grader, er den her 30 og den her 90.
  • 9:22 - 9:27
    Den her er 1 lang,
  • 9:27 - 9:30
    den her er 1/2 lang,
  • 9:30 - 9:31
    og den her er kvadratroden af 3 over 2 lang.
  • 9:31 - 9:35
    Sinus af 60 grader er den modstående side over hypotenusen.
  • 9:35 - 9:38
    Kvadratroden af 3 over 2 over 1.
  • 9:38 - 9:41
    Det er sinus af 60 grader.
  • 9:41 - 9:43
    .
  • 9:43 - 9:45
    Det bliver kvadratroden af 3 over 2.
  • 9:45 - 9:49
    Det her er lig med kvadratroden af 3 over 2.
  • 9:49 - 9:51
    Nu kan vi isolere a.
  • 9:51 - 9:57
    Kvadratorden af 3 over 2 er lig med a over 4.
  • 9:57 - 10:00
    Vi ganger begge sider med 4.
  • 10:00 - 10:02
    Det her 4-tal forsvinder.
  • 10:02 - 10:03
    Vi ganger med 4 her.
  • 10:03 - 10:04
    Det her bliver 2.
  • 10:04 - 10:06
    Det her bliver 1.
  • 10:06 - 10:09
    a er nu lig med 2 kvadratrødder af 3.
  • 10:09 - 10:11
    Vi er næsten i mål nu.
  • 10:11 - 10:15
    Vi har lige fundet sidelængderne.
  • 10:15 - 10:17
    Vi mangler bare at bruge Herons formel
  • 10:17 - 10:19
    til at finde trekantens areal ud fra sidelængderne.
  • 10:19 - 10:22
    Nu skal vi indsætte a
  • 10:22 - 10:25
    for at finde trekantens areal.
  • 10:25 - 10:30
    Trekantens areal er lig med a i anden.
  • 10:30 - 10:32
    Hvad er det?
  • 10:32 - 10:38
    Det er 2 kvadratrødder af 3 i anden
  • 10:38 - 10:43
    gange kvadratroden af 3 over 4.
  • 10:43 - 10:45
    Vi ganger et kvadrat med kvadratroden af 3 over 4.
  • 10:45 - 10:52
    Det er lig med 4 gange 3
  • 10:52 - 10:54
    gange kvadratet af 3 over 4.
  • 10:54 - 10:55
    Firetallerne går ud.
  • 10:55 - 10:58
    Arealet af vores trekant er
  • 10:58 - 11:01
    3 gange kvadratroden af 3.
  • 11:01 - 11:03
    Det her område er altså 3 kvadratrødder af 3.
  • 11:03 - 11:06
    Det er hele trekantens areal.
  • 11:06 - 11:09
    Lad os vende tilbage til selve opgaven.
  • 11:09 - 11:13
    Vi skal finde arealet af det orange område
  • 11:13 - 11:15
    indenfor cirklen og udenfor trekanten.
  • 11:15 - 11:18
    Arealet af cirklene er 4 pi.
  • 11:18 - 11:23
    Vi skal nu trække arealet af trekanten fra.
  • 11:23 - 11:25
    Det var 3 kvadratrødder af 3.
  • 11:25 - 11:27
    Nu er vi færdige.
  • 11:27 - 11:29
    Det her er svaret på opgaven.
  • 11:29 - 11:35
    Det her er lig med arealet af det orange her.
  • 11:35 - 11:38
    Forhåbentligt var det interessant at lære.
  • 11:38 - 11:38
    .
Title:
Areal af indskreven ligesidet trekant (grundlæggende trigonometri)
Description:

Videoen gennemgår en opgave, hvor vi skal finde arealet af en ligesidet trekant indskrevet i en cirkel. Vi benytter blandt andet Herons formel til at finde arealet ud fra sidelængden. Der bruges en smule trigonometri, herunder sinusrelationer.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:39

Danish subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.