0:00:00.000,0:00:00.480
.

0:00:00.480,0:00:03.140
I den her video skal vi bruge nogle af resultaterne

0:00:03.140,0:00:05.960
fra tidligere videoer til at lave nogle andre ting.

0:00:05.960,0:00:10.000
Her er en cirkel,

0:00:10.000,0:00:12.130
og en ligesidet trekant er indskrevet i cirklen.

0:00:12.130,0:00:17.340
Alle trekantens vinkelspidser

0:00:17.340,0:00:18.825
befinder sig på selve cirkelperiferien.

0:00:18.825,0:00:24.170
Lad os prøve at tegne trekanten.

0:00:24.170,0:00:26.960
Det bliver vist ikke bedre.

0:00:26.960,0:00:28.620
Ligesidet betyder,

0:00:28.620,0:00:29.910
at alle trekantens sider er lige lange.

0:00:29.910,0:00:33.060
Hvis den her længde er a,

0:00:33.060,0:00:36.610
er de 2 andre sider også a.

0:00:36.610,0:00:44.010
Vi kan sige, at cirklens radius er 2.

0:00:44.010,0:00:45.925
Vi vælger et tilfældigt tal.

0:00:45.925,0:00:49.600
Radius er 2.

0:00:49.600,0:00:51.700
Fra centrum til ethvert punkt på selve cirklen er der altså 2,

0:00:51.700,0:00:55.910
da det er radius.

0:00:55.910,0:01:01.780
Til opgaven skal vi bruge nogle af resultaterne fra tidligere videoer

0:01:01.780,0:01:04.020
og en smule grundlæggende trigonometri.

0:01:04.020,0:01:06.940
Hvis trigonometri lyder svært,

0:01:06.940,0:01:09.570
kan det være en god idé

0:01:09.570,0:01:11.710
at se de første 2 eller 3 videoer om trigonometri,

0:01:11.710,0:01:12.840
så man bedre kan forstå, hvad vi gør i den her video.

0:01:12.840,0:01:18.830
Vi skal udregne arealet inde i cirklen,

0:01:18.830,0:01:21.080
men uden for trekanten.

0:01:21.080,0:01:25.690
Vi skal altså finde arealet

0:01:25.690,0:01:30.940
af de her 3 små områder tilsammen.

0:01:30.940,0:01:33.490
Det er ret simpelt

0:01:33.490,0:01:36.670
at udregne cirklens areal.

0:01:36.670,0:01:40.215
.

0:01:40.215,0:01:43.740
Det er lig med pi gange radius i anden.

0:01:43.740,0:01:48.840
I det her tilfælde er det pi gange 2 i anden, og det er lig med 4 pi.

0:01:48.840,0:01:53.040
Vi kan nu trække trekantens areal fra cirklens areal for at finde arealet af resten.

0:01:53.040,0:01:55.450
Nu skal vi finde arealet af trekanten.

0:01:55.450,0:02:00.760
Hvordan skal vi finde det?

0:02:00.760,0:02:03.930
.

0:02:03.930,0:02:07.260
I en anden video kiggede vi på Herons formel.

0:02:07.260,0:02:10.720
Den går ud på, at man kan finde arealet af en trekant,

0:02:10.720,0:02:12.070
hvis man kender sidelængderne.

0:02:12.070,0:02:14.180
Vi kender ikke sidelængderne endnu.

0:02:14.180,0:02:16.560
Vi kan måske udregne arealet, når vi kender sidelængderne.

0:02:16.560,0:02:18.740
Lad os prøve med Herons formel, selvom vi ikke kender sidelængderne.

0:02:18.740,0:02:21.950
Sidelængderne i den ligesidede trekant

0:02:21.950,0:02:23.760
er alle lig med a.

0:02:23.760,0:02:31.450
Når vi bruger Herons formel,

0:02:31.450,0:02:38.220
siger vi, at s er lig med a plus a plus a over 2.

0:02:38.220,0:02:42.070
Det er det samme som 3a over 2.

0:02:42.070,0:02:46.380
Nu skal vi omskrive til arealet i forhold til a.

0:02:46.380,0:02:52.910
Arealet er lig med kvadratroden af s,

0:02:52.910,0:02:59.310
som er 3a over 2, gange s minus a.

0:02:59.310,0:03:03.820
Det er altså 3a over 2 minus a.

0:03:03.820,0:03:07.060
Det er det samme som 2a over 2.

0:03:07.060,0:03:08.970
a er det samme som 2a over 2.

0:03:08.970,0:03:10.740
Det her går ud med hinanden, og vi får a.

0:03:10.740,0:03:13.170
Det skal vi gøre 3 gange.

0:03:13.170,0:03:16.000
I stedet for at gange det hele ud 3 gange,

0:03:16.000,0:03:18.640
kan vi nøjes med at sætte det i tredje,

0:03:18.640,0:03:20.700
når vi bruger Herons formel.

0:03:20.700,0:03:22.000
Hvad er det lig med?

0:03:22.000,0:03:31.050
Det er lig med kvadratroden af 3a over 2.

0:03:31.050,0:03:34.070
I så fald er det her lig med 3a minus 2a,

0:03:34.070,0:03:36.810
som er a.

0:03:36.810,0:03:42.010
a over 2 i tredje.

0:03:42.010,0:03:44.860
Vi skfiter

0:03:44.860,0:03:46.490
lige farve.

0:03:46.490,0:03:53.560
3a gange a i tredje. Det er 3a i fjerde.

0:03:53.560,0:03:58.170
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.

0:03:58.170,0:04:03.400
Det er 2 i fjerde, som er 16.

0:04:03.400,0:04:03.680
.

0:04:03.680,0:04:07.100
2 gange 2 i tredje er 2 i fjerde.

0:04:07.100,0:04:07.890
Det er 16.

0:04:07.890,0:04:10.660
Når vi tager kvadratroden af både tælleren og nævneren,

0:04:10.660,0:04:14.150
er det lig med kvadratroden

0:04:14.150,0:04:16.690
af a i fjerde, hvilket er a i anden.

0:04:16.690,0:04:21.390
a i anden gange kvadratroden af 3

0:04:21.390,0:04:24.860
over kvadratroden af nævneren, som er 4.

0:04:24.860,0:04:30.130
Hvis vi kender a, kan vi altså ved hjælp af

0:04:30.130,0:04:32.720
Herons formel finde arealet af den ligesidede trekant.

0:04:32.720,0:04:35.080
Hvordan finder vi a?

0:04:35.080,0:04:37.770
Hvad ved vi ellers om ligesidede trekanter?

0:04:37.770,0:04:42.690
Vi ved, at alle de her vinkler er lige store.

0:04:42.690,0:04:45.720
Eftersom de sammenlagt skal give 180,

0:04:45.720,0:04:48.210
må de være 60 grader hver.

0:04:48.210,0:04:51.890
Den her er 60, den her er 60,

0:04:51.890,0:04:54.090
og den her er 60.

0:04:54.090,0:04:56.980
I den sidste video

0:04:56.980,0:05:01.720
snakkede vi om forholdet mellem en

0:05:01.720,0:05:02.800
indskreven vinkel og en centervinkel.

0:05:02.800,0:05:04.560
Det her er en indskreven vinkel.

0:05:04.560,0:05:09.620
Vinkelspidsen er på cirklen.

0:05:09.620,0:05:16.630
Den ligger lige overfor den her cirkelbue.

0:05:16.630,0:05:20.500
.

0:05:20.500,0:05:25.000
Centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue,

0:05:25.000,0:05:26.330
er den her.

0:05:26.330,0:05:29.880
.

0:05:29.880,0:05:33.740
Det er

0:05:33.740,0:05:34.960
den her centervinkel.

0:05:34.960,0:05:39.170
Vi ved fra den anden video,

0:05:39.170,0:05:41.980
at centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue

0:05:41.980,0:05:43.040
er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel.

0:05:43.040,0:05:47.230
Den her vinkel er altså 120 grader.

0:05:47.230,0:05:48.860
Vi tegner en lille pil her.

0:05:48.860,0:05:50.860
120 grader.

0:05:50.860,0:05:52.440
Den er dobbelt så stor som den her.

0:05:52.440,0:05:56.110
Lad os halvere den her vinkel.

0:05:56.110,0:05:58.140
Vi går halvvejs igennem vinklen og så lige ned.

0:05:58.140,0:06:01.260
Sådan.

0:06:01.260,0:06:03.310
Hvor stor er de her 2 vinkler?

0:06:03.310,0:06:04.440
De er 60 grader hver.

0:06:04.440,0:06:05.760
Vi halverer jo vinklen.

0:06:05.760,0:06:10.480
De er begge 60 grader.

0:06:10.480,0:06:14.450
Vi deler den her side i 2.

0:06:14.450,0:06:17.080
Det her er en ligebenet trekant.

0:06:17.080,0:06:19.040
Det her er en radius.

0:06:19.040,0:06:21.030
Radius r er lig med 2.

0:06:21.030,0:06:24.530
Det her er en radius. r er lig med 2.

0:06:24.530,0:06:26.090
Hele den her trekant er symmetrisk.

0:06:26.090,0:06:28.540
Hvis vi går lige ned i midten her,

0:06:28.540,0:06:33.100
bliver den her længde lig med den her side divideret med 2.

0:06:33.100,0:06:36.280
Den her side er lig med den her side delt i 2.

0:06:36.280,0:06:37.240
Lad os tegne det her.

0:06:37.240,0:06:39.890
Vi kunne tage enhver ligebenet trekant,

0:06:39.890,0:06:44.850
hvor den her side er lig med den her side.

0:06:44.850,0:06:47.300
Det her er vores radiusser eller radier i eksemplet.

0:06:47.300,0:06:49.530
Den her vinkel er lig med den her vinkel.

0:06:49.530,0:06:51.790
Hvis vi går lige ned her,

0:06:51.790,0:06:55.260
bliver den modsatte side delt i 2.

0:06:55.260,0:06:56.880
De her 2 længder er lige store.

0:06:56.880,0:06:59.120
Hvis hele længden er a,

0:06:59.120,0:07:01.140
er hver af dem lig med a over 2.

0:07:01.140,0:07:04.420
Lad os se, om vi kan bruge det her

0:07:04.420,0:07:08.620
og en smule trigonometri til at finde et forhold mellem a og r.

0:07:08.620,0:07:12.050
Hvis vi kan finde a ved at bruge r,

0:07:12.050,0:07:14.640
kan vi indsætte a her

0:07:14.640,0:07:15.690
og finde trekantens areal.

0:07:15.690,0:07:17.600
Derefter kan vi trække trekantens areal fra cirklens areal,

0:07:17.600,0:07:20.070
og så er vi færdige.

0:07:20.070,0:07:22.050
Så har vi løst opgaven.

0:07:22.050,0:07:24.610
Lad os se, om vi kan gøre det.

0:07:24.610,0:07:29.340
Den her vinkel er 60 grader.

0:07:29.340,0:07:32.050
Den er halvdelen af centervinklen her.

0:07:32.050,0:07:35.890
Hvis den her side er 60 grader,

0:07:35.890,0:07:37.380
er a over 2 modsat den vinkel.

0:07:37.380,0:07:43.480
Den modsatte side er lig med a over 2.

0:07:43.480,0:07:44.860
Der er også en hypotenuse.

0:07:44.860,0:07:45.040
.

0:07:45.040,0:07:46.870
Det her er en retvinklet trekant.

0:07:46.870,0:07:49.830
Vi går lige ned herfra

0:07:49.830,0:07:50.840
og halverer den modstående trekant.

0:07:50.840,0:07:52.640
Det er en retvinklet trekant.

0:07:52.640,0:07:54.000
Vi kan bruge lidt trigonometri.

0:07:54.000,0:08:02.550
Den modsatte side er a over 2, og hypotenusen er lig med r.

0:08:02.550,0:08:05.020
Det her er hypotenusen i trekanten.

0:08:05.020,0:08:06.360
Den er lig med 2.

0:08:06.360,0:08:12.440
Hvilket trigonometrisk forhold er

0:08:12.440,0:08:14.920
forholdet mellem en vinkels modstående side og hypotenusen?

0:08:14.920,0:08:18.910
Vi kan bruge nogle forkortelser. De er på engelsk.

0:08:18.910,0:08:22.030
SOH, CAH og TOA.

0:08:22.030,0:08:27.070
SOH betyder, at sinus til en vinkel er lig med den modstående

0:08:27.070,0:08:28.620
side over hypotenusen.

0:08:28.620,0:08:29.580
O står for opposite, som betyder modstående.

0:08:29.580,0:08:31.270
Det skal man huske, når man bruger forkortelserne.

0:08:31.270,0:08:38.700
Sinus af den her vinkel på 60 grader

0:08:38.700,0:08:42.070
er lig med den modstående side,

0:08:42.070,0:08:45.800
som er a over 2, over hypotenusen,

0:08:45.800,0:08:48.140
som er vores radius, altså 2.

0:08:48.140,0:08:54.510
Det er lig med a over 2 divideret med 2. Det er a over 4.

0:08:54.510,0:08:56.880
Hvad er sinus af 60 grader?

0:08:56.880,0:08:59.720
Hvis sinus virker helt fremmed,

0:08:59.720,0:09:04.150
kan man se de første videoer om trigonometri.

0:09:04.150,0:09:06.240
De er ikke særligt svære.

0:09:06.240,0:09:08.310
Sinus af 60 grader kan vi måske

0:09:08.310,0:09:10.680
huske fra vores 30-60-90-trekanter.

0:09:10.680,0:09:13.210
Lad os tegne sådan en her.

0:09:13.210,0:09:15.705
Det her er en 30-60-90-trekant.

0:09:15.705,0:09:21.540
Hvis den her er 60 grader, er den her 30 og den her 90.

0:09:21.540,0:09:26.660
Den her er 1 lang,

0:09:26.660,0:09:29.520
den her er 1/2 lang,

0:09:29.520,0:09:31.370
og den her er kvadratroden af 3 over 2 lang.

0:09:31.370,0:09:35.300
Sinus af 60 grader er den modstående side over hypotenusen.

0:09:35.300,0:09:37.770
Kvadratroden af 3 over 2 over 1.

0:09:37.770,0:09:40.940
Det er sinus af 60 grader.

0:09:40.940,0:09:42.840
.

0:09:42.840,0:09:44.930
Det bliver kvadratroden af 3 over 2.

0:09:44.930,0:09:48.890
Det her er lig med kvadratroden af 3 over 2.

0:09:48.890,0:09:51.280
Nu kan vi isolere a.

0:09:51.280,0:09:56.920
Kvadratorden af 3 over 2 er lig med a over 4.

0:09:56.920,0:09:59.610
Vi ganger begge sider med 4.

0:09:59.610,0:10:01.640
Det her 4-tal forsvinder.

0:10:01.640,0:10:03.445
Vi ganger med 4 her.

0:10:03.445,0:10:04.480
Det her bliver 2.

0:10:04.480,0:10:05.660
Det her bliver 1.

0:10:05.660,0:10:09.250
a er nu lig med 2 kvadratrødder af 3.

0:10:09.250,0:10:11.000
Vi er næsten i mål nu.

0:10:11.000,0:10:15.420
Vi har lige fundet sidelængderne.

0:10:15.420,0:10:17.460
Vi mangler bare at bruge Herons formel

0:10:17.460,0:10:19.080
til at finde trekantens areal ud fra sidelængderne.

0:10:19.080,0:10:22.110
Nu skal vi indsætte a

0:10:22.110,0:10:24.670
for at finde trekantens areal.

0:10:24.670,0:10:30.380
Trekantens areal er lig med a i anden.

0:10:30.380,0:10:31.690
Hvad er det?

0:10:31.690,0:10:37.780
Det er 2 kvadratrødder af 3 i anden

0:10:37.780,0:10:42.710
gange kvadratroden af 3 over 4.

0:10:42.710,0:10:45.470
Vi ganger et kvadrat med kvadratroden af 3 over 4.

0:10:45.470,0:10:51.950
Det er lig med 4 gange 3

0:10:51.950,0:10:53.930
gange kvadratet af 3 over 4.

0:10:53.930,0:10:55.350
Firetallerne går ud.

0:10:55.350,0:10:58.360
Arealet af vores trekant er

0:10:58.360,0:11:00.770
3 gange kvadratroden af 3.

0:11:00.770,0:11:03.160
Det her område er altså 3 kvadratrødder af 3.

0:11:03.160,0:11:06.480
Det er hele trekantens areal.

0:11:06.480,0:11:08.810
Lad os vende tilbage til selve opgaven.

0:11:08.810,0:11:12.970
Vi skal finde arealet af det orange område

0:11:12.970,0:11:14.530
indenfor cirklen og udenfor trekanten.

0:11:14.530,0:11:18.460
Arealet af cirklene er 4 pi.

0:11:18.460,0:11:23.340
Vi skal nu trække arealet af trekanten fra.

0:11:23.340,0:11:25.170
Det var 3 kvadratrødder af 3.

0:11:25.170,0:11:27.390
Nu er vi færdige.

0:11:27.390,0:11:28.670
Det her er svaret på opgaven.

0:11:28.670,0:11:35.270
Det her er lig med arealet af det orange her.

0:11:35.270,0:11:37.800
Forhåbentligt var det interessant at lære.

0:11:37.800,0:11:38.044
.