ბოლო ვიდეოში, ვამტკიცებდი, რომ სამკუთხედის ფართობის ეს შედეგი,
სამკუთხედის, რომელსაც a, b და c სიგრძის გვერდები აქვს
ჰერონის ფორმულის ექვივალენტურია.
ამ ვიდეოში განახებთ, რომ ეს
ჰერონის ფორმულის ექვივალენტია,
რამდენიმე ალგებრული მანიპულაციის დახმარებით.
პირველი რაც მინდა რომ ვქნა არის
ამ 1/2c-ის ფესვში შეყვანა.
1/2c იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი c კვადრატი შეფარდებული 4-დან.
თუ აქედან ფესვს ამოიღებთ, მიიღებთ 1/2c-ს.
ეს მთლიანი გამოსახულება უდრის
თუმცა, მთლიანი ფესვის დახატვას ასე დავწერ
c კვადრატში შეფარდებული 4-თან განმრავლებული ამ ყველაფერზე.
უბრალოდ გადმოვაკოპირებ.
რა თქმა უნდა ფრჩხილებში უნდა ჩავსვათ.
ანუ, c კვადრატში შეფარდებული 4-თან გამრავლებული ამაზე.
ახლა უნდა დავხუროთ კვადრატული ფესვი.
მოდი, გავხსნი ფრჩხილებს.
გავხსნათ კვადრატული ფესვი.
ძალიან ბევრი კი იქნება, მაგრამ
მგონი დაკმაყოფილდებით, რომ ასეთი რთული რაღაც ჰერონის ფორმულასავით
მარტივ რამდე გადაიქცევა.
კვადრატული ფესვი c კვადრატი შეფარდებული 4-თან გამრავლებული a კვადრატზე უდრის
c კვადრატი a კვადრატი შეფარდებული 4-თან გამოკლებული c კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
ამ ფრჩხილებსაც ვხსნი.
ჩავწერ მნიშვნელის კვადრატი შეფარდებული მრიცხველის კვადრატთან სახით.
გამრავლებული c კვადრატს მიმატებული a კვადრატი გამოკლებული b კვადრატი
ეს ყოველივე კვადრატში.
მნიშვნელს თუ ავახარისხებ მივიღებ 4-ს გამრავლებულ c კვადრატზე.
ვხედავთ, რომ c კვადრატები ბათილდება.
დავხუროთ ფრჩხილები.
ეს ოთხებიც გადამრავლდებიან.
მოდი, ასე ჩავწერ,
ეს იგივეა, რაც 4-ის კვადრატი.
16 ნაცვლად ასე ჩავწერ.
ეს შემიძლია გადავწერო.
გავხსნათ კვადრატული ფესვი
ca შეფარდებული 2-თან და აყვანილი კვადრატში.
ეს იგივეა, არა?
უბრალოდ მთლიანად კვადრატის სახით ჩავწერე.
ეს იგივეა რაც c კვადრატი გამრავლებული a კვადრატზე შეფარდებული 2-ის
კვადრატთან, ანუ 4-თან.
გამოკლებული, ამ ყველაფერსაც კვადრატის სახით დავწერ.
ეს უდრის, c კვადრატში მიმატებული a კვადრატში გამოკლებული b კვადრატში
შეფარდებული 4-თან.
და მთლიანად წილადი ავიყვანოთ კვადრატში.
ეს უფრო საინტერესოდ გამოიყურება.
შეიძლება გახსოვთ კვადრატების სხვაობის დაშლა.
x კვადრატს გამოკლებული y კვადრატი იგივეა, რაც (x-y)(x+y).
ამას ხშირად გამოვიყენებთ.
თუ ca-ს x-ად განვიხილავთ და ამ დიდ გამოსახულებას y-ად, შეგვიძლია
მათი კვადრატებიც დავშალოთ.
გავხნათ კვადრატული ფესვი.
ca შეფარდებული 2-თან მიმატებული
c კვადრატს მიმატებული a კვადრატი გამოკლებული b კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
გამრავლებული
ca შეფარდებული 2-თან გამოკლებული ეს ყოველივე.
ან დავწერ მიმატებას, და მნიშვნელს გავამრავლებ -1-ზე.
ანუ, მიმატებული მინუს c კვადრატი გამოკლებული a კვადრატი მიმატებული b
კვადრატი და ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
უბრალოდ ზედა გამოსახულება გავამარტივე
და მივიღე ქვედა გამოსახულება.
მოდი, ვნახოთ გამარტივებას თუ შევძლებთ.
საერთო მნიშვნელი ვიპოვოთ.
ca შეფარდებულია 2-თან, ანუ იგივეა, რაც 2ca შეფარდებული 4-თან.
მრიცხველიც და მნიშვნელიც გავამრავლეთ 2-ზე.
ახლა შეგვიძლია შევკრიბოთ მრიცხველები.
ჩვენი მთლიანი გამოსახულება ახლა უდრის კვადრატულ ფესვს
c კვადრატს მიმატებული 2ca მიმატებული a კვადრატი გამოკლებული b კვადრატი
და ეს ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
ეს პირველი გამოსახულება.
ახლა მეორე.
ყველაფერი 4-თან არის შეფარდებული.
მოდი, ჯერ მნიშვნელი დავწეროთ.
b კვადრატს გამოკლებული c კვადრატი
გამოკლებული 2ca მიმატებული a კვადრატი.
ზევით მაქვს მინუს a კვადრატი.
გამრავლებული პლიუსზე, მაინც მინუსია.
მაქვს პლიუს 2ca,
მინუსჯერ მინუსი პლიუსი 2ca-ს უდრის.
მაქვს მინუს c კვადრატი აქაც და იქაც.
ანუ ეს ორი გამოსახულება ექვივალენტურია.
ახლა მინდა რომ ამოიცნოთ ერთი რამ.
ეს გამოსახულება იგივეა, რაც (c+a)-ს კვადრატი.
გავხსნათ კვადრატული ფესვი და პირველი ფრჩხილი
ეს გამოსახულება იგივეა რაც (c+a) კვადრატში გამოკლებული b კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
ეს პირველი წევრი.
ახლა მეორე წევრი.
ეს იგივეა რაც (c-a) კვადრატი.
გამარტივდება როგორც b კვადრატს
გამოკლებული (c-a) კვადრატი შეფარდებული 4-თან.
ცოტა წინ წავიწიეთ.
როგორც გითხარით, შრომატევადი საქმეა.
მაგრამ უკვე რაღაცას გავს.
ახლა გადავაქციეთ გრძელი გამოსახულება
უფრო მოკლე და მარტივ გამოსახულებად.
ახლა შეგვიძლია ისევ იგივე რამ გავაკეთოთ,
რაც უკვე გამოვიყენეთ. კვადრატების სხვაობა.
იმავე ხაზზე გავაგრძელებ წერას.
გავხსნათ კვადრატული ფესვი
c მიმატებული a მიმატებული b გამრავლებული
აქაც განვიხილე გამოსახულების წევრები როგორც x და y.
c მიმატებული a გამოკლებული b. შეფარდებული 4-თან.
ახლა მეორე ფრჩხილებიც.
b მიმატებული c გამოკლებული a
გამრავლებული b გამოკლებული c მიმატებული a.
ეს იგივეა რაც b - (c-a).
და ყველაფერი შეფარდებული 4-თან.
ახლა შემიძლია გადავწერო მთლიანი გამოსახულება.
4 უდრის 2-ჯერ 2-ს.
უფრო გავამარტივოთ.
გავხსნათ კვადრატული ფესვი.
(a+b+c)/2 ეს ერთი წევრი.
გამრავლებული ამ წევრზე,
მოდი, აქ დავწერ გამარტივებას.
(c+a-b) უდრის (a+b+c-2b)-ს.
ეს ორი გამოსახულება ექვივალენტურია.
ორივეში გვაქვს a და c და b-ს გამოკლებული 2b ისევე მინუს b-ს ტოლი იქნება.
შემდეგი წევრი იქნება:
(a+b+c-2b)/2
ანდა შემიძლია ასე ჩავწერო.
ახლა შემდეგი წევრი.
იმავე ლოგიკით.
(a+b+c-2a)/2
თუ დავამატებთ მინუს 2a-ს და a-ს მივიღებთ მინუს a-ს.
(b+c-a) ეს გამოსახულებები იდენტურია.
ყველაფერი შეფარდებული 2-თან. ან გავყოთ ორ წილადად.
ახლა საბოლოო წევრიც, ალბათ უკვე
ცნობთ ჰერონის ფორმულას.
ეს წევრი იგივეა რაც (a+b+c-2c)
c-ს გამოკლებული 2c უდრის მინუს c-ს.
a და b უცვლელი დარჩება.
ყველაფერი შეფარდებული 2-თან.
აქაც გავყოთ წილადი.
და მთლიანი გამოსახულებიდან
ვიღებთ კვადრატულ ფესვს.
თუ S უდრის a+b+c შეფარდებული
2-თან, მაშინ ეს გამოსახულება მარტივდება.
ეს წევრები უდრიან S-ს.
დარჩენილი ნაწილებიც კარგად მარტივდება.
-2b/2 იგივეა, რაც b.
-2a/2 იგივეა, რაც a.
-2c/c იგივეა, რაც c.
ფართობის გამოსათვლელი მთლიანი გამოსახულება
ახლა უდრის კვადრატულ ფესვს
S გამრავლებული (S-b)-ზე
გამრავლებული (S-a)-ზე და გამრავლებული (S-c)-ზე
და ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ჰერონის ფორმულა იგივეა, რაც ვიპოვეთ წინა ვიდეოს ბოლოში.
საკმაოდ ლამაზი ფორმულაა.
მოგვიხდა ბევრი ალგებრის გამოყენება დასამტკიცებლად.