Return to Video

ჰერონის ფორმულის დამტკიცება, ნაწილი 2

  • 0:01 - 0:05
    ბოლო ვიდეოში, ვამტკიცებდი,
    რომ სამკუთხედის ფართობის ეს შედეგი,
  • 0:05 - 0:10
    სამკუთხედის, რომელსაც
    a, b და c სიგრძის გვერდები აქვს
  • 0:10 - 0:12
    ჰერონის ფორმულის ექვივალენტურია.
  • 0:12 - 0:14
    ამ ვიდეოში განახებთ, რომ ეს
  • 0:14 - 0:17
    ჰერონის ფორმულის ექვივალენტია,
  • 0:17 - 0:19
    რამდენიმე ალგებრული
    მანიპულაციის დახმარებით.
  • 0:19 - 0:22
    პირველი რაც მინდა რომ ვქნა არის
  • 0:22 - 0:24
    ამ 1/2c-ის ფესვში შეყვანა.
  • 0:24 - 0:30
    1/2c იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი
    c კვადრატი შეფარდებული 4-დან.
  • 0:30 - 0:33
    თუ აქედან ფესვს ამოიღებთ,
    მიიღებთ 1/2c-ს.
  • 0:33 - 0:36
    ეს მთლიანი გამოსახულება უდრის
  • 0:36 - 0:41
    თუმცა, მთლიანი ფესვის დახატვას ასე დავწერ
  • 0:41 - 0:48
    c კვადრატში შეფარდებული 4-თან
    განმრავლებული ამ ყველაფერზე.
  • 0:48 - 0:57
    უბრალოდ გადმოვაკოპირებ.
  • 0:57 - 1:01
    რა თქმა უნდა ფრჩხილებში უნდა ჩავსვათ.
  • 1:01 - 1:04
    ანუ, c კვადრატში შეფარდებული 4-თან
    გამრავლებული ამაზე.
  • 1:04 - 1:09
    ახლა უნდა დავხუროთ კვადრატული ფესვი.
  • 1:09 - 1:11
    მოდი, გავხსნი ფრჩხილებს.
  • 1:11 - 1:14
    გავხსნათ კვადრატული ფესვი.
  • 1:14 - 1:16
    ძალიან ბევრი კი იქნება, მაგრამ
  • 1:16 - 1:19
    მგონი დაკმაყოფილდებით, რომ ასეთი
    რთული რაღაც ჰერონის ფორმულასავით
  • 1:19 - 1:20
    მარტივ რამდე გადაიქცევა.
  • 1:20 - 1:25
    კვადრატული ფესვი c კვადრატი შეფარდებული
    4-თან გამრავლებული a კვადრატზე უდრის
  • 1:25 - 1:33
    c კვადრატი a კვადრატი შეფარდებული 4-თან
    გამოკლებული c კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
  • 1:33 - 1:35
    ამ ფრჩხილებსაც ვხსნი.
  • 1:35 - 1:39
    ჩავწერ მნიშვნელის კვადრატი შეფარდებული
    მრიცხველის კვადრატთან სახით.
  • 1:39 - 1:44
    გამრავლებული c კვადრატს მიმატებული
    a კვადრატი გამოკლებული b კვადრატი
  • 1:44 - 1:46
    ეს ყოველივე კვადრატში.
  • 1:46 - 1:53
    მნიშვნელს თუ ავახარისხებ მივიღებ
    4-ს გამრავლებულ c კვადრატზე.
  • 1:53 - 1:56
    ვხედავთ, რომ c კვადრატები ბათილდება.
  • 1:56 - 2:00
    დავხუროთ ფრჩხილები.
  • 2:00 - 2:03
    ეს ოთხებიც გადამრავლდებიან.
  • 2:03 - 2:05
    მოდი, ასე ჩავწერ,
  • 2:05 - 2:06
    ეს იგივეა, რაც 4-ის კვადრატი.
  • 2:06 - 2:10
    16 ნაცვლად ასე ჩავწერ.
  • 2:10 - 2:15
    ეს შემიძლია გადავწერო.
  • 2:15 - 2:17
    გავხსნათ კვადრატული ფესვი
  • 2:17 - 2:24
    ca შეფარდებული 2-თან და აყვანილი
    კვადრატში.
  • 2:24 - 2:26
    ეს იგივეა, არა?
  • 2:26 - 2:28
    უბრალოდ მთლიანად კვადრატის
    სახით ჩავწერე.
  • 2:28 - 2:32
    ეს იგივეა რაც c კვადრატი გამრავლებული
    a კვადრატზე შეფარდებული 2-ის
  • 2:32 - 2:35
    კვადრატთან, ანუ 4-თან.
  • 2:35 - 2:38
    გამოკლებული, ამ ყველაფერსაც
    კვადრატის სახით დავწერ.
  • 2:38 - 2:41
    ეს უდრის, c კვადრატში მიმატებული a
    კვადრატში გამოკლებული b კვადრატში
  • 2:41 - 2:45
    შეფარდებული 4-თან.
  • 2:45 - 2:51
    და მთლიანად წილადი ავიყვანოთ კვადრატში.
  • 2:51 - 2:56
    ეს უფრო საინტერესოდ გამოიყურება.
  • 2:56 - 3:01
    შეიძლება გახსოვთ კვადრატების სხვაობის
    დაშლა.
  • 3:01 - 3:08
    x კვადრატს გამოკლებული y კვადრატი იგივეა,
    რაც (x-y)(x+y).
  • 3:09 - 3:11
    ამას ხშირად გამოვიყენებთ.
  • 3:11 - 3:16
    თუ ca-ს x-ად განვიხილავთ და ამ დიდ
    გამოსახულებას y-ად, შეგვიძლია
  • 3:16 - 3:20
    მათი კვადრატებიც დავშალოთ.
  • 3:20 - 3:28
    გავხნათ კვადრატული ფესვი.
  • 3:28 - 3:35
    ca შეფარდებული 2-თან მიმატებული
  • 3:35 - 3:41
    c კვადრატს მიმატებული a კვადრატი
    გამოკლებული b კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
  • 3:41 - 3:46
    გამრავლებული
  • 3:46 - 3:51
    ca შეფარდებული 2-თან გამოკლებული
    ეს ყოველივე.
  • 3:51 - 3:55
    ან დავწერ მიმატებას, და მნიშვნელს
    გავამრავლებ -1-ზე.
  • 3:55 - 4:02
    ანუ, მიმატებული მინუს c კვადრატი
    გამოკლებული a კვადრატი მიმატებული b
  • 4:02 - 4:05
    კვადრატი და ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
  • 4:05 - 4:10
    უბრალოდ ზედა გამოსახულება გავამარტივე
  • 4:10 - 4:24
    და მივიღე ქვედა გამოსახულება.
  • 4:24 - 4:29
    მოდი, ვნახოთ გამარტივებას თუ
    შევძლებთ.
  • 4:29 - 4:31
    საერთო მნიშვნელი ვიპოვოთ.
  • 4:31 - 4:39
    ca შეფარდებულია 2-თან, ანუ იგივეა, რაც
    2ca შეფარდებული 4-თან.
  • 4:39 - 4:41
    მრიცხველიც და მნიშვნელიც გავამრავლეთ 2-ზე.
  • 4:41 - 4:44
    ახლა შეგვიძლია შევკრიბოთ მრიცხველები.
  • 4:44 - 4:56
    ჩვენი მთლიანი გამოსახულება ახლა უდრის
    კვადრატულ ფესვს
  • 4:56 - 5:08
    c კვადრატს მიმატებული 2ca მიმატებული
    a კვადრატი გამოკლებული b კვადრატი
  • 5:08 - 5:12
    და ეს ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
  • 5:12 - 5:14
    ეს პირველი გამოსახულება.
  • 5:14 - 5:18
    ახლა მეორე.
  • 5:18 - 5:20
    ყველაფერი 4-თან არის შეფარდებული.
  • 5:20 - 5:27
    მოდი, ჯერ მნიშვნელი დავწეროთ.
  • 5:27 - 5:36
    b კვადრატს გამოკლებული c კვადრატი
  • 5:36 - 5:43
    გამოკლებული 2ca მიმატებული a კვადრატი.
  • 5:43 - 5:47
    ზევით მაქვს მინუს a კვადრატი.
  • 5:47 - 5:49
    გამრავლებული პლიუსზე, მაინც მინუსია.
  • 5:49 - 5:51
    მაქვს პლიუს 2ca,
  • 5:51 - 5:54
    მინუსჯერ მინუსი პლიუსი 2ca-ს უდრის.
  • 5:54 - 5:57
    მაქვს მინუს c კვადრატი აქაც და იქაც.
  • 5:57 - 6:01
    ანუ ეს ორი გამოსახულება ექვივალენტურია.
  • 6:01 - 6:10
    ახლა მინდა რომ ამოიცნოთ ერთი რამ.
  • 6:10 - 6:14
    ეს გამოსახულება იგივეა,
    რაც (c+a)-ს კვადრატი.
  • 6:14 - 6:21
    გავხსნათ კვადრატული ფესვი და პირველი
    ფრჩხილი
  • 6:21 - 6:30
    ეს გამოსახულება იგივეა რაც (c+a) კვადრატში
    გამოკლებული b კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
  • 6:30 - 6:31
    ეს პირველი წევრი.
  • 6:31 - 6:33
    ახლა მეორე წევრი.
  • 6:33 - 6:36
    ეს იგივეა რაც (c-a) კვადრატი.
  • 6:36 - 6:39
    გამარტივდება როგორც b კვადრატს
  • 6:39 - 6:47
    გამოკლებული (c-a) კვადრატი
    შეფარდებული 4-თან.
  • 6:47 - 6:49
    ცოტა წინ წავიწიეთ.
  • 6:49 - 6:52
    როგორც გითხარით, შრომატევადი საქმეა.
  • 6:52 - 6:54
    მაგრამ უკვე რაღაცას გავს.
  • 6:54 - 6:57
    ახლა გადავაქციეთ გრძელი გამოსახულება
  • 6:57 - 7:00
    უფრო მოკლე და მარტივ გამოსახულებად.
  • 7:00 - 7:02
    ახლა შეგვიძლია ისევ იგივე რამ გავაკეთოთ,
  • 7:02 - 7:08
    რაც უკვე გამოვიყენეთ. კვადრატების სხვაობა.
  • 7:08 - 7:14
    იმავე ხაზზე გავაგრძელებ წერას.
  • 7:14 - 7:15
    გავხსნათ კვადრატული ფესვი
  • 7:15 - 7:30
    c მიმატებული a მიმატებული b გამრავლებული
  • 7:30 - 7:35
    აქაც განვიხილე გამოსახულების წევრები
    როგორც x და y.
  • 7:35 - 7:42
    c მიმატებული a გამოკლებული b.
    შეფარდებული 4-თან.
  • 7:42 - 7:43
    ახლა მეორე ფრჩხილებიც.
  • 7:43 - 7:53
    b მიმატებული c გამოკლებული a
  • 7:53 - 8:09
    გამრავლებული b გამოკლებული c მიმატებული a.
  • 8:09 - 8:15
    ეს იგივეა რაც b - (c-a).
  • 8:15 - 8:20
    და ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
  • 8:20 - 8:30
    ახლა შემიძლია გადავწერო
    მთლიანი გამოსახულება.
  • 8:30 - 8:36
    4 უდრის 2-ჯერ 2-ს.
  • 8:36 - 8:41
    უფრო გავამარტივოთ.
  • 8:41 - 8:51
    გავხსნათ კვადრატული ფესვი.
  • 8:51 - 8:58
    (a+b+c)/2 ეს ერთი წევრი.
  • 8:58 - 9:03
    გამრავლებული ამ წევრზე,
  • 9:03 - 9:05
    მოდი, აქ დავწერ გამარტივებას.
  • 9:05 - 9:13
    (c+a-b) უდრის (a+b+c-2b)-ს.
  • 9:13 - 9:15
    ეს ორი გამოსახულება ექვივალენტურია.
  • 9:15 - 9:25
    ორივეში გვაქვს a და c და b-ს გამოკლებული
    2b ისევე მინუს b-ს ტოლი იქნება.
  • 9:25 - 9:30
    შემდეგი წევრი იქნება:
  • 9:30 - 9:34
    (a+b+c-2b)/2
  • 9:34 - 9:41
    ანდა შემიძლია ასე ჩავწერო.
  • 9:41 - 9:44
    ახლა შემდეგი წევრი.
  • 9:44 - 9:46
    იმავე ლოგიკით.
  • 9:46 - 9:57
    (a+b+c-2a)/2
  • 9:57 - 10:00
    თუ დავამატებთ მინუს 2a-ს და a-ს
    მივიღებთ მინუს a-ს.
  • 10:00 - 10:04
    (b+c-a) ეს გამოსახულებები იდენტურია.
  • 10:04 - 10:09
    ყველაფერი შეფარდებული 2-თან.
    ან გავყოთ ორ წილადად.
  • 10:09 - 10:11
    ახლა საბოლოო წევრიც, ალბათ უკვე
  • 10:11 - 10:20
    ცნობთ ჰერონის ფორმულას.
  • 10:20 - 10:28
    ეს წევრი იგივეა რაც (a+b+c-2c)
  • 10:28 - 10:31
    c-ს გამოკლებული 2c უდრის მინუს c-ს.
  • 10:31 - 10:33
    a და b უცვლელი დარჩება.
  • 10:33 - 10:35
    ყველაფერი შეფარდებული 2-თან.
  • 10:35 - 10:38
    აქაც გავყოთ წილადი.
  • 10:38 - 10:40
    და მთლიანი გამოსახულებიდან
  • 10:40 - 10:42
    ვიღებთ კვადრატულ ფესვს.
  • 10:42 - 10:52
    თუ S უდრის a+b+c შეფარდებული
  • 10:52 - 10:56
    2-თან, მაშინ ეს გამოსახულება მარტივდება.
  • 10:56 - 11:04
    ეს წევრები უდრიან S-ს.
  • 11:04 - 11:08
    დარჩენილი ნაწილებიც კარგად მარტივდება.
  • 11:08 - 11:12
    -2b/2 იგივეა, რაც b.
  • 11:12 - 11:15
    -2a/2 იგივეა, რაც a.
  • 11:15 - 11:17
    -2c/c იგივეა, რაც c.
  • 11:17 - 11:24
    ფართობის გამოსათვლელი მთლიანი გამოსახულება
  • 11:24 - 11:25
    ახლა უდრის კვადრატულ ფესვს
  • 11:25 - 11:37
    S გამრავლებული (S-b)-ზე
  • 11:37 - 11:52
    გამრავლებული (S-a)-ზე და
    გამრავლებული (S-c)-ზე
  • 11:52 - 11:59
    და ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ჰერონის ფორმულა
    იგივეა, რაც ვიპოვეთ წინა ვიდეოს ბოლოში.
  • 11:59 - 12:02
    საკმაოდ ლამაზი ფორმულაა.
  • 12:02 - 12:07
    მოგვიხდა ბევრი ალგებრის გამოყენება
    დასამტკიცებლად.
Title:
ჰერონის ფორმულის დამტკიცება, ნაწილი 2
Description:

დამტკიცება იმისა, რომ გამოსახულება პირველ ნაწილში ჰერონის ფორმულის იდენტურია
more » « less
Video Language:
English
Duration:
12:08
ბესარიონ სათნო edited Georgian subtitles for Part 2 of the Proof of Heron's Formula
EduCare Keteven Bzikadze edited Georgian subtitles for Part 2 of the Proof of Heron's Formula
EduCare Keteven Bzikadze edited Georgian subtitles for Part 2 of the Proof of Heron's Formula

Georgian subtitles

Revisions

  • Revision 3 Edited
    ბესარიონ სათნო
Our website uses cookies for analysis purposes.