1
00:00:00,000 --> 00:00:00,640
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy

2
00:00:00,640 --> 00:00:00,850
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy

3
00:00:00,850 --> 00:00:04,750
W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy

4
00:00:04,750 --> 00:00:09,770
pole trójkąta (używające tylko jego boków)

5
00:00:09,770 --> 00:00:11,810
jest równoważne wzorowi Herona.

6
00:00:11,810 --> 00:00:14,150
Teraz będę chciał wam to udowodnić

7
00:00:14,150 --> 00:00:16,780
poprzez wykonanie pewnej liczby

8
00:00:16,780 --> 00:00:18,990
przekształceń algebraicznych.

9
00:00:18,990 --> 00:00:21,590
Pierwszą rzeczą jaką zrobimy będzie

10
00:00:21,590 --> 00:00:23,590
wciągnięcie 1/2 c pod pierwiastek.

11
00:00:23,590 --> 00:00:28,170
Wiemy, że 1/2 c to to samo co pierwiastek z

12
00:00:28,170 --> 00:00:30,480
c kwadrat dzielonego przez 4.

13
00:00:30,480 --> 00:00:32,910
Jeżeli spierwiastkujemy to wyrażenie to otrzymamy 1/2 c.

14
00:00:32,910 --> 00:00:36,270
To całe wyrażenie jest równe -- zamiast rysować pierwiastek

15
00:00:36,270 --> 00:00:41,450
po prostu napiszę sqrt (przypis: ang. "pierwiastek"),

16
00:00:41,450 --> 00:00:48,200
z c kwadrat dzielonego przez 4.

17
00:00:48,200 --> 00:00:49,530
To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu.

18
00:00:49,530 --> 00:00:53,040
To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu.

19
00:00:53,040 --> 00:00:55,610
Wkleję to tutaj.

20
00:00:55,610 --> 00:00:57,160
Razy to wszystko.

21
00:00:57,160 --> 00:01:01,160
Oczywiście trzeba pamiętać o nawiasach, aby zachować właściwą kolejność wykonywania działań.

22
00:01:01,160 --> 00:01:03,960
Ostatecznie mamy c kwadrat dzielone przez 4 razy to wszystko.

23
00:01:03,960 --> 00:01:06,390
Na reszcie mamy całe wyrażenie,

24
00:01:06,390 --> 00:01:08,990
które powinno się znaleźć pod pierwiastkiem.

25
00:01:08,990 --> 00:01:11,460
Pozwólcie, że pomnożę to przez c kwadrat przez 4.

26
00:01:11,460 --> 00:01:13,960
To będzie równe pierwiastkowi ...

27
00:01:13,960 --> 00:01:15,940
To będzie trochę skomplikowane,

28
00:01:15,940 --> 00:01:18,620
ale myślę, że warto abyście zobaczyli jak takie coś

29
00:01:18,620 --> 00:01:20,470
zmienia się we wzór Herona.

30
00:01:20,470 --> 00:01:24,660
Pierwiastek z c kwadrat dzielonego przez 4 razy a kwadrat to

31
00:01:24,660 --> 00:01:32,560
c kwadrat a kwadrat przez 4 minus c kwadrat przez 4 ...

32
00:01:32,560 --> 00:01:35,270
Wymnożę to.

33
00:01:35,270 --> 00:01:37,600
Zapiszę to jako kwadrat licznika dzielony

34
00:01:37,600 --> 00:01:39,060
przez kwadrat mianownika.

35
00:01:39,060 --> 00:01:44,090
Razy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat,

36
00:01:44,090 --> 00:01:45,950
wszystko do kwadratu.

37
00:01:45,950 --> 00:01:49,815
Przez -- kwadratem mianownika jest 4c kwadrat.

38
00:01:49,815 --> 00:01:52,790
Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz

39
00:01:52,790 --> 00:01:54,840
Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz

40
00:01:54,840 --> 00:01:55,600
to drugie się uproszczą.

41
00:01:55,600 --> 00:02:00,260
Na końcu musimy zamknąć nawiasy.

42
00:02:00,260 --> 00:02:02,530
Oczywiście 4 razy 4 będzie równe --

43
00:02:02,530 --> 00:02:04,520
pozwólcie, że to tak zapiszę,

44
00:02:04,520 --> 00:02:06,490
da nam w rezultacie 4 kwadrat.

45
00:02:06,490 --> 00:02:08,850
Potem zobaczycie dlaczego nie napisałem

46
00:02:08,850 --> 00:02:09,890
po prostu 16.

47
00:02:09,890 --> 00:02:11,880
Teraz to mogę przepisać w trochę inny sposób.

48
00:02:11,880 --> 00:02:15,040
To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor,

49
00:02:15,040 --> 00:02:17,340
To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor,

50
00:02:17,340 --> 00:02:21,460
z ca dzielonego przez 2 do kwadratu.

51
00:02:21,460 --> 00:02:24,390
To jest to samo co to.

52
00:02:24,390 --> 00:02:25,780
To jest to samo co to.

53
00:02:25,780 --> 00:02:25,990
Prawda?

54
00:02:25,990 --> 00:02:28,150
Po prostu napisałem wszystko pod wspólnym kwadratem.

55
00:02:28,150 --> 00:02:30,360
Jeżeli podniosę to do kwadratu to otrzymam c kwadrat

56
00:02:30,360 --> 00:02:34,930
razy a kwadrat dzielone przez 4 minus -- znowu zapiszę

57
00:02:34,930 --> 00:02:36,520
całe wyrażenie pod wspólnym kwadratem.

58
00:02:36,520 --> 00:02:40,800
To będzie c kwadrat plus a kwadrat minus

59
00:02:40,800 --> 00:02:45,360
b kwadrat dzielone przez 4.

60
00:02:45,360 --> 00:02:47,810
Podnosimy do kwadratu zarówno mianownik jak i licznik.

61
00:02:47,810 --> 00:02:51,410
Teraz to może zacząć już coś wam przypominać.

62
00:02:51,410 --> 00:02:53,740
Teraz to może zacząć już coś wam przypominać.

63
00:02:53,740 --> 00:02:56,120
Wyróżnię nawiasy innym kolorem.

64
00:02:56,120 --> 00:03:00,775
Powinniście pamiętać ze wzorów skróconego mnożenia,

65
00:03:00,775 --> 00:03:03,460
że jeśli mamy coś podobnego do x kwadrat minus y kwadrat,

66
00:03:03,460 --> 00:03:08,520
to rozkłada się to na iloczyn x minus y oraz x plus y.

67
00:03:08,520 --> 00:03:11,000
W tym filmie użyjemy tego kilkukrotnie.

68
00:03:11,000 --> 00:03:15,590
Jeżeli przyjmiemy, że ca dzielone przez 2 to x to wtedy to całe wyrażenie

69
00:03:15,590 --> 00:03:19,110
nazwiemy y otrzymując x kwadrat minus y kwadrat.

70
00:03:19,110 --> 00:03:20,390
Czyli możemy rozłożyć to na czynniki.

71
00:03:20,390 --> 00:03:27,966
To całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z

72
00:03:27,966 --> 00:03:34,740
x plus y, w tym wypadku ca dzielone przez 2 plus y,

73
00:03:34,740 --> 00:03:40,960
co jest równe c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.

74
00:03:40,960 --> 00:03:44,020
Razy x minus y.

75
00:03:44,020 --> 00:03:45,570
To jest nasz x.

76
00:03:45,570 --> 00:03:51,370
ca przez 2 minus to wszystko.

77
00:03:51,370 --> 00:03:53,840
Albo dla wygody napiszmy tutaj plus,

78
00:03:53,840 --> 00:03:54,680
minus uwzględnimy później.

79
00:03:54,680 --> 00:04:01,980
Czyli plus minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.

80
00:04:01,980 --> 00:04:05,140
Wszystko dzielone przez 4.

81
00:04:05,140 --> 00:04:10,180
Ja tutaj tylko zauważyłem, że to jest to samo co to

82
00:04:10,180 --> 00:04:15,120
plus to, to plus to, razy to minus to, to minus

83
00:04:15,120 --> 00:04:18,610
-- po prostu dodajemy ujemną liczbę.

84
00:04:18,610 --> 00:04:21,770
Czyli minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.

85
00:04:21,770 --> 00:04:24,470
Ja tylko wykorzystałem ten wzór.

86
00:04:24,470 --> 00:04:26,610
Teraz się zastanówmy, czy jesteśmy w stanie uprościć bardziej to wyrażenie.

87
00:04:26,610 --> 00:04:28,870
Na przykład spróbujmy dodać te ułamki.

88
00:04:28,870 --> 00:04:30,680
Prosto zgadnąć co będzie wspólnym mianownikiem.

89
00:04:30,680 --> 00:04:35,650
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4.

90
00:04:35,650 --> 00:04:38,910
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4,

91
00:04:38,910 --> 00:04:41,160
tylko po pomnożeniu licznika i mianownika przez 2.

92
00:04:41,160 --> 00:04:44,420
Teraz wystarczy dodać liczniki.

93
00:04:44,420 --> 00:04:49,540
Nasze całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z

94
00:04:49,540 --> 00:04:55,645
tego pierwszego wyrażenia, które --

95
00:04:55,645 --> 00:04:56,460
napiszę to w ten sposób:

96
00:04:56,460 --> 00:05:07,820
zamienię kolejność: c kwadrat plus 2ca plus a kwadrat minus

97
00:05:07,820 --> 00:05:11,820
b kwadrat, wszystko dzielone przez 4.

98
00:05:11,820 --> 00:05:13,900
To jest pierwszy czynnik.

99
00:05:13,900 --> 00:05:18,010
Drugi czynnik będzie wyglądać tak:

100
00:05:18,010 --> 00:05:20,190
wszystko będzie dzielone przez 4, dlatego zacznę

101
00:05:20,190 --> 00:05:21,070
od napisania kreski ułamkowej.

102
00:05:21,070 --> 00:05:21,965
Przez 4.

103
00:05:21,965 --> 00:05:27,280
Przez 4.

104
00:05:27,280 --> 00:05:36,030
Teraz możemy to zapisać jako b kwadrat minus c kwadrat

105
00:05:36,030 --> 00:05:43,490
minus 2ca plus a kwadrat.

106
00:05:43,490 --> 00:05:46,570
Dla pewności jeszcze raz to prześledzę: mam minus a kwadrat.

107
00:05:46,570 --> 00:05:49,320
Plus razy minus, nadal mamy minus a kwadrat.

108
00:05:49,320 --> 00:05:51,420
Tutaj mamy plus 2ca.

109
00:05:51,420 --> 00:05:54,080
Minus razy minus to da plus 2ca.

110
00:05:54,080 --> 00:05:55,580
Mamy tutaj minus c kwadrat.

111
00:05:55,580 --> 00:05:57,170
Oraz minus c kwadrat tutaj.

112
00:05:57,170 --> 00:06:00,530
Czyli te dwa wyrażenia są równe.

113
00:06:00,530 --> 00:06:04,630
Następnym elementem, który możemy zmodyfikować (taką mamy nadzieję)

114
00:06:04,630 --> 00:06:09,940
jest to wyrażenie tutaj -- to może się okazać trochę mylne,

115
00:06:09,940 --> 00:06:13,690
to jest to samo co c plus a kwadrat.

116
00:06:13,690 --> 00:06:14,350
Pozwólcie, że to napiszę.

117
00:06:14,350 --> 00:06:20,860
To jest równe pierwiastkowi, otwieram nawias,

118
00:06:20,860 --> 00:06:29,940
z c plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.

119
00:06:29,940 --> 00:06:31,480
To jest pierwszy czynnik.

120
00:06:31,480 --> 00:06:33,020
Teraz czas na drugi czynnik.

121
00:06:33,020 --> 00:06:35,920
To jest to samo co c minus a kwadrat.

122
00:06:35,920 --> 00:06:39,120
Całość się uprości do b kwadrat

123
00:06:39,120 --> 00:06:47,470
minus c minus a kwadrat dzielonego przez 4.

124
00:06:47,470 --> 00:06:48,910
Robimy postęp.

125
00:06:48,910 --> 00:06:51,830
Jak wam mówiłem to jest dość skomplikowane zadanie.

126
00:06:51,830 --> 00:06:53,950
Ale dzięki sprytnie zastosowanym wzorom skróconego mnożenia

127
00:06:53,950 --> 00:06:57,320
jesteśmy w stanie znacznie uprościć to nieprzyjemnie

128
00:06:57,320 --> 00:07:00,160
wyglądające, skomplikowane wyrażenie.

129
00:07:00,160 --> 00:07:02,090
Możemy wykorzystać ten sam sposób

130
00:07:02,090 --> 00:07:04,770
(tworząc niejako schemat postępowania),

131
00:07:04,770 --> 00:07:07,310
czyli wzór na różnicę kwadratów.

132
00:07:07,310 --> 00:07:08,500
Możemy to znowu rozłożyć na czynniki.

133
00:07:08,500 --> 00:07:09,580
Zrobię to w tej samej linii.

134
00:07:09,580 --> 00:07:12,120
To będzie równe -- napiszę to małymi literami,

135
00:07:12,120 --> 00:07:14,040
aby na pewno starczyło nam miejsca

136
00:07:14,040 --> 00:07:15,310
-- pierwiastkowi.

137
00:07:15,310 --> 00:07:20,000
To się rozłoży na to plus to.

138
00:07:20,000 --> 00:07:29,510
Więc c plus a plus b razy c plus a minus b.

139
00:07:29,510 --> 00:07:29,850
Prawda?

140
00:07:29,850 --> 00:07:32,030
To jest dokładnie to samo co zrobiłem wcześniej tutaj.

141
00:07:32,030 --> 00:07:34,470
To jest x kwadrat, a to y kwadrat.

142
00:07:34,470 --> 00:07:41,760
Razy c plus a minus b wszystko dzielone przez 4.

143
00:07:41,760 --> 00:07:43,260
A potem to.

144
00:07:43,260 --> 00:07:46,250
To będzie b plus c minus a.

145
00:07:46,250 --> 00:07:50,620
Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy.

146
00:07:50,620 --> 00:07:53,180
Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy.

147
00:07:53,180 --> 00:07:59,030
Razy b plus c minus a -- to jest x plus y -- razy

148
00:07:59,030 --> 00:08:02,640
b minus c minus a.

149
00:08:02,640 --> 00:08:09,020
To jest to samo co b minus c plus a.

150
00:08:09,020 --> 00:08:13,110
To jest to samo co b minus c minus a.

151
00:08:13,110 --> 00:08:14,140
Prawda?

152
00:08:14,140 --> 00:08:14,570
Dobrze.

153
00:08:14,570 --> 00:08:20,370
To wszystko dzielone przez 4.

154
00:08:20,370 --> 00:08:23,910
Teraz mogę przepisać całe to wyrażenie.

155
00:08:23,910 --> 00:08:25,580
Nie chcę, aby skończyło mi się wolne miejsce.

156
00:08:25,580 --> 00:08:30,305
Zacznę przepisywać równanie --

157
00:08:30,305 --> 00:08:32,955
4 to jest iloczyn 2 i 2.

158
00:08:32,955 --> 00:08:36,380
Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do

159
00:08:36,380 --> 00:08:40,620
Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do

160
00:08:40,620 --> 00:08:44,780
pierwiastka -- już naprawdę zbliżamy się do końca,

161
00:08:44,780 --> 00:08:50,560
z tego wyrażenia, które mogę zapisać jako

162
00:08:50,560 --> 00:08:55,780
a plus b plus c dzielone przez 2.

163
00:08:55,780 --> 00:08:57,690
To jest to wyrażenie tutaj.

164
00:08:57,690 --> 00:09:00,640
Razy to wyrażenie.

165
00:09:00,640 --> 00:09:02,480
Razy to wyrażenie.

166
00:09:02,480 --> 00:09:05,340
Uprośćmy to trochę c plus a minus b

167
00:09:05,340 --> 00:09:13,200
to jest to samo co a plus b plus c minus 2c.

168
00:09:13,200 --> 00:09:14,490
Te dwie rzeczy są równoważne.

169
00:09:14,490 --> 00:09:14,700
Prawda?

170
00:09:14,700 --> 00:09:19,450
Mamy a oraz c, a b minus 2b to

171
00:09:19,450 --> 00:09:22,510
po prostu minus b.

172
00:09:22,510 --> 00:09:24,750
Prawda? b minus 2b to minus b.

173
00:09:24,750 --> 00:09:29,690
Wyrażenie w drugim nawiasie będzie wyglądać tak:

174
00:09:29,690 --> 00:09:34,330
a plus b plus c minus 2b, dzielone przez 2.

175
00:09:34,330 --> 00:09:36,240
Lepiej będzie jak to zapiszemy jako to dzielone przez 2

176
00:09:36,240 --> 00:09:40,570
minus to dzielone przez 2.

177
00:09:40,570 --> 00:09:43,920
Nasze następne wyrażenie znajduje się tutaj.

178
00:09:43,920 --> 00:09:46,180
Musimy zastosować tą samą sztuczkę.

179
00:09:46,180 --> 00:09:55,360
To jest to samo co a plus b plus minus 2a,

180
00:09:55,360 --> 00:09:56,500
wszystko dzielone przez 2.

181
00:09:56,500 --> 00:09:56,770
Prawda?

182
00:09:56,770 --> 00:09:59,960
Jeżeli dodamy minus 2a do a to otrzymamy minus a.

183
00:09:59,960 --> 00:10:02,040
Czyli to jest równe b plus c minus a.

184
00:10:02,040 --> 00:10:03,820
Te wyrażenia są równe.

185
00:10:03,820 --> 00:10:06,950
Wszystko dzielone przez 2, ale możemy to rozbić

186
00:10:06,950 --> 00:10:09,130
na dwa ułamki tak jak wcześniej.

187
00:10:09,130 --> 00:10:10,680
Zostało już nam ostatnie wyrażenie.

188
00:10:10,680 --> 00:10:13,690
Tymczasem to co mamy robi się coraz bardziej

189
00:10:13,690 --> 00:10:16,500
podobne do zasady Herona.

190
00:10:16,500 --> 00:10:19,570
Oczywiście miałem na myśli wzór, a nie zasadę Herona.

191
00:10:19,570 --> 00:10:23,050
To wyrażenie tutaj to po prostu to samo co

192
00:10:23,050 --> 00:10:27,570
a plus b plus c minus 2c.

193
00:10:27,570 --> 00:10:27,860
Prawda?

194
00:10:27,860 --> 00:10:31,200
Jeżeli zabierzemy 2c z c to otrzymamy minus c,

195
00:10:31,200 --> 00:10:32,650
a a oraz b już mamy.

196
00:10:32,650 --> 00:10:34,540
Teraz pozostało wszystko podzielić przez 2.

197
00:10:34,540 --> 00:10:37,640
Oczywiście można to zapisać jako różnicę ułamków.

198
00:10:37,640 --> 00:10:39,600
Na końcu trzeba pamiętać, że to całe wyrażenie

199
00:10:39,600 --> 00:10:41,540
należy umieścić pod pierwiastkiem.

200
00:10:41,540 --> 00:10:52,230
Jeżeli zdefiniujemy S jako a plus b plus c dzielone przez 2,

201
00:10:52,230 --> 00:10:55,560
to po podstawieniu nasze wyrażenie znacznie się uprości.

202
00:10:55,560 --> 00:10:57,800
To jest równe S.

203
00:10:57,800 --> 00:11:00,130
To też jest równe S.

204
00:11:00,130 --> 00:11:01,705
Tak samo to jest równe S.

205
00:11:01,705 --> 00:11:03,940
I jeszcze to jest równe S.

206
00:11:03,940 --> 00:11:07,720
To wszystko upraszcza.

207
00:11:07,720 --> 00:11:12,030
Minus 2b przez 2 to to samo co minus b.

208
00:11:12,030 --> 00:11:14,880
Minus 2a przez 2 to to samo co minus a.

209
00:11:14,880 --> 00:11:17,100
Minus 2c przez 2 to to samo co minus c.

210
00:11:17,100 --> 00:11:23,590
Całe wyrażenie stanowiące nasze pole jest teraz równe

211
00:11:23,590 --> 00:11:24,620
-- przepiszę kwadrat.

212
00:11:24,620 --> 00:11:30,670
Nasze pole jest równe pierwiastkowi z S

213
00:11:30,670 --> 00:11:33,550
-- to jest to wyrażenie tutaj.

214
00:11:33,550 --> 00:11:34,500
Użyję tych samych kolorów.

215
00:11:34,500 --> 00:11:46,890
razy S minus b razy S, razy S minus a, razy

216
00:11:46,890 --> 00:11:49,555
-- to już będzie ostatnie, S - c.

217
00:11:49,555 --> 00:11:52,390
Ostatecznie dochodzimy do wniosku,

218
00:11:52,390 --> 00:11:56,510
że to co otrzymaliśmy w poprzednim filmie

219
00:11:56,510 --> 00:11:59,410
oraz wzór Herona to jest to samo.

220
00:11:59,410 --> 00:12:02,250
Całkiem zgrabny dowód.

221
00:12:02,250 --> 00:12:05,910
A potrzebowaliśmy do niego

222
00:12:05,910 --> 00:12:08,150
tylko nieco algebry.