-
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy
-
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy
-
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy
-
pole trójkąta (używające tylko jego boków)
-
jest równoważne wzorowi Herona.
-
Teraz będę chciał wam to udowodnić
-
poprzez wykonanie pewnej liczby
-
przekształceń algebraicznych.
-
Pierwszą rzeczą jaką zrobimy będzie
-
wciągnięcie 1/2 c pod pierwiastek.
-
Wiemy, że 1/2 c to to samo co pierwiastek z
-
c kwadrat dzielonego przez 4.
-
Jeżeli spierwiastkujemy to wyrażenie to otrzymamy 1/2 c.
-
To całe wyrażenie jest równe -- zamiast rysować pierwiastek
-
po prostu napiszę sqrt (przypis: ang. "pierwiastek"),
-
z c kwadrat dzielonego przez 4.
-
To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu.
-
To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu.
-
Wkleję to tutaj.
-
Razy to wszystko.
-
Oczywiście trzeba pamiętać o nawiasach, aby zachować właściwą kolejność wykonywania działań.
-
Ostatecznie mamy c kwadrat dzielone przez 4 razy to wszystko.
-
Na reszcie mamy całe wyrażenie,
-
które powinno się znaleźć pod pierwiastkiem.
-
Pozwólcie, że pomnożę to przez c kwadrat przez 4.
-
To będzie równe pierwiastkowi ...
-
To będzie trochę skomplikowane,
-
ale myślę, że warto abyście zobaczyli jak takie coś
-
zmienia się we wzór Herona.
-
Pierwiastek z c kwadrat dzielonego przez 4 razy a kwadrat to
-
c kwadrat a kwadrat przez 4 minus c kwadrat przez 4 ...
-
Wymnożę to.
-
Zapiszę to jako kwadrat licznika dzielony
-
przez kwadrat mianownika.
-
Razy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat,
-
wszystko do kwadratu.
-
Przez -- kwadratem mianownika jest 4c kwadrat.
-
Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz
-
Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz
-
to drugie się uproszczą.
-
Na końcu musimy zamknąć nawiasy.
-
Oczywiście 4 razy 4 będzie równe --
-
pozwólcie, że to tak zapiszę,
-
da nam w rezultacie 4 kwadrat.
-
Potem zobaczycie dlaczego nie napisałem
-
po prostu 16.
-
Teraz to mogę przepisać w trochę inny sposób.
-
To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor,
-
To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor,
-
z ca dzielonego przez 2 do kwadratu.
-
To jest to samo co to.
-
To jest to samo co to.
-
Prawda?
-
Po prostu napisałem wszystko pod wspólnym kwadratem.
-
Jeżeli podniosę to do kwadratu to otrzymam c kwadrat
-
razy a kwadrat dzielone przez 4 minus -- znowu zapiszę
-
całe wyrażenie pod wspólnym kwadratem.
-
To będzie c kwadrat plus a kwadrat minus
-
b kwadrat dzielone przez 4.
-
Podnosimy do kwadratu zarówno mianownik jak i licznik.
-
Teraz to może zacząć już coś wam przypominać.
-
Teraz to może zacząć już coś wam przypominać.
-
Wyróżnię nawiasy innym kolorem.
-
Powinniście pamiętać ze wzorów skróconego mnożenia,
-
że jeśli mamy coś podobnego do x kwadrat minus y kwadrat,
-
to rozkłada się to na iloczyn x minus y oraz x plus y.
-
W tym filmie użyjemy tego kilkukrotnie.
-
Jeżeli przyjmiemy, że ca dzielone przez 2 to x to wtedy to całe wyrażenie
-
nazwiemy y otrzymując x kwadrat minus y kwadrat.
-
Czyli możemy rozłożyć to na czynniki.
-
To całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z
-
x plus y, w tym wypadku ca dzielone przez 2 plus y,
-
co jest równe c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.
-
Razy x minus y.
-
To jest nasz x.
-
ca przez 2 minus to wszystko.
-
Albo dla wygody napiszmy tutaj plus,
-
minus uwzględnimy później.
-
Czyli plus minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.
-
Wszystko dzielone przez 4.
-
Ja tutaj tylko zauważyłem, że to jest to samo co to
-
plus to, to plus to, razy to minus to, to minus
-
-- po prostu dodajemy ujemną liczbę.
-
Czyli minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.
-
Ja tylko wykorzystałem ten wzór.
-
Teraz się zastanówmy, czy jesteśmy w stanie uprościć bardziej to wyrażenie.
-
Na przykład spróbujmy dodać te ułamki.
-
Prosto zgadnąć co będzie wspólnym mianownikiem.
-
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4.
-
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4,
-
tylko po pomnożeniu licznika i mianownika przez 2.
-
Teraz wystarczy dodać liczniki.
-
Nasze całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z
-
tego pierwszego wyrażenia, które --
-
napiszę to w ten sposób:
-
zamienię kolejność: c kwadrat plus 2ca plus a kwadrat minus
-
b kwadrat, wszystko dzielone przez 4.
-
To jest pierwszy czynnik.
-
Drugi czynnik będzie wyglądać tak:
-
wszystko będzie dzielone przez 4, dlatego zacznę
-
od napisania kreski ułamkowej.
-
Przez 4.
-
Przez 4.
-
Teraz możemy to zapisać jako b kwadrat minus c kwadrat
-
minus 2ca plus a kwadrat.
-
Dla pewności jeszcze raz to prześledzę: mam minus a kwadrat.
-
Plus razy minus, nadal mamy minus a kwadrat.
-
Tutaj mamy plus 2ca.
-
Minus razy minus to da plus 2ca.
-
Mamy tutaj minus c kwadrat.
-
Oraz minus c kwadrat tutaj.
-
Czyli te dwa wyrażenia są równe.
-
Następnym elementem, który możemy zmodyfikować (taką mamy nadzieję)
-
jest to wyrażenie tutaj -- to może się okazać trochę mylne,
-
to jest to samo co c plus a kwadrat.
-
Pozwólcie, że to napiszę.
-
To jest równe pierwiastkowi, otwieram nawias,
-
z c plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.
-
To jest pierwszy czynnik.
-
Teraz czas na drugi czynnik.
-
To jest to samo co c minus a kwadrat.
-
Całość się uprości do b kwadrat
-
minus c minus a kwadrat dzielonego przez 4.
-
Robimy postęp.
-
Jak wam mówiłem to jest dość skomplikowane zadanie.
-
Ale dzięki sprytnie zastosowanym wzorom skróconego mnożenia
-
jesteśmy w stanie znacznie uprościć to nieprzyjemnie
-
wyglądające, skomplikowane wyrażenie.
-
Możemy wykorzystać ten sam sposób
-
(tworząc niejako schemat postępowania),
-
czyli wzór na różnicę kwadratów.
-
Możemy to znowu rozłożyć na czynniki.
-
Zrobię to w tej samej linii.
-
To będzie równe -- napiszę to małymi literami,
-
aby na pewno starczyło nam miejsca
-
-- pierwiastkowi.
-
To się rozłoży na to plus to.
-
Więc c plus a plus b razy c plus a minus b.
-
Prawda?
-
To jest dokładnie to samo co zrobiłem wcześniej tutaj.
-
To jest x kwadrat, a to y kwadrat.
-
Razy c plus a minus b wszystko dzielone przez 4.
-
A potem to.
-
To będzie b plus c minus a.
-
Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy.
-
Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy.
-
Razy b plus c minus a -- to jest x plus y -- razy
-
b minus c minus a.
-
To jest to samo co b minus c plus a.
-
To jest to samo co b minus c minus a.
-
Prawda?
-
Dobrze.
-
To wszystko dzielone przez 4.
-
Teraz mogę przepisać całe to wyrażenie.
-
Nie chcę, aby skończyło mi się wolne miejsce.
-
Zacznę przepisywać równanie --
-
4 to jest iloczyn 2 i 2.
-
Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do
-
Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do
-
pierwiastka -- już naprawdę zbliżamy się do końca,
-
z tego wyrażenia, które mogę zapisać jako
-
a plus b plus c dzielone przez 2.
-
To jest to wyrażenie tutaj.
-
Razy to wyrażenie.
-
Razy to wyrażenie.
-
Uprośćmy to trochę c plus a minus b
-
to jest to samo co a plus b plus c minus 2c.
-
Te dwie rzeczy są równoważne.
-
Prawda?
-
Mamy a oraz c, a b minus 2b to
-
po prostu minus b.
-
Prawda? b minus 2b to minus b.
-
Wyrażenie w drugim nawiasie będzie wyglądać tak:
-
a plus b plus c minus 2b, dzielone przez 2.
-
Lepiej będzie jak to zapiszemy jako to dzielone przez 2
-
minus to dzielone przez 2.
-
Nasze następne wyrażenie znajduje się tutaj.
-
Musimy zastosować tą samą sztuczkę.
-
To jest to samo co a plus b plus minus 2a,
-
wszystko dzielone przez 2.
-
Prawda?
-
Jeżeli dodamy minus 2a do a to otrzymamy minus a.
-
Czyli to jest równe b plus c minus a.
-
Te wyrażenia są równe.
-
Wszystko dzielone przez 2, ale możemy to rozbić
-
na dwa ułamki tak jak wcześniej.
-
Zostało już nam ostatnie wyrażenie.
-
Tymczasem to co mamy robi się coraz bardziej
-
podobne do zasady Herona.
-
Oczywiście miałem na myśli wzór, a nie zasadę Herona.
-
To wyrażenie tutaj to po prostu to samo co
-
a plus b plus c minus 2c.
-
Prawda?
-
Jeżeli zabierzemy 2c z c to otrzymamy minus c,
-
a a oraz b już mamy.
-
Teraz pozostało wszystko podzielić przez 2.
-
Oczywiście można to zapisać jako różnicę ułamków.
-
Na końcu trzeba pamiętać, że to całe wyrażenie
-
należy umieścić pod pierwiastkiem.
-
Jeżeli zdefiniujemy S jako a plus b plus c dzielone przez 2,
-
to po podstawieniu nasze wyrażenie znacznie się uprości.
-
To jest równe S.
-
To też jest równe S.
-
Tak samo to jest równe S.
-
I jeszcze to jest równe S.
-
To wszystko upraszcza.
-
Minus 2b przez 2 to to samo co minus b.
-
Minus 2a przez 2 to to samo co minus a.
-
Minus 2c przez 2 to to samo co minus c.
-
Całe wyrażenie stanowiące nasze pole jest teraz równe
-
-- przepiszę kwadrat.
-
Nasze pole jest równe pierwiastkowi z S
-
-- to jest to wyrażenie tutaj.
-
Użyję tych samych kolorów.
-
razy S minus b razy S, razy S minus a, razy
-
-- to już będzie ostatnie, S - c.
-
Ostatecznie dochodzimy do wniosku,
-
że to co otrzymaliśmy w poprzednim filmie
-
oraz wzór Herona to jest to samo.
-
Całkiem zgrabny dowód.
-
A potrzebowaliśmy do niego
-
tylko nieco algebry.
