1 00:00:00,053 --> 00:00:03,022 W tym video zapoznamy się z twierdzeniem Pitagorasa. 2 00:00:03,022 --> 00:00:14,018 Jest ono zabawne samo w sobie, 3 00:00:14,018 --> 00:00:16,092 ale zagłębiając się coraz bardziej w matematykę, zobaczycie, że 4 00:00:16,092 --> 00:00:21,057 jest to jej fundamentalne twierdzenie. 5 00:00:21,057 --> 00:00:24,092 Przydatne w geometrii, jest podstawą 6 00:00:24,092 --> 00:00:26,075 trygonometrii. 7 00:00:26,075 --> 00:00:29,019 Będziemy go używać także do obliczania odległości 8 00:00:29,019 --> 00:00:30,051 pomiędzy punktami. 9 00:00:30,051 --> 00:00:33,081 To jest taka rzecz, którą trzeba naprawdę dobrze umieć. 10 00:00:33,081 --> 00:00:35,057 Skończmy już to gadanie. 11 00:00:35,057 --> 00:00:38,032 Powiem Wam teraz co to jest twierdzenie Pitagorasa. 12 00:00:38,032 --> 00:00:43,028 Jeśli mamy trójkąt, to musi być trójkąt prostokątny, 13 00:00:43,028 --> 00:00:49,010 to znaczy że jeden z jego trzech kątów 14 00:00:49,010 --> 00:00:51,052 musi mieć 90 stopni. 15 00:00:51,052 --> 00:00:54,057 Oznaczymy ten kąt 90 stopni rysując tu 16 00:00:54,057 --> 00:00:55,092 taki mały kwadrat. 17 00:00:55,092 --> 00:00:58,082 Ten kąt ma -- zaznaczę to innym 18 00:00:58,082 --> 00:01:05,054 kolorem-- 90 stopni. 19 00:01:05,054 --> 00:01:09,093 Taki kąt można nazwać także kątem prostym. 20 00:01:09,093 --> 00:01:13,039 A trójkąt, który ma kąt prosty 21 00:01:13,039 --> 00:01:15,084 nazywa się trójkątem prostokątnym. 22 00:01:15,084 --> 00:01:21,070 Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym. 23 00:01:21,070 --> 00:01:25,043 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zawsze kiedy znamy dwa boki 24 00:01:25,043 --> 00:01:28,098 trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć 25 00:01:28,098 --> 00:01:30,092 trzeci bok. 26 00:01:30,092 --> 00:01:34,031 Zanim pokaże Wam jak to się robi, wprowadźmy 27 00:01:34,031 --> 00:01:36,056 jeszcze jeden termin. 28 00:01:36,056 --> 00:01:43,023 Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego leży po przeciwnej stronie 29 00:01:43,023 --> 00:01:46,068 kąta, który ma 90 stopni -- czyli kąta prostego. 30 00:01:46,068 --> 00:01:49,065 W naszym przykładzie to będzie ten bok trójkąta. 31 00:01:49,065 --> 00:01:51,028 Ten bok jest najdłuższy. 32 00:01:51,028 --> 00:01:55,001 Można też znaleźć kąt prosty w ten sposób, że to ten kąt 33 00:01:55,001 --> 00:01:58,006 który "otwiera się" na ten najdłuższy bok. 34 00:01:58,006 --> 00:02:00,015 Ten najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątna. 35 00:02:03,130 --> 00:02:05,330 Tą nazwę trzeba koniecznie znać, bo w ten sposób będziemy go zawsze nazywać. 36 00:02:12,056 --> 00:02:17,009 Narysuję teraz taki trójkąt. 37 00:02:17,009 --> 00:02:19,038 Może trochę ładniejszy... 38 00:02:19,038 --> 00:02:22,012 Teraz wygląda tak. 39 00:02:22,012 --> 00:02:24,000 I ten kąt, tutaj 40 00:02:24,000 --> 00:02:25,038 ma 90 stopni. 41 00:02:25,038 --> 00:02:29,086 W takim razie, to jest przeciwprostokątna, ponieważ 42 00:02:29,086 --> 00:02:33,040 leży po przeciwnej stronie kąta 90 stopni. 43 00:02:33,040 --> 00:02:34,087 I to jest najdłuższy bok. 44 00:02:34,087 --> 00:02:36,066 Narysuję jeszcze jeden, tak byśmy mogli przećwiczyć 45 00:02:36,066 --> 00:02:39,041 znajdowanie przeciwprostokątnej. 46 00:02:39,041 --> 00:02:44,005 To będzie mój nowy trójkąt, i ten kąt 47 00:02:44,005 --> 00:02:45,078 wynosi 90 stopni. 48 00:02:45,078 --> 00:02:47,071 Myślę, że wiecie już gdzie jest przeciwprostokątna. 49 00:02:47,071 --> 00:02:49,062 Na przeciwko kąta prostego. 50 00:02:49,062 --> 00:02:51,053 To jest przeciwprostokątna. 51 00:02:51,053 --> 00:02:53,019 Najdłuższy bok trójkąta. 52 00:02:57,940 --> 00:03:00,400 Wiemy już, gdzie jest przeciwprostokątna -- i powiedzmy, że 53 00:03:00,040 --> 00:03:02,005 jej długość wynosi C. 54 00:03:02,005 --> 00:03:03,097 I teraz powiem Wam do czego 55 00:03:03,097 --> 00:03:05,021 służy twierdzenie Pitagorasa. 56 00:03:05,021 --> 00:03:08,068 Niech C będzie równe długości przeciwprostokątnej. 57 00:03:08,068 --> 00:03:11,062 Nazwijmy to C-- ten bok równa się C. 58 00:03:11,062 --> 00:03:17,090 A ten bok niech będzie równy A. 59 00:03:17,090 --> 00:03:21,088 A ten niech będzie równy B. 60 00:03:21,088 --> 00:03:28,062 Twierdzenie Pitagorasa mówi że A do kwadratu-- długość 61 00:03:28,062 --> 00:03:32,087 jednego z krótszych boków podniesiona do kwadratu-- dodać 62 00:03:32,087 --> 00:03:36,088 B do kwadratu-- długość drugiego z krótszych boków do kwadratu 63 00:03:36,088 --> 00:03:41,037 równa się C do kwadratu - długości przeciwprostokątnej do kwadratu. 64 00:03:41,037 --> 00:03:43,074 Zróbmy teraz przykład i zobaczycie 65 00:03:43,074 --> 00:03:45,081 że to wcale nie jest trudne. 66 00:03:45,081 --> 00:03:49,081 Niech to będzie nasz trójkąt. 67 00:03:49,081 --> 00:03:51,005 Narysuje go teraz. 68 00:03:51,005 --> 00:03:54,021 Niech to będzie mój trójkąt. 69 00:03:54,021 --> 00:03:57,015 Wygląda mniej więcej tak. 70 00:03:57,015 --> 00:04:00,056 I to będzie kąt prosty. 71 00:04:00,056 --> 00:04:02,093 Przypuśćmy, że długość tego boku-- narysuję to w różnych 72 00:04:02,093 --> 00:04:06,083 kolorach-- długość tego boku równa się 3, a długość tego 73 00:04:06,083 --> 00:04:09,016 boku tutaj wynosi 4. 74 00:04:09,016 --> 00:04:14,049 Problem polega na tym, żeby wyznaczyć długość trzeciego boku. 75 00:04:14,049 --> 00:04:17,012 Pierwszą rzeczą, którą koniecznie trzeba ustalić zanim zastosujemy 76 00:04:17,012 --> 00:04:19,066 twierdzenie Pitagorasa, to upewnić się że wiemy, gdzie 77 00:04:19,066 --> 00:04:20,070 jest przeciwprostokątna. 78 00:04:20,070 --> 00:04:23,035 To znaczy, że wiemy, który bok trójkąta chcemy wyznaczyć. 79 00:04:23,035 --> 00:04:26,012 W tym przykładzie szukamy przeciwprostokątnej. 80 00:04:26,012 --> 00:04:30,043 Wynika to stąd, że ten bok trójkąta leży 81 00:04:30,043 --> 00:04:33,031 po przeciwnej stronie kąta prostego. 82 00:04:33,031 --> 00:04:36,054 Spójrzcie na twierdzenie Pitagorasa, to jest właśnie C. 83 00:04:36,054 --> 00:04:38,016 Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. 84 00:04:38,016 --> 00:04:41,092 Jesteśmy gotowi, żeby zastosować twierdzenie Pitagorasa. 85 00:04:41,092 --> 00:04:48,006 Twierdzenie mówi, że 4 do kwadratu-- kwadrat jednego z krótszych boków-- plus 86 00:04:48,006 --> 00:04:53,025 3 do kwadratu-- kwadrat drugiego z krótszych boków-- 87 00:04:53,025 --> 00:04:56,007 równa się kwadratowi długości najdłuższego boku, 88 00:04:56,007 --> 00:05:00,058 kwadratowi przeciwprostokątnej-- czyli równa się C kwadrat. 89 00:05:00,058 --> 00:05:02,031 I stąd można wyznaczyć C. 90 00:05:02,031 --> 00:05:06,037 4 kwadrat to to samo co 4 razy 4. 91 00:05:06,037 --> 00:05:08,045 Równa się 16. 92 00:05:08,045 --> 00:05:11,091 3 do kwadratu to to samo co 3 razy 3. 93 00:05:11,091 --> 00:05:13,081 Równa się 9. 94 00:05:13,081 --> 00:05:18,057 I to jest równe C kwadrat. 95 00:05:18,057 --> 00:05:20,061 Ile to jest 16 plus 9? 96 00:05:20,061 --> 00:05:22,048 16 + 9 = 25. 97 00:05:22,048 --> 00:05:25,019 Czyli C kwadrat równa się 25. 98 00:05:25,019 --> 00:05:29,001 Teraz możemy wziąć pierwiastek kwadratowy z obu stron. 99 00:05:29,001 --> 00:05:30,095 Pierwiastek z 25 może być także 100 00:05:30,095 --> 00:05:33,016 równy -5. 101 00:05:33,016 --> 00:05:34,087 Ale ponieważ interesuje nas długość boku trójkąta 102 00:05:34,087 --> 00:05:37,005 bierzemy dodatni pierwiastek. 103 00:05:37,005 --> 00:05:41,017 Biorąc dodatnią wartość pierwiastka 104 00:05:41,017 --> 00:05:44,027 otrzymujemy, że C = 5. 105 00:05:44,027 --> 00:05:50,025 Czyli najdłuższy bok tego trójkąta równa się 5. 106 00:05:50,025 --> 00:05:52,063 Zawsze możecie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, jeśli znacie 107 00:05:52,063 --> 00:05:54,062 dwa boki trójkąta prostokątnego, żeby obliczyć trzeci bok, niezależnie 108 00:05:54,062 --> 00:05:55,068 który to będzie ten trzeci bok. 109 00:05:55,068 --> 00:05:59,030 Zrobimy jeszcze jeden przykład. 110 00:05:59,030 --> 00:06:10,067 Powiedzmy, że mamy taki trójkąt. 111 00:06:10,067 --> 00:06:12,061 I tu jest kąt prosty. 112 00:06:12,061 --> 00:06:17,081 Powiedzmy, że długość tego boku wynosi 12, a długość 113 00:06:17,081 --> 00:06:21,007 tego boku tutaj niech równa się 6. 114 00:06:21,007 --> 00:06:27,020 I chcemy obliczyć długość tego boku. 115 00:06:27,020 --> 00:06:29,087 Jak już powiedziałem, pierwszą rzeczą, jaką trzeba zrobić 116 00:06:29,087 --> 00:06:31,035 to odnaleźć przeciwprostokątną. 117 00:06:31,035 --> 00:06:34,012 Czyli ten bok trójkąta, który leży po przeciwnej stronie kąta prostego. 118 00:06:34,012 --> 00:06:35,055 Kąt prosty jest tutaj. 119 00:06:35,055 --> 00:06:37,064 A my patrzymy na przeciwną stronę, przeciwną do kąta prostego. 120 00:06:37,064 --> 00:06:41,045 Najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna jest będzie tutaj. 121 00:06:41,045 --> 00:06:46,010 Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa, które mówi że A 122 00:06:46,010 --> 00:06:50,081 kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat-- 12 123 00:06:50,081 --> 00:06:52,022 to będzie C. 124 00:06:52,022 --> 00:06:54,074 Bo to jest przeciwprostokątna. 125 00:06:54,074 --> 00:06:56,067 C kwadrat równa się kwadratowi przeciwprostokątnej. 126 00:06:56,067 --> 00:06:59,002 A więc 12 równa się C. 127 00:06:59,002 --> 00:07:00,087 A te dwa boki, nieważne 128 00:07:00,087 --> 00:07:02,057 który z nich nazwiemy A, a który B. 129 00:07:02,057 --> 00:07:04,097 Nazwijmy ten bok tutaj A. 130 00:07:04,097 --> 00:07:06,099 A równa się 6. 131 00:07:06,099 --> 00:07:11,077 I niech B-- ten bok, który pokolorowałem, będzie B-- równa się 132 00:07:11,077 --> 00:07:12,063 znakowi zapytania. 133 00:07:12,063 --> 00:07:15,006 Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa. 134 00:07:15,006 --> 00:07:25,093 A kwadrat, czyli 6 do kwadratu, plus niewiadoma B kwadrat 135 00:07:25,093 --> 00:07:28,032 równa się kwadratowi przeciwprostokątnej -- równa się 136 00:07:28,032 --> 00:07:29,075 C kwadrat. 137 00:07:29,075 --> 00:07:33,025 Równa się 12 do kwadratu. 138 00:07:33,025 --> 00:07:35,025 To równanie możemy rozwiązać i znaleźć B. 139 00:07:35,025 --> 00:07:36,037 Zauważcie różnicę. 140 00:07:36,037 --> 00:07:38,011 Tym razem nie interesuje nas przeciwprostokątna. 141 00:07:38,011 --> 00:07:40,020 Chcemy wyznaczyć jeden z dwóch krótszych boków. 142 00:07:40,020 --> 00:07:42,079 W poprzednim przykładzie szukaliśmy przeciwprostokątnej. 143 00:07:42,079 --> 00:07:43,079 Szukaliśmy C. 144 00:07:43,079 --> 00:07:46,056 Dlatego jest takie ważne żeby rozumieć że to A 145 00:07:46,056 --> 00:07:49,018 kwadrat plus B kwadrat równa się C kwadrat, C gdzie jest długością 146 00:07:49,018 --> 00:07:49,067 przeciwprostokątnej. 147 00:07:49,067 --> 00:07:51,085 Rozwiążmy teraz to równanie i znajdźmy B. 148 00:07:51,085 --> 00:07:59,027 Mamy 6 do kwadratu, czyli 36, plus B do kwadratu, równa 149 00:07:59,027 --> 00:08:04,069 się 12 do kwadratu-- to jest tyle samo co 12 razy 12-- równa się 144. 150 00:08:04,069 --> 00:08:08,055 Możemy odjąć 36 od obu stron tego równania. 151 00:08:08,055 --> 00:08:11,042 To się upraszcza. 152 00:08:13,026 --> 00:08:17,050 Po lewej stronie zostaje tylko B do kwadratu 153 00:08:17,050 --> 00:08:23,041 i to się równa-- ile to jest 144 minus 36? 154 00:08:30,007 --> 00:08:33,090 144 - 36 = 108. 155 00:08:33,090 --> 00:08:36,062 Tyle wynosi B do kwadratu, i teraz weźmiemy 156 00:08:36,062 --> 00:08:40,060 pierwiastek kwadratowy, dodatni pierwiastek, z obu stron. 157 00:08:40,060 --> 00:08:44,042 Otrzymamy, że B równa się pierwiastkowi kwadratowemu 158 00:08:44,042 --> 00:08:48,064 ze 108. 159 00:08:48,064 --> 00:08:50,054 Zastanówmy się, czy można to jeszcze trochę uprościć. 160 00:08:50,054 --> 00:08:53,054 Pierwiastek kwadratowy ze 108. 161 00:08:53,054 --> 00:08:54,092 Możemy rozłożyć 108 na 162 00:08:54,092 --> 00:08:56,066 czynniki pierwsze i sprawdzić 163 00:08:56,066 --> 00:08:58,040 czy można ten pierwiastek uprościć. 164 00:08:58,040 --> 00:09:07,059 108 równa się 2 razy 54, a to się równa 165 00:09:07,059 --> 00:09:15,057 2 razy 27, które równa się 3 razy 9. 166 00:09:15,057 --> 00:09:19,077 Czyli pierwiastek kwadratowy ze 108 równa się 167 00:09:19,077 --> 00:09:24,054 pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 razy-- w zasadzie, 168 00:09:24,054 --> 00:09:25,051 jeszcze nie skończyłem, 169 00:09:25,051 --> 00:09:28,075 9 można zapisać jako 3 razy 3. 170 00:09:28,075 --> 00:09:34,016 Czyli to będzie 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 3. 171 00:09:34,016 --> 00:09:36,082 I mamy tu kilka kwadratów. 172 00:09:36,082 --> 00:09:38,067 Zapiszę to ładniej. 173 00:09:38,067 --> 00:09:41,015 To nic innego jak upraszczanie pierwiastków, 174 00:09:41,015 --> 00:09:44,020 to będzie chleb powszedni, jeśli korzystacie z twierdzenia Pitagorasa, 175 00:09:44,020 --> 00:09:46,046 więc nie zaszkodzi, jeśli zrobimy to teraz. 176 00:09:46,046 --> 00:09:55,082 Czyli to jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 2 razy 2 177 00:09:55,082 --> 00:10:00,078 razy 3 razy 3 razy pierwiastek kwadratowy 178 00:10:00,078 --> 00:10:02,050 z tej ostatniej 3. 179 00:10:02,050 --> 00:10:04,009 A to z kolei równa się. 180 00:10:04,009 --> 00:10:05,078 Rozumiecie, nie trzeba tego robić 181 00:10:05,078 --> 00:10:07,096 na papierze. 182 00:10:07,096 --> 00:10:08,097 Pod warunkiem, że umiecie to zrobić w myślach. 183 00:10:08,097 --> 00:10:09,052 Ile to jest? 184 00:10:09,052 --> 00:10:11,077 2 razy 2 równa się 4. 185 00:10:11,077 --> 00:10:14,020 4 razy 9 równa się 36. 186 00:10:14,020 --> 00:10:18,002 A więc to jest pierwiastek kwadratowy z 36 razy pierwiastek kwadratowy z 3. 187 00:10:18,002 --> 00:10:20,061 Pierwiastek kwadratowy z 36 równa się 6. 188 00:10:20,061 --> 00:10:25,037 Uprościliśmy odpowiedź do 6 pierwiastków kwadratowych z 3. 189 00:10:25,037 --> 00:10:28,073 Tyle wynosi długość B, można ją zapisać jako pierwiastek kwadratowy, 190 00:10:28,073 --> 00:10:34,003 ze 108, można też zapisać jako 6 razy 191 00:10:34,003 --> 00:10:35,003 pierwiastek kwadratowy z 3. 192 00:10:35,003 --> 00:10:37,014 To jest 12, to jest 6. 193 00:10:37,014 --> 00:10:40,058 A pierwiastek kwadratowy z 3, to będzie 1 194 00:10:40,058 --> 00:10:41,060 przecinek coś tam. 195 00:10:41,060 --> 00:10:45,036 Czyli to będzie nieco więcej niż 6.