WEBVTT 00:00:00.053 --> 00:00:03.022 W tym video zapoznamy się z twierdzeniem Pitagorasa. 00:00:03.022 --> 00:00:14.018 Jest ono zabawne samo w sobie, 00:00:14.018 --> 00:00:16.092 ale zagłębiając się coraz bardziej w matematykę, zobaczycie, że 00:00:16.092 --> 00:00:21.057 jest to jej fundamentalne twierdzenie. 00:00:21.057 --> 00:00:24.092 Przydatne w geometrii, jest podstawą 00:00:24.092 --> 00:00:26.075 trygonometrii. 00:00:26.075 --> 00:00:29.019 Będziemy go używać także do obliczania odległości 00:00:29.019 --> 00:00:30.051 pomiędzy punktami. 00:00:30.051 --> 00:00:33.081 To jest taka rzecz, którą trzeba naprawdę dobrze umieć. 00:00:33.081 --> 00:00:35.057 Skończmy już to gadanie. 00:00:35.057 --> 00:00:38.032 Powiem Wam teraz co to jest twierdzenie Pitagorasa. 00:00:38.032 --> 00:00:43.028 Jeśli mamy trójkąt, to musi być trójkąt prostokątny, 00:00:43.028 --> 00:00:49.010 to znaczy że jeden z jego trzech kątów 00:00:49.010 --> 00:00:51.052 musi mieć 90 stopni. 00:00:51.052 --> 00:00:54.057 Oznaczymy ten kąt 90 stopni rysując tu 00:00:54.057 --> 00:00:55.092 taki mały kwadrat. 00:00:55.092 --> 00:00:58.082 Ten kąt ma -- zaznaczę to innym 00:00:58.082 --> 00:01:05.054 kolorem-- 90 stopni. 00:01:05.054 --> 00:01:09.093 Taki kąt można nazwać także kątem prostym. 00:01:09.093 --> 00:01:13.039 A trójkąt, który ma kąt prosty 00:01:13.039 --> 00:01:15.084 nazywa się trójkątem prostokątnym. 00:01:15.084 --> 00:01:21.070 Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym. 00:01:21.070 --> 00:01:25.043 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zawsze kiedy znamy dwa boki 00:01:25.043 --> 00:01:28.098 trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć 00:01:28.098 --> 00:01:30.092 trzeci bok. 00:01:30.092 --> 00:01:34.031 Zanim pokaże Wam jak to się robi, wprowadźmy 00:01:34.031 --> 00:01:36.056 jeszcze jeden termin. 00:01:36.056 --> 00:01:43.023 Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego leży po przeciwnej stronie 00:01:43.023 --> 00:01:46.068 kąta, który ma 90 stopni -- czyli kąta prostego. 00:01:46.068 --> 00:01:49.065 W naszym przykładzie to będzie ten bok trójkąta. 00:01:49.065 --> 00:01:51.028 Ten bok jest najdłuższy. 00:01:51.028 --> 00:01:55.001 Można też znaleźć kąt prosty w ten sposób, że to ten kąt 00:01:55.001 --> 00:01:58.006 który "otwiera się" na ten najdłuższy bok. 00:01:58.006 --> 00:02:00.015 Ten najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątna. 00:02:03.130 --> 00:02:05.330 Tą nazwę trzeba koniecznie znać, bo w ten sposób będziemy go zawsze nazywać. 00:02:12.056 --> 00:02:17.009 Narysuję teraz taki trójkąt. 00:02:17.009 --> 00:02:19.038 Może trochę ładniejszy... 00:02:19.038 --> 00:02:22.012 Teraz wygląda tak. 00:02:22.012 --> 00:02:24.000 I ten kąt, tutaj 00:02:24.000 --> 00:02:25.038 ma 90 stopni. 00:02:25.038 --> 00:02:29.086 W takim razie, to jest przeciwprostokątna, ponieważ 00:02:29.086 --> 00:02:33.040 leży po przeciwnej stronie kąta 90 stopni. 00:02:33.040 --> 00:02:34.087 I to jest najdłuższy bok. 00:02:34.087 --> 00:02:36.066 Narysuję jeszcze jeden, tak byśmy mogli przećwiczyć 00:02:36.066 --> 00:02:39.041 znajdowanie przeciwprostokątnej. 00:02:39.041 --> 00:02:44.005 To będzie mój nowy trójkąt, i ten kąt 00:02:44.005 --> 00:02:45.078 wynosi 90 stopni. 00:02:45.078 --> 00:02:47.071 Myślę, że wiecie już gdzie jest przeciwprostokątna. 00:02:47.071 --> 00:02:49.062 Na przeciwko kąta prostego. 00:02:49.062 --> 00:02:51.053 To jest przeciwprostokątna. 00:02:51.053 --> 00:02:53.019 Najdłuższy bok trójkąta. 00:02:57.940 --> 00:03:00.400 Wiemy już, gdzie jest przeciwprostokątna -- i powiedzmy, że 00:03:00.040 --> 00:03:02.005 jej długość wynosi C. 00:03:02.005 --> 00:03:03.097 I teraz powiem Wam do czego 00:03:03.097 --> 00:03:05.021 służy twierdzenie Pitagorasa. 00:03:05.021 --> 00:03:08.068 Niech C będzie równe długości przeciwprostokątnej. 00:03:08.068 --> 00:03:11.062 Nazwijmy to C-- ten bok równa się C. 00:03:11.062 --> 00:03:17.090 A ten bok niech będzie równy A. 00:03:17.090 --> 00:03:21.088 A ten niech będzie równy B. 00:03:21.088 --> 00:03:28.062 Twierdzenie Pitagorasa mówi że A do kwadratu-- długość 00:03:28.062 --> 00:03:32.087 jednego z krótszych boków podniesiona do kwadratu-- dodać 00:03:32.087 --> 00:03:36.088 B do kwadratu-- długość drugiego z krótszych boków do kwadratu 00:03:36.088 --> 00:03:41.037 równa się C do kwadratu - długości przeciwprostokątnej do kwadratu. 00:03:41.037 --> 00:03:43.074 Zróbmy teraz przykład i zobaczycie 00:03:43.074 --> 00:03:45.081 że to wcale nie jest trudne. 00:03:45.081 --> 00:03:49.081 Niech to będzie nasz trójkąt. 00:03:49.081 --> 00:03:51.005 Narysuje go teraz. 00:03:51.005 --> 00:03:54.021 Niech to będzie mój trójkąt. 00:03:54.021 --> 00:03:57.015 Wygląda mniej więcej tak. 00:03:57.015 --> 00:04:00.056 I to będzie kąt prosty. 00:04:00.056 --> 00:04:02.093 Przypuśćmy, że długość tego boku-- narysuję to w różnych 00:04:02.093 --> 00:04:06.083 kolorach-- długość tego boku równa się 3, a długość tego 00:04:06.083 --> 00:04:09.016 boku tutaj wynosi 4. 00:04:09.016 --> 00:04:14.049 Problem polega na tym, żeby wyznaczyć długość trzeciego boku. 00:04:14.049 --> 00:04:17.012 Pierwszą rzeczą, którą koniecznie trzeba ustalić zanim zastosujemy 00:04:17.012 --> 00:04:19.066 twierdzenie Pitagorasa, to upewnić się że wiemy, gdzie 00:04:19.066 --> 00:04:20.070 jest przeciwprostokątna. 00:04:20.070 --> 00:04:23.035 To znaczy, że wiemy, który bok trójkąta chcemy wyznaczyć. 00:04:23.035 --> 00:04:26.012 W tym przykładzie szukamy przeciwprostokątnej. 00:04:26.012 --> 00:04:30.043 Wynika to stąd, że ten bok trójkąta leży 00:04:30.043 --> 00:04:33.031 po przeciwnej stronie kąta prostego. 00:04:33.031 --> 00:04:36.054 Spójrzcie na twierdzenie Pitagorasa, to jest właśnie C. 00:04:36.054 --> 00:04:38.016 Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. 00:04:38.016 --> 00:04:41.092 Jesteśmy gotowi, żeby zastosować twierdzenie Pitagorasa. 00:04:41.092 --> 00:04:48.006 Twierdzenie mówi, że 4 do kwadratu-- kwadrat jednego z krótszych boków-- plus 00:04:48.006 --> 00:04:53.025 3 do kwadratu-- kwadrat drugiego z krótszych boków-- 00:04:53.025 --> 00:04:56.007 równa się kwadratowi długości najdłuższego boku, 00:04:56.007 --> 00:05:00.058 kwadratowi przeciwprostokątnej-- czyli równa się C kwadrat. 00:05:00.058 --> 00:05:02.031 I stąd można wyznaczyć C. 00:05:02.031 --> 00:05:06.037 4 kwadrat to to samo co 4 razy 4. 00:05:06.037 --> 00:05:08.045 Równa się 16. 00:05:08.045 --> 00:05:11.091 3 do kwadratu to to samo co 3 razy 3. 00:05:11.091 --> 00:05:13.081 Równa się 9. 00:05:13.081 --> 00:05:18.057 I to jest równe C kwadrat. 00:05:18.057 --> 00:05:20.061 Ile to jest 16 plus 9? 00:05:20.061 --> 00:05:22.048 16 + 9 = 25. 00:05:22.048 --> 00:05:25.019 Czyli C kwadrat równa się 25. 00:05:25.019 --> 00:05:29.001 Teraz możemy wziąć pierwiastek kwadratowy z obu stron. 00:05:29.001 --> 00:05:30.095 Pierwiastek z 25 może być także 00:05:30.095 --> 00:05:33.016 równy -5. 00:05:33.016 --> 00:05:34.087 Ale ponieważ interesuje nas długość boku trójkąta 00:05:34.087 --> 00:05:37.005 bierzemy dodatni pierwiastek. 00:05:37.005 --> 00:05:41.017 Biorąc dodatnią wartość pierwiastka 00:05:41.017 --> 00:05:44.027 otrzymujemy, że C = 5. 00:05:44.027 --> 00:05:50.025 Czyli najdłuższy bok tego trójkąta równa się 5. 00:05:50.025 --> 00:05:52.063 Zawsze możecie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, jeśli znacie 00:05:52.063 --> 00:05:54.062 dwa boki trójkąta prostokątnego, żeby obliczyć trzeci bok, niezależnie 00:05:54.062 --> 00:05:55.068 który to będzie ten trzeci bok. 00:05:55.068 --> 00:05:59.030 Zrobimy jeszcze jeden przykład. 00:05:59.030 --> 00:06:10.067 Powiedzmy, że mamy taki trójkąt. 00:06:10.067 --> 00:06:12.061 I tu jest kąt prosty. 00:06:12.061 --> 00:06:17.081 Powiedzmy, że długość tego boku wynosi 12, a długość 00:06:17.081 --> 00:06:21.007 tego boku tutaj niech równa się 6. 00:06:21.007 --> 00:06:27.020 I chcemy obliczyć długość tego boku. 00:06:27.020 --> 00:06:29.087 Jak już powiedziałem, pierwszą rzeczą, jaką trzeba zrobić 00:06:29.087 --> 00:06:31.035 to odnaleźć przeciwprostokątną. 00:06:31.035 --> 00:06:34.012 Czyli ten bok trójkąta, który leży po przeciwnej stronie kąta prostego. 00:06:34.012 --> 00:06:35.055 Kąt prosty jest tutaj. 00:06:35.055 --> 00:06:37.064 A my patrzymy na przeciwną stronę, przeciwną do kąta prostego. 00:06:37.064 --> 00:06:41.045 Najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna jest będzie tutaj. 00:06:41.045 --> 00:06:46.010 Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa, które mówi że A 00:06:46.010 --> 00:06:50.081 kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat-- 12 00:06:50.081 --> 00:06:52.022 to będzie C. 00:06:52.022 --> 00:06:54.074 Bo to jest przeciwprostokątna. 00:06:54.074 --> 00:06:56.067 C kwadrat równa się kwadratowi przeciwprostokątnej. 00:06:56.067 --> 00:06:59.002 A więc 12 równa się C. 00:06:59.002 --> 00:07:00.087 A te dwa boki, nieważne 00:07:00.087 --> 00:07:02.057 który z nich nazwiemy A, a który B. 00:07:02.057 --> 00:07:04.097 Nazwijmy ten bok tutaj A. 00:07:04.097 --> 00:07:06.099 A równa się 6. 00:07:06.099 --> 00:07:11.077 I niech B-- ten bok, który pokolorowałem, będzie B-- równa się 00:07:11.077 --> 00:07:12.063 znakowi zapytania. 00:07:12.063 --> 00:07:15.006 Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa. 00:07:15.006 --> 00:07:25.093 A kwadrat, czyli 6 do kwadratu, plus niewiadoma B kwadrat 00:07:25.093 --> 00:07:28.032 równa się kwadratowi przeciwprostokątnej -- równa się 00:07:28.032 --> 00:07:29.075 C kwadrat. 00:07:29.075 --> 00:07:33.025 Równa się 12 do kwadratu. 00:07:33.025 --> 00:07:35.025 To równanie możemy rozwiązać i znaleźć B. 00:07:35.025 --> 00:07:36.037 Zauważcie różnicę. 00:07:36.037 --> 00:07:38.011 Tym razem nie interesuje nas przeciwprostokątna. 00:07:38.011 --> 00:07:40.020 Chcemy wyznaczyć jeden z dwóch krótszych boków. 00:07:40.020 --> 00:07:42.079 W poprzednim przykładzie szukaliśmy przeciwprostokątnej. 00:07:42.079 --> 00:07:43.079 Szukaliśmy C. 00:07:43.079 --> 00:07:46.056 Dlatego jest takie ważne żeby rozumieć że to A 00:07:46.056 --> 00:07:49.018 kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat, C gdzie jest długością 00:07:49.018 --> 00:07:49.067 przeciwprostokątnej. 00:07:49.067 --> 00:07:51.085 Rozwiążmy teraz to równanie i znajdźmy B. 00:07:51.085 --> 00:07:59.027 Mamy 6 do kwadratu, czyli 36, plus B do kwadratu, równa 00:07:59.027 --> 00:08:04.069 się 12 do kwadratu-- to jest tyle samo co 12 razy 12-- równa się 144. 00:08:04.069 --> 00:08:08.055 Możemy odjąć 36 od obu stron tego równania. 00:08:08.055 --> 00:08:11.042 To się upraszcza. 00:08:13.026 --> 00:08:17.050 Po lewej stronie zostaje tylko B do kwadratu 00:08:17.050 --> 00:08:23.041 i to się równa-- ile to jest 144 minus 36? 00:08:30.007 --> 00:08:33.090 144 - 36 = 108. 00:08:33.090 --> 00:08:36.062 Tyle wynosi B do kwadratu, i teraz weźmiemy 00:08:36.062 --> 00:08:40.060 pierwiastek kwadratowy, dodatni pierwiastek, z obu stron. 00:08:40.060 --> 00:08:44.042 Otrzymamy, że B równa się pierwiastkowi kwadratowemu 00:08:44.042 --> 00:08:48.064 ze 108. 00:08:48.064 --> 00:08:50.054 Zastanówmy się, czy można to jeszcze trochę uprościć. 00:08:50.054 --> 00:08:53.054 Pierwiastek kwadratowy ze 108. 00:08:53.054 --> 00:08:54.092 Możemy rozłożyć 108 na 00:08:54.092 --> 00:08:56.066 czynniki pierwsze i sprawdzić 00:08:56.066 --> 00:08:58.040 czy można ten pierwiastek uprościć. 00:08:58.040 --> 00:09:07.059 108 równa się 2 razy 54, a to się równa 00:09:07.059 --> 00:09:15.057 2 razy 27, które równa się 3 razy 9. 00:09:15.057 --> 00:09:19.077 Czyli pierwiastek kwadratowy ze 108 równa się 00:09:19.077 --> 00:09:24.054 pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 razy-- w zasadzie, 00:09:24.054 --> 00:09:25.051 jeszcze nie skończyłem, 00:09:25.051 --> 00:09:28.075 9 można zapisać jako 3 razy 3. 00:09:28.075 --> 00:09:34.016 Czyli to będzie 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 3. 00:09:34.016 --> 00:09:36.082 I mamy tu kilka kwadratów. 00:09:36.082 --> 00:09:38.067 Zapiszę to ładniej. 00:09:38.067 --> 00:09:41.015 To nic innego jak upraszczanie pierwiastków, 00:09:41.015 --> 00:09:44.020 to będzie chleb powszedni, jeśli korzystacie z twierdzenia Pitagorasa, 00:09:44.020 --> 00:09:46.046 więc nie zaszkodzi, jeśli zrobimy to teraz. 00:09:46.046 --> 00:09:55.082 Czyli to jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 00:09:55.082 --> 00:10:00.078 razy 3 razy 3 razy pierwiastek kwadratowy 00:10:00.078 --> 00:10:02.050 z tej ostatniej 3. 00:10:02.050 --> 00:10:04.009 A to z kolei równa się. 00:10:04.009 --> 00:10:05.078 Rozumiecie, nie trzeba tego robić 00:10:05.078 --> 00:10:07.096 na papierze. 00:10:07.096 --> 00:10:08.097 Pod warunkiem, że umiecie to zrobić w myślach. 00:10:08.097 --> 00:10:09.052 Ile to jest? 00:10:09.052 --> 00:10:11.077 2 razy 2 równa się 4. 00:10:11.077 --> 00:10:14.020 4 razy 9 równa się 36. 00:10:14.020 --> 00:10:18.002 A więc to jest pierwiastek kwadratowy z 36 razy pierwiastek kwadratowy z 3. 00:10:18.002 --> 00:10:20.061 Pierwiastek kwadratowy z 36 równa się 6. 00:10:20.061 --> 00:10:25.037 Uprościliśmy odpowiedź do 6 pierwiastków kwadratowych z 3. 00:10:25.037 --> 00:10:28.073 Tyle wynosi długość B, można ją zapisać jako pierwiastek kwadratowy, 00:10:28.073 --> 00:10:34.003 ze 108, można też zapisać jako 6 razy 00:10:34.003 --> 00:10:35.003 pierwiastek kwadratowy z 3. 00:10:35.003 --> 00:10:37.014 To jest 12, to jest 6. 00:10:37.014 --> 00:10:40.058 A pierwiastek kwadratowy z 3, to będzie 1 00:10:40.058 --> 00:10:41.060 przecinek coś tam. 00:10:41.060 --> 00:10:45.036 Czyli to będzie nieco więcej niż 6.