WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.640 W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy 00:00:00.640 --> 00:00:00.850 W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy 00:00:00.850 --> 00:00:04.750 W poprzednim filmiku twierdziłem, że wyrażenie jakim opisaliśmy 00:00:04.750 --> 00:00:09.770 pole trójkąta (używające tylko jego boków) 00:00:09.770 --> 00:00:11.810 jest równoważne wzorowi Herona. 00:00:11.810 --> 00:00:14.150 Teraz będę chciał wam to udowodnić 00:00:14.150 --> 00:00:16.780 poprzez wykonanie pewnej liczby 00:00:16.780 --> 00:00:18.990 przekształceń algebraicznych. 00:00:18.990 --> 00:00:21.590 Pierwszą rzeczą jaką zrobimy będzie 00:00:21.590 --> 00:00:23.590 wciągnięcie 1/2 c pod pierwiastek. 00:00:23.590 --> 00:00:28.170 Wiemy, że 1/2 c to to samo co pierwiastek z 00:00:28.170 --> 00:00:30.480 c kwadrat dzielonego przez 4. 00:00:30.480 --> 00:00:32.910 Jeżeli spierwiastkujemy to wyrażenie to otrzymamy 1/2 c. 00:00:32.910 --> 00:00:36.270 To całe wyrażenie jest równe -- zamiast rysować pierwiastek 00:00:36.270 --> 00:00:41.450 po prostu napiszę sqrt (przypis: ang. "pierwiastek"), 00:00:41.450 --> 00:00:48.200 z c kwadrat dzielonego przez 4. 00:00:48.200 --> 00:00:49.530 To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu. 00:00:49.530 --> 00:00:53.040 To po prostu skopiuję i wkleję w odpowiednim miejscu. 00:00:53.040 --> 00:00:55.610 Wkleję to tutaj. 00:00:55.610 --> 00:00:57.160 Razy to wszystko. 00:00:57.160 --> 00:01:01.160 Oczywiście trzeba pamiętać o nawiasach, aby zachować właściwą kolejność wykonywania działań. 00:01:01.160 --> 00:01:03.960 Ostatecznie mamy c kwadrat dzielone przez 4 razy to wszystko. 00:01:03.960 --> 00:01:06.390 Na reszcie mamy całe wyrażenie, 00:01:06.390 --> 00:01:08.990 które powinno się znaleźć pod pierwiastkiem. 00:01:08.990 --> 00:01:11.460 Pozwólcie, że pomnożę to przez c kwadrat przez 4. 00:01:11.460 --> 00:01:13.960 To będzie równe pierwiastkowi ... 00:01:13.960 --> 00:01:15.940 To będzie trochę skomplikowane, 00:01:15.940 --> 00:01:18.620 ale myślę, że warto abyście zobaczyli jak takie coś 00:01:18.620 --> 00:01:20.470 zmienia się we wzór Herona. 00:01:20.470 --> 00:01:24.660 Pierwiastek z c kwadrat dzielonego przez 4 razy a kwadrat to 00:01:24.660 --> 00:01:32.560 c kwadrat a kwadrat przez 4 minus c kwadrat przez 4 ... 00:01:32.560 --> 00:01:35.270 Wymnożę to. 00:01:35.270 --> 00:01:37.600 Zapiszę to jako kwadrat licznika dzielony 00:01:37.600 --> 00:01:39.060 przez kwadrat mianownika. 00:01:39.060 --> 00:01:44.090 Razy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat, 00:01:44.090 --> 00:01:45.950 wszystko do kwadratu. 00:01:45.950 --> 00:01:49.815 Przez -- kwadratem mianownika jest 4c kwadrat. 00:01:49.815 --> 00:01:52.790 Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz 00:01:52.790 --> 00:01:54.840 Od razu możemy zauważyć, że to c kwadrat oraz 00:01:54.840 --> 00:01:55.600 to drugie się uproszczą. 00:01:55.600 --> 00:02:00.260 Na końcu musimy zamknąć nawiasy. 00:02:00.260 --> 00:02:02.530 Oczywiście 4 razy 4 będzie równe -- 00:02:02.530 --> 00:02:04.520 pozwólcie, że to tak zapiszę, 00:02:04.520 --> 00:02:06.490 da nam w rezultacie 4 kwadrat. 00:02:06.490 --> 00:02:08.850 Potem zobaczycie dlaczego nie napisałem 00:02:08.850 --> 00:02:09.890 po prostu 16. 00:02:09.890 --> 00:02:11.880 Teraz to mogę przepisać w trochę inny sposób. 00:02:11.880 --> 00:02:15.040 To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor, 00:02:15.040 --> 00:02:17.340 To będzie równe pierwiastkowi -- przypadkowo zmieniłem kolor, 00:02:17.340 --> 00:02:21.460 z ca dzielonego przez 2 do kwadratu. 00:02:21.460 --> 00:02:24.390 To jest to samo co to. 00:02:24.390 --> 00:02:25.780 To jest to samo co to. 00:02:25.780 --> 00:02:25.990 Prawda? 00:02:25.990 --> 00:02:28.150 Po prostu napisałem wszystko pod wspólnym kwadratem. 00:02:28.150 --> 00:02:30.360 Jeżeli podniosę to do kwadratu to otrzymam c kwadrat 00:02:30.360 --> 00:02:34.930 razy a kwadrat dzielone przez 4 minus -- znowu zapiszę 00:02:34.930 --> 00:02:36.520 całe wyrażenie pod wspólnym kwadratem. 00:02:36.520 --> 00:02:40.800 To będzie c kwadrat plus a kwadrat minus 00:02:40.800 --> 00:02:45.360 b kwadrat dzielone przez 4. 00:02:45.360 --> 00:02:47.810 Podnosimy do kwadratu zarówno mianownik jak i licznik. 00:02:47.810 --> 00:02:51.410 Teraz to może zacząć już coś wam przypominać. 00:02:51.410 --> 00:02:53.740 Teraz to może zacząć już coś wam przypominać. 00:02:53.740 --> 00:02:56.120 Wyróżnię nawiasy innym kolorem. 00:02:56.120 --> 00:03:00.775 Powinniście pamiętać ze wzorów skróconego mnożenia, 00:03:00.775 --> 00:03:03.460 że jeśli mamy coś podobnego do x kwadrat minus y kwadrat, 00:03:03.460 --> 00:03:08.520 to rozkłada się to na iloczyn x minus y oraz x plus y. 00:03:08.520 --> 00:03:11.000 W tym filmie użyjemy tego kilkukrotnie. 00:03:11.000 --> 00:03:15.590 Jeżeli przyjmiemy, że ca dzielone przez 2 to x to wtedy to całe wyrażenie 00:03:15.590 --> 00:03:19.110 nazwiemy y otrzymując x kwadrat minus y kwadrat. 00:03:19.110 --> 00:03:20.390 Czyli możemy rozłożyć to na czynniki. 00:03:20.390 --> 00:03:27.966 To całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z 00:03:27.966 --> 00:03:34.740 x plus y, w tym wypadku ca dzielone przez 2 plus y, 00:03:34.740 --> 00:03:40.960 co jest równe c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4. 00:03:40.960 --> 00:03:44.020 Razy x minus y. 00:03:44.020 --> 00:03:45.570 To jest nasz x. 00:03:45.570 --> 00:03:51.370 ca przez 2 minus to wszystko. 00:03:51.370 --> 00:03:53.840 Albo dla wygody napiszmy tutaj plus, 00:03:53.840 --> 00:03:54.680 minus uwzględnimy później. 00:03:54.680 --> 00:04:01.980 Czyli plus minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat. 00:04:01.980 --> 00:04:05.140 Wszystko dzielone przez 4. 00:04:05.140 --> 00:04:10.180 Ja tutaj tylko zauważyłem, że to jest to samo co to 00:04:10.180 --> 00:04:15.120 plus to, to plus to, razy to minus to, to minus 00:04:15.120 --> 00:04:18.610 -- po prostu dodajemy ujemną liczbę. 00:04:18.610 --> 00:04:21.770 Czyli minus c kwadrat minus a kwadrat plus b kwadrat. 00:04:21.770 --> 00:04:24.470 Ja tylko wykorzystałem ten wzór. 00:04:24.470 --> 00:04:26.610 Teraz się zastanówmy, czy jesteśmy w stanie uprościć bardziej to wyrażenie. 00:04:26.610 --> 00:04:28.870 Na przykład spróbujmy dodać te ułamki. 00:04:28.870 --> 00:04:30.680 Prosto zgadnąć co będzie wspólnym mianownikiem. 00:04:30.680 --> 00:04:35.650 ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4. 00:04:35.650 --> 00:04:38.910 ca przez 2 to to samo co 2ca przez 4, 00:04:38.910 --> 00:04:41.160 tylko po pomnożeniu licznika i mianownika przez 2. 00:04:41.160 --> 00:04:44.420 Teraz wystarczy dodać liczniki. 00:04:44.420 --> 00:04:49.540 Nasze całe wyrażenie będzie równe pierwiastkowi z 00:04:49.540 --> 00:04:55.645 tego pierwszego wyrażenia, które -- 00:04:55.645 --> 00:04:56.460 napiszę to w ten sposób: 00:04:56.460 --> 00:05:07.820 zamienię kolejność: c kwadrat plus 2ca plus a kwadrat minus 00:05:07.820 --> 00:05:11.820 b kwadrat, wszystko dzielone przez 4. 00:05:11.820 --> 00:05:13.900 To jest pierwszy czynnik. 00:05:13.900 --> 00:05:18.010 Drugi czynnik będzie wyglądać tak: 00:05:18.010 --> 00:05:20.190 wszystko będzie dzielone przez 4, dlatego zacznę 00:05:20.190 --> 00:05:21.070 od napisania kreski ułamkowej. 00:05:21.070 --> 00:05:21.965 Przez 4. 00:05:21.965 --> 00:05:27.280 Przez 4. 00:05:27.280 --> 00:05:36.030 Teraz możemy to zapisać jako b kwadrat minus c kwadrat 00:05:36.030 --> 00:05:43.490 minus 2ca plus a kwadrat. 00:05:43.490 --> 00:05:46.570 Dla pewności jeszcze raz to prześledzę: mam minus a kwadrat. 00:05:46.570 --> 00:05:49.320 Plus razy minus, nadal mamy minus a kwadrat. 00:05:49.320 --> 00:05:51.420 Tutaj mamy plus 2ca. 00:05:51.420 --> 00:05:54.080 Minus razy minus to da plus 2ca. 00:05:54.080 --> 00:05:55.580 Mamy tutaj minus c kwadrat. 00:05:55.580 --> 00:05:57.170 Oraz minus c kwadrat tutaj. 00:05:57.170 --> 00:06:00.530 Czyli te dwa wyrażenia są równe. 00:06:00.530 --> 00:06:04.630 Następnym elementem, który możemy zmodyfikować (taką mamy nadzieję) 00:06:04.630 --> 00:06:09.940 jest to wyrażenie tutaj -- to może się okazać trochę mylne, 00:06:09.940 --> 00:06:13.690 to jest to samo co c plus a kwadrat. 00:06:13.690 --> 00:06:14.350 Pozwólcie, że to napiszę. 00:06:14.350 --> 00:06:20.860 To jest równe pierwiastkowi, otwieram nawias, 00:06:20.860 --> 00:06:29.940 z c plus a kwadrat minus b kwadrat przez 4. 00:06:29.940 --> 00:06:31.480 To jest pierwszy czynnik. 00:06:31.480 --> 00:06:33.020 Teraz czas na drugi czynnik. 00:06:33.020 --> 00:06:35.920 To jest to samo co c minus a kwadrat. 00:06:35.920 --> 00:06:39.120 Całość się uprości do b kwadrat 00:06:39.120 --> 00:06:47.470 minus c minus a kwadrat dzielonego przez 4. 00:06:47.470 --> 00:06:48.910 Robimy postęp. 00:06:48.910 --> 00:06:51.830 Jak wam mówiłem to jest dość skomplikowane zadanie. 00:06:51.830 --> 00:06:53.950 Ale dzięki sprytnie zastosowanym wzorom skróconego mnożenia 00:06:53.950 --> 00:06:57.320 jesteśmy w stanie znacznie uprościć to nieprzyjemnie 00:06:57.320 --> 00:07:00.160 wyglądające, skomplikowane wyrażenie. 00:07:00.160 --> 00:07:02.090 Możemy wykorzystać ten sam sposób 00:07:02.090 --> 00:07:04.770 (tworząc niejako schemat postępowania), 00:07:04.770 --> 00:07:07.310 czyli wzór na różnicę kwadratów. 00:07:07.310 --> 00:07:08.500 Możemy to znowu rozłożyć na czynniki. 00:07:08.500 --> 00:07:09.580 Zrobię to w tej samej linii. 00:07:09.580 --> 00:07:12.120 To będzie równe -- napiszę to małymi literami, 00:07:12.120 --> 00:07:14.040 aby na pewno starczyło nam miejsca 00:07:14.040 --> 00:07:15.310 -- pierwiastkowi. 00:07:15.310 --> 00:07:20.000 To się rozłoży na to plus to. 00:07:20.000 --> 00:07:29.510 Więc c plus a plus b razy c plus a minus b. 00:07:29.510 --> 00:07:29.850 Prawda? 00:07:29.850 --> 00:07:32.030 To jest dokładnie to samo co zrobiłem wcześniej tutaj. 00:07:32.030 --> 00:07:34.470 To jest x kwadrat, a to y kwadrat. 00:07:34.470 --> 00:07:41.760 Razy c plus a minus b wszystko dzielone przez 4. 00:07:41.760 --> 00:07:43.260 A potem to. 00:07:43.260 --> 00:07:46.250 To będzie b plus c minus a. 00:07:46.250 --> 00:07:50.620 Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy. 00:07:50.620 --> 00:07:53.180 Zrobię trochę miejsca na naszej tablicy. 00:07:53.180 --> 00:07:59.030 Razy b plus c minus a -- to jest x plus y -- razy 00:07:59.030 --> 00:08:02.640 b minus c minus a. 00:08:02.640 --> 00:08:09.020 To jest to samo co b minus c plus a. 00:08:09.020 --> 00:08:13.110 To jest to samo co b minus c minus a. 00:08:13.110 --> 00:08:14.140 Prawda? 00:08:14.140 --> 00:08:14.570 Dobrze. 00:08:14.570 --> 00:08:20.370 To wszystko dzielone przez 4. 00:08:20.370 --> 00:08:23.910 Teraz mogę przepisać całe to wyrażenie. 00:08:23.910 --> 00:08:25.580 Nie chcę, aby skończyło mi się wolne miejsce. 00:08:25.580 --> 00:08:30.305 Zacznę przepisywać równanie -- 00:08:30.305 --> 00:08:32.955 4 to jest iloczyn 2 i 2. 00:08:32.955 --> 00:08:36.380 Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do 00:08:36.380 --> 00:08:40.620 Niewątpliwie udało nam się uprościć to wyrażenie do 00:08:40.620 --> 00:08:44.780 pierwiastka -- już naprawdę zbliżamy się do końca, 00:08:44.780 --> 00:08:50.560 z tego wyrażenia, które mogę zapisać jako 00:08:50.560 --> 00:08:55.780 a plus b plus c dzielone przez 2. 00:08:55.780 --> 00:08:57.690 To jest to wyrażenie tutaj. 00:08:57.690 --> 00:09:00.640 Razy to wyrażenie. 00:09:00.640 --> 00:09:02.480 Razy to wyrażenie. 00:09:02.480 --> 00:09:05.340 Uprośćmy to trochę c plus a minus b 00:09:05.340 --> 00:09:13.200 to jest to samo co a plus b plus c minus 2c. 00:09:13.200 --> 00:09:14.490 Te dwie rzeczy są równoważne. 00:09:14.490 --> 00:09:14.700 Prawda? 00:09:14.700 --> 00:09:19.450 Mamy a oraz c, a b minus 2b to 00:09:19.450 --> 00:09:22.510 po prostu minus b. 00:09:22.510 --> 00:09:24.750 Prawda? b minus 2b to minus b. 00:09:24.750 --> 00:09:29.690 Wyrażenie w drugim nawiasie będzie wyglądać tak: 00:09:29.690 --> 00:09:34.330 a plus b plus c minus 2b, dzielone przez 2. 00:09:34.330 --> 00:09:36.240 Lepiej będzie jak to zapiszemy jako to dzielone przez 2 00:09:36.240 --> 00:09:40.570 minus to dzielone przez 2. 00:09:40.570 --> 00:09:43.920 Nasze następne wyrażenie znajduje się tutaj. 00:09:43.920 --> 00:09:46.180 Musimy zastosować tą samą sztuczkę. 00:09:46.180 --> 00:09:55.360 To jest to samo co a plus b plus minus 2a, 00:09:55.360 --> 00:09:56.500 wszystko dzielone przez 2. 00:09:56.500 --> 00:09:56.770 Prawda? 00:09:56.770 --> 00:09:59.960 Jeżeli dodamy minus 2a do a to otrzymamy minus a. 00:09:59.960 --> 00:10:02.040 Czyli to jest równe b plus c minus a. 00:10:02.040 --> 00:10:03.820 Te wyrażenia są równe. 00:10:03.820 --> 00:10:06.950 Wszystko dzielone przez 2, ale możemy to rozbić 00:10:06.950 --> 00:10:09.130 na dwa ułamki tak jak wcześniej. 00:10:09.130 --> 00:10:10.680 Zostało już nam ostatnie wyrażenie. 00:10:10.680 --> 00:10:13.690 Tymczasem to co mamy robi się coraz bardziej 00:10:13.690 --> 00:10:16.500 podobne do zasady Herona. 00:10:16.500 --> 00:10:19.570 Oczywiście miałem na myśli wzór, a nie zasadę Herona. 00:10:19.570 --> 00:10:23.050 To wyrażenie tutaj to po prostu to samo co 00:10:23.050 --> 00:10:27.570 a plus b plus c minus 2c. 00:10:27.570 --> 00:10:27.860 Prawda? 00:10:27.860 --> 00:10:31.200 Jeżeli zabierzemy 2c z c to otrzymamy minus c, 00:10:31.200 --> 00:10:32.650 a a oraz b już mamy. 00:10:32.650 --> 00:10:34.540 Teraz pozostało wszystko podzielić przez 2. 00:10:34.540 --> 00:10:37.640 Oczywiście można to zapisać jako różnicę ułamków. 00:10:37.640 --> 00:10:39.600 Na końcu trzeba pamiętać, że to całe wyrażenie 00:10:39.600 --> 00:10:41.540 należy umieścić pod pierwiastkiem. 00:10:41.540 --> 00:10:52.230 Jeżeli zdefiniujemy S jako a plus b plus c dzielone przez 2, 00:10:52.230 --> 00:10:55.560 to po podstawieniu nasze wyrażenie znacznie się uprości. 00:10:55.560 --> 00:10:57.800 To jest równe S. 00:10:57.800 --> 00:11:00.130 To też jest równe S. 00:11:00.130 --> 00:11:01.705 Tak samo to jest równe S. 00:11:01.705 --> 00:11:03.940 I jeszcze to jest równe S. 00:11:03.940 --> 00:11:07.720 To wszystko upraszcza. 00:11:07.720 --> 00:11:12.030 Minus 2b przez 2 to to samo co minus b. 00:11:12.030 --> 00:11:14.880 Minus 2a przez 2 to to samo co minus a. 00:11:14.880 --> 00:11:17.100 Minus 2c przez 2 to to samo co minus c. 00:11:17.100 --> 00:11:23.590 Całe wyrażenie stanowiące nasze pole jest teraz równe 00:11:23.590 --> 00:11:24.620 -- przepiszę kwadrat. 00:11:24.620 --> 00:11:30.670 Nasze pole jest równe pierwiastkowi z S 00:11:30.670 --> 00:11:33.550 -- to jest to wyrażenie tutaj. 00:11:33.550 --> 00:11:34.500 Użyję tych samych kolorów. 00:11:34.500 --> 00:11:46.890 razy S minus b razy S, razy S minus a, razy 00:11:46.890 --> 00:11:49.555 -- to już będzie ostatnie, S - c. 00:11:49.555 --> 00:11:52.390 Ostatecznie dochodzimy do wniosku, 00:11:52.390 --> 00:11:56.510 że to co otrzymaliśmy w poprzednim filmie 00:11:56.510 --> 00:11:59.410 oraz wzór Herona to jest to samo. 00:11:59.410 --> 00:12:02.250 Całkiem zgrabny dowód. 00:12:02.250 --> 00:12:05.910 A potrzebowaliśmy do niego 00:12:05.910 --> 00:12:08.150 tylko nieco algebry.