. I den her video skal vi bruge nogle af resultaterne fra tidligere videoer til at lave nogle andre ting. Her er en cirkel, og en ligesidet trekant er indskrevet i cirklen. Alle trekantens vinkelspidser befinder sig på selve cirkelperiferien. Lad os prøve at tegne trekanten. Det bliver vist ikke bedre. Ligesidet betyder, at alle trekantens sider er lige lange. Hvis den her længde er a, er de 2 andre sider også a. Vi kan sige, at cirklens radius er 2. Vi vælger et tilfældigt tal. Radius er 2. Fra centrum til ethvert punkt på selve cirklen er der altså 2, da det er radius. Til opgaven skal vi bruge nogle af resultaterne fra tidligere videoer og en smule grundlæggende trigonometri. Hvis trigonometri lyder svært, kan det være en god idé at se de første 2 eller 3 videoer om trigonometri, så man bedre kan forstå, hvad vi gør i den her video. Vi skal udregne arealet inde i cirklen, men uden for trekanten. Vi skal altså finde arealet af de her 3 små områder tilsammen. Det er ret simpelt at udregne cirklens areal. . Det er lig med pi gange radius i anden. I det her tilfælde er det pi gange 2 i anden, og det er lig med 4 pi. Vi kan nu trække trekantens areal fra cirklens areal for at finde arealet af resten. Nu skal vi finde arealet af trekanten. Hvordan skal vi finde det? . I en anden video kiggede vi på Herons formel. Den går ud på, at man kan finde arealet af en trekant, hvis man kender sidelængderne. Vi kender ikke sidelængderne endnu. Vi kan måske udregne arealet, når vi kender sidelængderne. Lad os prøve med Herons formel, selvom vi ikke kender sidelængderne. Sidelængderne i den ligesidede trekant er alle lig med a. Når vi bruger Herons formel, siger vi, at s er lig med a plus a plus a over 2. Det er det samme som 3a over 2. Nu skal vi omskrive til arealet i forhold til a. Arealet er lig med kvadratroden af s, som er 3a over 2, gange s minus a. Det er altså 3a over 2 minus a. Det er det samme som 2a over 2. a er det samme som 2a over 2. Det her går ud med hinanden, og vi får a. Det skal vi gøre 3 gange. I stedet for at gange det hele ud 3 gange, kan vi nøjes med at sætte det i tredje, når vi bruger Herons formel. Hvad er det lig med? Det er lig med kvadratroden af 3a over 2. I så fald er det her lig med 3a minus 2a, som er a. a over 2 i tredje. Vi skfiter lige farve. 3a gange a i tredje. Det er 3a i fjerde. Det står over 2 og ganges med 2 i tredje. Det er 2 i fjerde, som er 16. . 2 gange 2 i tredje er 2 i fjerde. Det er 16. Når vi tager kvadratroden af både tælleren og nævneren, er det lig med kvadratroden af a i fjerde, hvilket er a i anden. a i anden gange kvadratroden af 3 over kvadratroden af nævneren, som er 4. Hvis vi kender a, kan vi altså ved hjælp af Herons formel finde arealet af den ligesidede trekant. Hvordan finder vi a? Hvad ved vi ellers om ligesidede trekanter? Vi ved, at alle de her vinkler er lige store. Eftersom de sammenlagt skal give 180, må de være 60 grader hver. Den her er 60, den her er 60, og den her er 60. I den sidste video snakkede vi om forholdet mellem en indskreven vinkel og en centervinkel. Det her er en indskreven vinkel. Vinkelspidsen er på cirklen. Den ligger lige overfor den her cirkelbue. . Centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue, er den her. . Det er den her centervinkel. Vi ved fra den anden video, at centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel. Den her vinkel er altså 120 grader. Vi tegner en lille pil her. 120 grader. Den er dobbelt så stor som den her. Lad os halvere den her vinkel. Vi går halvvejs igennem vinklen og så lige ned. Sådan. Hvor stor er de her 2 vinkler? De er 60 grader hver. Vi halverer jo vinklen. De er begge 60 grader. Vi deler den her side i 2. Det her er en ligebenet trekant. Det her er en radius. Radius r er lig med 2. Det her er en radius. r er lig med 2. Hele den her trekant er symmetrisk. Hvis vi går lige ned i midten her, bliver den her længde lig med den her side divideret med 2. Den her side er lig med den her side delt i 2. Lad os tegne det her. Vi kunne tage enhver ligebenet trekant, hvor den her side er lig med den her side. Det her er vores radiusser eller radier i eksemplet. Den her vinkel er lig med den her vinkel. Hvis vi går lige ned her, bliver den modsatte side delt i 2. De her 2 længder er lige store. Hvis hele længden er a, er hver af dem lig med a over 2. Lad os se, om vi kan bruge det her og en smule trigonometri til at finde et forhold mellem a og r. Hvis vi kan finde a ved at bruge r, kan vi indsætte a her og finde trekantens areal. Derefter kan vi trække trekantens areal fra cirklens areal, og så er vi færdige. Så har vi løst opgaven. Lad os se, om vi kan gøre det. Den her vinkel er 60 grader. Den er halvdelen af centervinklen her. Hvis den her side er 60 grader, er a over 2 modsat den vinkel. Den modsatte side er lig med a over 2. Der er også en hypotenuse. . Det her er en retvinklet trekant. Vi går lige ned herfra og halverer den modstående trekant. Det er en retvinklet trekant. Vi kan bruge lidt trigonometri. Den modsatte side er a over 2, og hypotenusen er lig med r. Det her er hypotenusen i trekanten. Den er lig med 2. Hvilket trigonometrisk forhold er forholdet mellem en vinkels modstående side og hypotenusen? Vi kan bruge nogle forkortelser. De er på engelsk. SOH, CAH og TOA. SOH betyder, at sinus til en vinkel er lig med den modstående side over hypotenusen. O står for opposite, som betyder modstående. Det skal man huske, når man bruger forkortelserne. Sinus af den her vinkel på 60 grader er lig med den modstående side, som er a over 2, over hypotenusen, som er vores radius, altså 2. Det er lig med a over 2 divideret med 2. Det er a over 4. Hvad er sinus af 60 grader? Hvis sinus virker helt fremmed, kan man se de første videoer om trigonometri. De er ikke særligt svære. Sinus af 60 grader kan vi måske huske fra vores 30-60-90-trekanter. Lad os tegne sådan en her. Det her er en 30-60-90-trekant. Hvis den her er 60 grader, er den her 30 og den her 90. Den her er 1 lang, den her er 1/2 lang, og den her er kvadratroden af 3 over 2 lang. Sinus af 60 grader er den modstående side over hypotenusen. Kvadratroden af 3 over 2 over 1. Det er sinus af 60 grader. . Det bliver kvadratroden af 3 over 2. Det her er lig med kvadratroden af 3 over 2. Nu kan vi isolere a. Kvadratorden af 3 over 2 er lig med a over 4. Vi ganger begge sider med 4. Det her 4-tal forsvinder. Vi ganger med 4 her. Det her bliver 2. Det her bliver 1. a er nu lig med 2 kvadratrødder af 3. Vi er næsten i mål nu. Vi har lige fundet sidelængderne. Vi mangler bare at bruge Herons formel til at finde trekantens areal ud fra sidelængderne. Nu skal vi indsætte a for at finde trekantens areal. Trekantens areal er lig med a i anden. Hvad er det? Det er 2 kvadratrødder af 3 i anden gange kvadratroden af 3 over 4. Vi ganger et kvadrat med kvadratroden af 3 over 4. Det er lig med 4 gange 3 gange kvadratet af 3 over 4. Firetallerne går ud. Arealet af vores trekant er 3 gange kvadratroden af 3. Det her område er altså 3 kvadratrødder af 3. Det er hele trekantens areal. Lad os vende tilbage til selve opgaven. Vi skal finde arealet af det orange område indenfor cirklen og udenfor trekanten. Arealet af cirklene er 4 pi. Vi skal nu trække arealet af trekanten fra. Det var 3 kvadratrødder af 3. Nu er vi færdige. Det her er svaret på opgaven. Det her er lig med arealet af det orange her. Forhåbentligt var det interessant at lære. .