W tym video zapoznamy się z twierdzeniem Pitagorasa. Jest ono zabawne samo w sobie, ale zagłębiając się coraz bardziej w matematykę, zobaczycie, że jest to jej fundamentalne twierdzenie. Przydatne w geometrii, jest podstawą trygonometrii. Będziemy go używać także do obliczania odległości pomiędzy punktami. To jest taka rzecz, którą trzeba naprawdę dobrze umieć. Skończmy już to gadanie. Powiem Wam teraz co to jest twierdzenie Pitagorasa. Jeśli mamy trójkąt, to musi być trójkąt prostokątny, to znaczy że jeden z jego trzech kątów musi mieć 90 stopni. Oznaczymy ten kąt 90 stopni rysując tu taki mały kwadrat. Ten kąt ma -- zaznaczę to innym kolorem-- 90 stopni. Taki kąt można nazwać także kątem prostym. A trójkąt, który ma kąt prosty nazywa się trójkątem prostokątnym. Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zawsze kiedy znamy dwa boki trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć trzeci bok. Zanim pokaże Wam jak to się robi, wprowadźmy jeszcze jeden termin. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego leży po przeciwnej stronie kąta, który ma 90 stopni -- czyli kąta prostego. W naszym przykładzie to będzie ten bok trójkąta. Ten bok jest najdłuższy. Można też znaleźć kąt prosty w ten sposób, że to ten kąt który "otwiera się" na ten najdłuższy bok. Ten najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątna. Tą nazwę trzeba koniecznie znać, bo w ten sposób będziemy go zawsze nazywać. Narysuję teraz taki trójkąt. Może trochę ładniejszy... Teraz wygląda tak. I ten kąt, tutaj ma 90 stopni. W takim razie, to jest przeciwprostokątna, ponieważ leży po przeciwnej stronie kąta 90 stopni. I to jest najdłuższy bok. Narysuję jeszcze jeden, tak byśmy mogli przećwiczyć znajdowanie przeciwprostokątnej. To będzie mój nowy trójkąt, i ten kąt wynosi 90 stopni. Myślę, że wiecie już gdzie jest przeciwprostokątna. Na przeciwko kąta prostego. To jest przeciwprostokątna. Najdłuższy bok trójkąta. Wiemy już, gdzie jest przeciwprostokątna -- i powiedzmy, że jej długość wynosi C. I teraz powiem Wam do czego służy twierdzenie Pitagorasa. Niech C będzie równe długości przeciwprostokątnej. Nazwijmy to C-- ten bok równa się C. A ten bok niech będzie równy A. A ten niech będzie równy B. Twierdzenie Pitagorasa mówi że A do kwadratu-- długość jednego z krótszych boków podniesiona do kwadratu-- dodać B do kwadratu-- długość drugiego z krótszych boków do kwadratu równa się C do kwadratu - długości przeciwprostokątnej do kwadratu. Zróbmy teraz przykład i zobaczycie że to wcale nie jest trudne. Niech to będzie nasz trójkąt. Narysuje go teraz. Niech to będzie mój trójkąt. Wygląda mniej więcej tak. I to będzie kąt prosty. Przypuśćmy, że długość tego boku-- narysuję to w różnych kolorach-- długość tego boku równa się 3, a długość tego boku tutaj wynosi 4. Problem polega na tym, żeby wyznaczyć długość trzeciego boku. Pierwszą rzeczą, którą koniecznie trzeba ustalić zanim zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, to upewnić się że wiemy, gdzie jest przeciwprostokątna. To znaczy, że wiemy, który bok trójkąta chcemy wyznaczyć. W tym przykładzie szukamy przeciwprostokątnej. Wynika to stąd, że ten bok trójkąta leży po przeciwnej stronie kąta prostego. Spójrzcie na twierdzenie Pitagorasa, to jest właśnie C. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Jesteśmy gotowi, żeby zastosować twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie mówi, że 4 do kwadratu-- kwadrat jednego z krótszych boków-- plus 3 do kwadratu-- kwadrat drugiego z krótszych boków-- równa się kwadratowi długości najdłuższego boku, kwadratowi przeciwprostokątnej-- czyli równa się C kwadrat. I stąd można wyznaczyć C. 4 kwadrat to to samo co 4 razy 4. Równa się 16. 3 do kwadratu to to samo co 3 razy 3. Równa się 9. I to jest równe C kwadrat. Ile to jest 16 plus 9? 16 + 9 = 25. Czyli C kwadrat równa się 25. Teraz możemy wziąć pierwiastek kwadratowy z obu stron. Pierwiastek z 25 może być także równy -5. Ale ponieważ interesuje nas długość boku trójkąta bierzemy dodatni pierwiastek. Biorąc dodatnią wartość pierwiastka otrzymujemy, że C = 5. Czyli najdłuższy bok tego trójkąta równa się 5. Zawsze możecie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, jeśli znacie dwa boki trójkąta prostokątnego, żeby obliczyć trzeci bok, niezależnie który to będzie ten trzeci bok. Zrobimy jeszcze jeden przykład. Powiedzmy, że mamy taki trójkąt. I tu jest kąt prosty. Powiedzmy, że długość tego boku wynosi 12, a długość tego boku tutaj niech równa się 6. I chcemy obliczyć długość tego boku. Jak już powiedziałem, pierwszą rzeczą, jaką trzeba zrobić to odnaleźć przeciwprostokątną. Czyli ten bok trójkąta, który leży po przeciwnej stronie kąta prostego. Kąt prosty jest tutaj. A my patrzymy na przeciwną stronę, przeciwną do kąta prostego. Najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna jest będzie tutaj. Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa, które mówi że A kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat-- 12 to będzie C. Bo to jest przeciwprostokątna. C kwadrat równa się kwadratowi przeciwprostokątnej. A więc 12 równa się C. A te dwa boki, nieważne który z nich nazwiemy A, a który B. Nazwijmy ten bok tutaj A. A równa się 6. I niech B-- ten bok, który pokolorowałem, będzie B-- równa się znakowi zapytania. Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa. A kwadrat, czyli 6 do kwadratu, plus niewiadoma B kwadrat równa się kwadratowi przeciwprostokątnej -- równa się C kwadrat. Równa się 12 do kwadratu. To równanie możemy rozwiązać i znaleźć B. Zauważcie różnicę. Tym razem nie interesuje nas przeciwprostokątna. Chcemy wyznaczyć jeden z dwóch krótszych boków. W poprzednim przykładzie szukaliśmy przeciwprostokątnej. Szukaliśmy C. Dlatego jest takie ważne żeby rozumieć że to A kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat, C gdzie jest długością przeciwprostokątnej. Rozwiążmy teraz to równanie i znajdźmy B. Mamy 6 do kwadratu, czyli 36, plus B do kwadratu, równa się 12 do kwadratu-- to jest tyle samo co 12 razy 12-- równa się 144. Możemy odjąć 36 od obu stron tego równania. To się upraszcza. Po lewej stronie zostaje tylko B do kwadratu i to się równa-- ile to jest 144 minus 36? 144 - 36 = 108. Tyle wynosi B do kwadratu, i teraz weźmiemy pierwiastek kwadratowy, dodatni pierwiastek, z obu stron. Otrzymamy, że B równa się pierwiastkowi kwadratowemu ze 108. Zastanówmy się, czy można to jeszcze trochę uprościć. Pierwiastek kwadratowy ze 108. Możemy rozłożyć 108 na czynniki pierwsze i sprawdzić czy można ten pierwiastek uprościć. 108 równa się 2 razy 54, a to się równa 2 razy 27, które równa się 3 razy 9. Czyli pierwiastek kwadratowy ze 108 równa się pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 razy-- w zasadzie, jeszcze nie skończyłem, 9 można zapisać jako 3 razy 3. Czyli to będzie 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 3. I mamy tu kilka kwadratów. Zapiszę to ładniej. To nic innego jak upraszczanie pierwiastków, to będzie chleb powszedni, jeśli korzystacie z twierdzenia Pitagorasa, więc nie zaszkodzi, jeśli zrobimy to teraz. Czyli to jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy pierwiastek kwadratowy z tej ostatniej 3. A to z kolei równa się. Rozumiecie, nie trzeba tego robić na papierze. Pod warunkiem, że umiecie to zrobić w myślach. Ile to jest? 2 razy 2 równa się 4. 4 razy 9 równa się 36. A więc to jest pierwiastek kwadratowy z 36 razy pierwiastek kwadratowy z 3. Pierwiastek kwadratowy z 36 równa się 6. Uprościliśmy odpowiedź do 6 pierwiastków kwadratowych z 3. Tyle wynosi długość B, można ją zapisać jako pierwiastek kwadratowy, ze 108, można też zapisać jako 6 razy pierwiastek kwadratowy z 3. To jest 12, to jest 6. A pierwiastek kwadratowy z 3, to będzie 1 przecinek coś tam. Czyli to będzie nieco więcej niż 6.