-
W tym video zapoznamy się z twierdzeniem Pitagorasa.
-
Jest ono zabawne samo w sobie,
-
ale zagłębiając się coraz bardziej
w matematykę, zobaczycie, że
-
jest to jej fundamentalne twierdzenie.
-
Przydatne w geometrii,
jest podstawą
-
trygonometrii.
-
Będziemy go używać także
do obliczania odległości
-
pomiędzy punktami.
-
To jest taka rzecz, którą trzeba
naprawdę dobrze umieć.
-
Skończmy już to gadanie.
-
Powiem Wam teraz co to jest
twierdzenie Pitagorasa.
-
Jeśli mamy trójkąt, to musi
być trójkąt prostokątny,
-
to znaczy że jeden z jego
trzech kątów
-
musi mieć 90 stopni.
-
Oznaczymy ten kąt 90 stopni
rysując tu
-
taki mały kwadrat.
-
Ten kąt ma -- zaznaczę to innym
-
kolorem-- 90 stopni.
-
Taki kąt można nazwać także
kątem prostym.
-
A trójkąt, który ma kąt prosty
-
nazywa się trójkątem prostokątnym.
-
Ten trójkąt jest
trójkątem prostokątnym.
-
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa,
zawsze kiedy znamy dwa boki
-
trójkąta prostokątnego,
możemy obliczyć
-
trzeci bok.
-
Zanim pokaże Wam jak to się robi,
wprowadźmy
-
jeszcze jeden termin.
-
Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego
leży po przeciwnej stronie
-
kąta, który ma 90 stopni -- czyli
kąta prostego.
-
W naszym przykładzie to będzie
ten bok trójkąta.
-
Ten bok jest najdłuższy.
-
Można też znaleźć kąt prosty
w ten sposób, że to ten kąt
-
który "otwiera się"
na ten najdłuższy bok.
-
Ten najdłuższy bok trójkąta
prostokątnego nazywa się przeciwprostokątna.
-
Tą nazwę trzeba koniecznie znać, bo w ten sposób
będziemy go zawsze nazywać.
-
Narysuję teraz taki trójkąt.
-
Może trochę ładniejszy...
-
Teraz wygląda tak.
-
I ten kąt, tutaj
-
ma 90 stopni.
-
W takim razie, to jest
przeciwprostokątna, ponieważ
-
leży po przeciwnej stronie kąta 90 stopni.
-
I to jest najdłuższy bok.
-
Narysuję jeszcze jeden, tak
byśmy mogli przećwiczyć
-
znajdowanie przeciwprostokątnej.
-
To będzie mój nowy trójkąt,
i ten kąt
-
wynosi 90 stopni.
-
Myślę, że wiecie już gdzie jest
przeciwprostokątna.
-
Na przeciwko kąta prostego.
-
To jest przeciwprostokątna.
-
Najdłuższy bok trójkąta.
-
Wiemy już, gdzie jest przeciwprostokątna
-- i powiedzmy, że
-
jej długość wynosi C.
-
I teraz powiem Wam do czego
-
służy twierdzenie Pitagorasa.
-
Niech C będzie równe długości
przeciwprostokątnej.
-
Nazwijmy to
C-- ten bok równa się C.
-
A ten bok niech będzie równy A.
-
A ten niech będzie równy B.
-
Twierdzenie Pitagorasa mówi
że A do kwadratu-- długość
-
jednego z krótszych boków podniesiona
do kwadratu-- dodać
-
B do kwadratu-- długość
drugiego z krótszych boków do kwadratu
-
równa się C do kwadratu - długości
przeciwprostokątnej do kwadratu.
-
Zróbmy teraz przykład i zobaczycie
-
że to wcale nie jest trudne.
-
Niech to będzie nasz trójkąt.
-
Narysuje go teraz.
-
Niech to będzie mój trójkąt.
-
Wygląda mniej więcej tak.
-
I to będzie kąt prosty.
-
Przypuśćmy, że długość tego boku--
narysuję to w różnych
-
kolorach-- długość tego boku
równa się 3, a długość tego
-
boku tutaj wynosi 4.
-
Problem polega na tym, żeby
wyznaczyć długość trzeciego boku.
-
Pierwszą rzeczą, którą koniecznie
trzeba ustalić zanim zastosujemy
-
twierdzenie Pitagorasa, to
upewnić się że wiemy, gdzie
-
jest przeciwprostokątna.
-
To znaczy, że wiemy, który
bok trójkąta chcemy wyznaczyć.
-
W tym przykładzie szukamy
przeciwprostokątnej.
-
Wynika to stąd, że ten bok
trójkąta leży
-
po przeciwnej stronie kąta prostego.
-
Spójrzcie na twierdzenie Pitagorasa,
to jest właśnie C.
-
Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego.
-
Jesteśmy gotowi, żeby zastosować
twierdzenie Pitagorasa.
-
Twierdzenie mówi, że 4 do kwadratu--
kwadrat jednego z krótszych boków-- plus
-
3 do kwadratu-- kwadrat drugiego z krótszych boków--
-
równa się kwadratowi długości
najdłuższego boku,
-
kwadratowi przeciwprostokątnej-- czyli
równa się C kwadrat.
-
I stąd można wyznaczyć C.
-
4 kwadrat to to samo co 4 razy 4.
-
Równa się 16.
-
3 do kwadratu to to samo co
3 razy 3.
-
Równa się 9.
-
I to jest równe C kwadrat.
-
Ile to jest 16 plus 9?
-
16 + 9 = 25.
-
Czyli C kwadrat równa się 25.
-
Teraz możemy wziąć pierwiastek
kwadratowy z obu stron.
-
Pierwiastek z 25 może być także
-
równy -5.
-
Ale ponieważ interesuje nas
długość boku trójkąta
-
bierzemy dodatni pierwiastek.
-
Biorąc dodatnią wartość
pierwiastka
-
otrzymujemy, że C = 5.
-
Czyli najdłuższy bok tego
trójkąta równa się 5.
-
Zawsze możecie skorzystać z
twierdzenia Pitagorasa, jeśli znacie
-
dwa boki trójkąta prostokątnego,
żeby obliczyć trzeci bok, niezależnie
-
który to będzie ten trzeci bok.
-
Zrobimy jeszcze jeden przykład.
-
Powiedzmy, że mamy taki
trójkąt.
-
I tu jest kąt prosty.
-
Powiedzmy, że długość tego boku
wynosi 12, a długość
-
tego boku tutaj niech
równa się 6.
-
I chcemy obliczyć długość
tego boku.
-
Jak już powiedziałem, pierwszą
rzeczą, jaką trzeba zrobić
-
to odnaleźć przeciwprostokątną.
-
Czyli ten bok trójkąta, który leży
po przeciwnej stronie kąta prostego.
-
Kąt prosty jest tutaj.
-
A my patrzymy na przeciwną
stronę, przeciwną do kąta prostego.
-
Najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna
jest będzie tutaj.
-
Zastosujemy teraz twierdzenie
Pitagorasa, które mówi że A
-
kwadrat plus B kwadrat
równa się C kwadrat-- 12
-
to będzie C.
-
Bo to jest przeciwprostokątna.
-
C kwadrat równa się kwadratowi
przeciwprostokątnej.
-
A więc 12 równa się C.
-
A te dwa boki, nieważne
-
który z nich nazwiemy A,
a który B.
-
Nazwijmy ten bok tutaj A.
-
A równa się 6.
-
I niech B-- ten bok, który
pokolorowałem, będzie B-- równa się
-
znakowi zapytania.
-
Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
-
A kwadrat, czyli 6 do kwadratu,
plus niewiadoma B kwadrat
-
równa się kwadratowi przeciwprostokątnej
-- równa się
-
C kwadrat.
-
Równa się 12 do kwadratu.
-
To równanie możemy rozwiązać i znaleźć B.
-
Zauważcie różnicę.
-
Tym razem nie interesuje nas
przeciwprostokątna.
-
Chcemy wyznaczyć jeden z
dwóch krótszych boków.
-
W poprzednim przykładzie szukaliśmy
przeciwprostokątnej.
-
Szukaliśmy C.
-
Dlatego jest takie ważne żeby
rozumieć że to A
-
kwadrat plus B kwadrat równa się C
kwadrat, C gdzie jest długością
-
przeciwprostokątnej.
-
Rozwiążmy teraz to równanie i znajdźmy B.
-
Mamy 6 do kwadratu, czyli 36,
plus B do kwadratu, równa
-
się 12 do kwadratu-- to jest tyle samo
co 12 razy 12-- równa się 144.
-
Możemy odjąć 36 od obu
stron tego równania.
-
To się upraszcza.
-
Po lewej stronie zostaje
tylko B do kwadratu
-
i to się równa-- ile to jest 144
minus 36?
-
144 - 36 = 108.
-
Tyle wynosi B do kwadratu,
i teraz weźmiemy
-
pierwiastek kwadratowy,
dodatni pierwiastek, z obu stron.
-
Otrzymamy, że B równa się
pierwiastkowi kwadratowemu
-
ze 108.
-
Zastanówmy się, czy można to jeszcze
trochę uprościć.
-
Pierwiastek kwadratowy ze 108.
-
Możemy rozłożyć 108 na
-
czynniki pierwsze i sprawdzić
-
czy można ten pierwiastek uprościć.
-
108 równa się 2
razy 54, a to się równa
-
2 razy 27, które
równa się 3 razy 9.
-
Czyli pierwiastek kwadratowy ze
108 równa się
-
pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2
razy-- w zasadzie,
-
jeszcze nie skończyłem,
-
9 można zapisać jako 3 razy 3.
-
Czyli to będzie 2 razy 2 razy
3 razy 3 razy 3.
-
I mamy tu kilka kwadratów.
-
Zapiszę to ładniej.
-
To nic innego jak upraszczanie
pierwiastków,
-
to będzie chleb powszedni, jeśli
korzystacie z twierdzenia Pitagorasa,
-
więc nie zaszkodzi, jeśli zrobimy to teraz.
-
Czyli to jest równe pierwiastkowi
kwadratowemu z 2 razy 2
-
razy 3 razy 3 razy pierwiastek kwadratowy
-
z tej ostatniej 3.
-
A to z kolei równa się.
-
Rozumiecie, nie trzeba tego robić
-
na papierze.
-
Pod warunkiem, że umiecie to zrobić w myślach.
-
Ile to jest?
-
2 razy 2 równa się 4.
-
4 razy 9 równa się 36.
-
A więc to jest pierwiastek kwadratowy
z 36 razy pierwiastek kwadratowy z 3.
-
Pierwiastek kwadratowy z 36 równa się 6.
-
Uprościliśmy odpowiedź do
6 pierwiastków kwadratowych z 3.
-
Tyle wynosi długość B, można ją zapisać
jako pierwiastek kwadratowy,
-
ze 108, można też zapisać
jako 6 razy
-
pierwiastek kwadratowy z 3.
-
To jest 12, to jest 6.
-
A pierwiastek kwadratowy z 3,
to będzie 1
-
przecinek coś tam.
-
Czyli to będzie nieco więcej niż 6.
