W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy
pole trójkąta (używające tylko jego boków)
jest równoważne wzorowi Herona.
Teraz będę chciał wam to udowodnić
poprzez wykonanie pewnej liczby
przekształceń algebraicznych.
Pierwszą rzeczą jaką zrobimy będzie
wciągnięcie 1/2 c pod pierwiastek.
Wiemy, że 1/2 c to to samo co pierwiastek z
c kwadrat dzielonego przez 4.
Jeżeli spierwiastkujemy to wyrażenie to otrzymamy 1/2 c.
To całe wyrażenie jest równe -- zamiast rysować pierwiastek
po prostu napiszę sqrt (przypis: ang. "pierwiastek"),
z c kwadrat dzielonego przez 4.
To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu.
Wkleję to tutaj.
Razy to wszystko.
Oczywiście trzeba pamiętać o nawiasach, aby zachować właściwą kolejność wykonywania działań.
Ostatecznie mamy c kwadrat dzielone przez 4 razy to wszystko.
Na reszcie mamy całe wyrażenie,
które powinno się znaleźć pod pierwiastkiem.
Pozwólcie, że pomnożę to przez c kwadrat przez 4.
To będzie równe pierwiastkowi ...
To będzie trochę skomplikowane,
ale myślę, że warto abyście zobaczyli jak takie coś
zmienia się we wzór Herona.
Pierwiastek z c kwadrat dzielonego przez 4 razy a kwadrat to
c kwadrat a kwadrat przez 4 minus c kwadrat przez 4 ...
Wymnożę to.
Zapiszę to jako kwadrat licznika dzielony
przez kwadrat mianownika.
Razy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat,
wszystko do kwadratu.
Przez -- kwadratem mianownika jest 4c kwadrat.
Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz
to drugie się uproszczą.
Na końcu musimy zamknąć nawiasy.
Oczywiście 4 razy 4 będzie równe --
pozwólcie, że to tak zapiszę,
da nam w rezultacie 4 kwadrat.
Potem zobaczycie dlaczego nie napisałem
po prostu 16.
Teraz to mogę przepisać w trochę inny sposób.
To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor,
z ca dzielonego przez 2 do kwadratu.
To jest to samo co to.
Prawda?
Po prostu napisałem wszystko pod wspólnym kwadratem.
Jeżeli podniosę to do kwadratu to otrzymam c kwadrat
razy a kwadrat dzielone przez 4 minus -- znowu zapiszę
całe wyrażenie pod wspólnym kwadratem.
To będzie c kwadrat plus a kwadrat minus
b kwadrat dzielone przez 4.
Podnosimy do kwadratu zarówno mianownik jak i licznik.
Teraz to może zacząć już coś wam przypominać.
Wyróżnię nawiasy innym kolorem.
Powinniście pamiętać ze wzorów skróconego mnożenia,
że jeśli mamy coś podobnego do x kwadrat minus y kwadrat,
to rozkłada się to na iloczyn x minus y oraz x plus y.
W tym filmie użyjemy tego kilkukrotnie.
Jeżeli przyjmiemy, że ca dzielone przez 2 to x to wtedy to całe wyrażenie
nazwiemy y otrzymując x kwadrat minus y kwadrat.
Czyli możemy rozłożyć to na czynniki.
To całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z
x plus y, w tym wypadku ca dzielone przez 2 plus y,
co jest równe c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.
Razy x minus y.
To jest nasz x.
ca przez 2 minus to wszystko.
Albo dla wygody napiszmy tutaj plus,
minus uwzględnimy później.
Czyli plus minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.
Wszystko dzielone przez 4.
Ja tutaj tylko zauważyłem, że to jest to samo co to
plus to, to plus to, razy to minus to, to minus
-- po prostu dodajemy ujemną liczbę.
Czyli minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat.
Ja tylko wykorzystałem ten wzór.
Teraz się zastanówmy, czy jesteśmy w stanie uprościć bardziej to wyrażenie.
Na przykład spróbujmy dodać te ułamki.
Prosto zgadnąć co będzie wspólnym mianownikiem.
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4.
ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4,
tylko po pomnożeniu licznika i mianownika przez 2.
Teraz wystarczy dodać liczniki.
Nasze całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z
tego pierwszego wyrażenia, które --
napiszę to w ten sposób:
zamienię kolejność: c kwadrat plus 2ca plus a kwadrat minus
b kwadrat, wszystko dzielone przez 4.
To jest pierwszy czynnik.
Drugi czynnik będzie wyglądać tak:
wszystko będzie dzielone przez 4, dlatego zacznę
od napisania kreski ułamkowej.
Przez 4.
Teraz możemy to zapisać jako b kwadrat minus c kwadrat
minus 2ca plus a kwadrat.
Dla pewności jeszcze raz to prześledzę: mam minus a kwadrat.
Plus razy minus, nadal mamy minus a kwadrat.
Tutaj mamy plus 2ca.
Minus razy minus to da plus 2ca.
Mamy tutaj minus c kwadrat.
Oraz minus c kwadrat tutaj.
Czyli te dwa wyrażenia są równe.
Następnym elementem, który możemy zmodyfikować (taką mamy nadzieję)
jest to wyrażenie tutaj -- to może się okazać trochę mylne,
to jest to samo co c plus a kwadrat.
Pozwólcie, że to napiszę.
To jest równe pierwiastkowi, otwieram nawias,
z c plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4.
To jest pierwszy czynnik.
Teraz czas na drugi czynnik.
To jest to samo co c minus a kwadrat.
Całość się uprości do b kwadrat
minus c minus a kwadrat dzielonego przez 4.
Robimy postęp.
Jak wam mówiłem to jest dość skomplikowane zadanie.
Ale dzięki sprytnie zastosowanym wzorom skróconego mnożenia
jesteśmy w stanie znacznie uprościć to nieprzyjemnie
wyglądające, skomplikowane wyrażenie.
Możemy wykorzystać ten sam sposób
(tworząc niejako schemat postępowania),
czyli wzór na różnicę kwadratów.
Możemy to znowu rozłożyć na czynniki.
Zrobię to w tej samej linii.
To będzie równe -- napiszę to małymi literami,
aby na pewno starczyło nam miejsca
-- pierwiastkowi.
To się rozłoży na to plus to.
Więc c plus a plus b razy c plus a minus b.
Prawda?
To jest dokładnie to samo co zrobiłem wcześniej tutaj.
To jest x kwadrat, a to y kwadrat.
Razy c plus a minus b wszystko dzielone przez 4.
A potem to.
To będzie b plus c minus a.
Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy.
Razy b plus c minus a -- to jest x plus y -- razy
b minus c minus a.
To jest to samo co b minus c plus a.
To jest to samo co b minus c minus a.
Prawda?
Dobrze.
To wszystko dzielone przez 4.
Teraz mogę przepisać całe to wyrażenie.
Nie chcę, aby skończyło mi się wolne miejsce.
Zacznę przepisywać równanie --
4 to jest iloczyn 2 i 2.
Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do
pierwiastka -- już naprawdę zbliżamy się do końca,
z tego wyrażenia, które mogę zapisać jako
a plus b plus c dzielone przez 2.
To jest to wyrażenie tutaj.
Razy to wyrażenie.
Uprośćmy to trochę c plus a minus b
to jest to samo co a plus b plus c minus 2c.
Te dwie rzeczy są równoważne.
Prawda?
Mamy a oraz c, a b minus 2b to
po prostu minus b.
Prawda? b minus 2b to minus b.
Wyrażenie w drugim nawiasie będzie wyglądać tak:
a plus b plus c minus 2b, dzielone przez 2.
Lepiej będzie jak to zapiszemy jako to dzielone przez 2
minus to dzielone przez 2.
Nasze następne wyrażenie znajduje się tutaj.
Musimy zastosować tą samą sztuczkę.
To jest to samo co a plus b plus minus 2a,
wszystko dzielone przez 2.
Prawda?
Jeżeli dodamy minus 2a do a to otrzymamy minus a.
Czyli to jest równe b plus c minus a.
Te wyrażenia są równe.
Wszystko dzielone przez 2, ale możemy to rozbić
na dwa ułamki tak jak wcześniej.
Zostało już nam ostatnie wyrażenie.
Tymczasem to co mamy robi się coraz bardziej
podobne do zasady Herona.
Oczywiście miałem na myśli wzór, a nie zasadę Herona.
To wyrażenie tutaj to po prostu to samo co
a plus b plus c minus 2c.
Prawda?
Jeżeli zabierzemy 2c z c to otrzymamy minus c,
a a oraz b już mamy.
Teraz pozostało wszystko podzielić przez 2.
Oczywiście można to zapisać jako różnicę ułamków.
Na końcu trzeba pamiętać, że to całe wyrażenie
należy umieścić pod pierwiastkiem.
Jeżeli zdefiniujemy S jako a plus b plus c dzielone przez 2,
to po podstawieniu nasze wyrażenie znacznie się uprości.
To jest równe S.
To też jest równe S.
Tak samo to jest równe S.
I jeszcze to jest równe S.
To wszystko upraszcza.
Minus 2b przez 2 to to samo co minus b.
Minus 2a przez 2 to to samo co minus a.
Minus 2c przez 2 to to samo co minus c.
Całe wyrażenie stanowiące nasze pole jest teraz równe
-- przepiszę kwadrat.
Nasze pole jest równe pierwiastkowi z S
-- to jest to wyrażenie tutaj.
Użyję tych samych kolorów.
razy S minus b razy S, razy S minus a, razy
-- to już będzie ostatnie, S - c.
Ostatecznie dochodzimy do wniosku,
że to co otrzymaliśmy w poprzednim filmie
oraz wzór Herona to jest to samo.
Całkiem zgrabny dowód.
A potrzebowaliśmy do niego
tylko nieco algebry.