-
Welkom bij de presentatie over 45-45-90 driehoeken
-
Laat ik dat opschrijven.
-
Hoe kan het dat de pen...oh, kijk eens aan.
-
45-45-90 driehoeken
-
Of we kunnen zeggen 45-45-90 rechthoekige driehoeken, maar dat
-
is overbodig, want we weten dat elke hoek met 90 graden
-
is een rechthoekige driehoek
-
en zoals je je wel kan voorstellen, de 45-45-90, dit zijn eigenlijk
-
de graden van de hoeken van een driehoek.
-
Dus waarom zijn deze driehoeken speciaal?
-
Nou, als je de vorige presentatie gezien had die ik je heb gegeven
-
over de wiskundige stelling, dat als je twee van de basis hoeken
-
van een driehoek gelijk zijn, en het is alleen een basishoek
-
als je het zo tekent
-
Je kunt het ook zo tekenen, in dit geval is het misschien niet zo
-
duidelijk dat dit een basishoek is, maar het is nog steeds waar.
-
Als deze twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de zijden
-
dat ze niet delen, dus deze zijde en deze zijde in dit voorbeeld
-
of deze zijde en deze zijn in dit voorbeeld, dan
-
zullen de twee zijden gelijk zijn.
-
Dus wat er zo interessant is aan 45-45-90 driehoeken
-
is dat dit is een rechthoekige driehoek met de gegeven eigenschap
-
En hoe weten we dat dit de enige rechthoekige driehoek is
-
dat deze eigenschap bevat?
-
Nou, je zou jezelf een wereld kunnen voorstellen waar ik je vertelde dat
-
dit een rechthoekige driehoek is.
-
Dit is 90 graden, en dit is de schuine zijde.
-
Dit klopt, het is de zijde tegenover de hoek met 90 graden.
-
En als ik je zou vertellen dat deze twee hoeken gelijk zijn
-
aan elkaar, wat zouden deze hoeken dan moeten zijn?
-
Nou als we deze twee hoeken "X" noemen
-
we weten dat hoeken in een driehoek bij elkaar op 180 moeten uitkomen
-
Dus we kunnen zeggen "X" + "X" - dit is 90 -
-
+ 90 is gelijk aan 180
-
Of 2X + 90 = 180
-
Of 2X = 90
-
Of X = 45 graden
-
Dus de enige rechthoekige driehoek waarin de andere twee hoeken
-
gelijk zijn is een 45-45-90 driehoek
-
Dus wat is er zo interessant aan een 45-45-90 driehoek?
-
Nou behalve dat wat ik je net verteld heb - ik zal het hertekenen.
-
Ik zal het hertekenen op deze manier.
-
We weten dus dat dit 90 graden is, dit is 45 graden,
-
dit is 45 graden.
-
Op basis van wat ik je net verteld heb, weten we ook dat
-
de zijden dat de hoeken met 45 graden niet delen, gelijk zijn
-
Deze zijde is gelijk aan deze zijde.
-
En als we het bekijken aan de hand van de stelling van Pythagoras
-
dan vertelt dit ons dat de twee zijden dat niet
-
schuinhoekig zijn, gelijk zijn aan elkaar.
-
Dit is de schuine zijde
-
.
-
Laten we deze zijde A noemen en deze zijde B.
-
We weten aan de hand van de stelling van Pythagoras,
-
laten we zeggen de schuine zijde is gelijk aan C, de stelling
-
vertelt ons dat A² + B² = C²
-
Toch?
-
.
-
We weten dat A = B, want dit is een
-
45-45-90 driehoek
-
We kunnen A door B vervangen of B door A
-
Maar laten we B door A vervangen.
-
We kunnen dus zeggen B² +B²
-
= C²
-
Of 2B² = C²
-
Of B² = C² ÷ 2
-
Of B = √ C² ÷ 2
-
wat gelijk is aan C, omdat we net
-
de wortel van de teller en de wortel van de noemer
-
C ÷ √ van 2
-
En uiteindelijk, ook al is dit een presentatie over driehoeken,
-
zal ik je een extra beetje informatie geven
-
over wat we noemen het opheffen van breuken
-
Dit is helemaal correct.
-
We zijn net beland bij B en we weten ook dat A = B, maar
-
dat B = C ÷ √2
-
het blijkt dat in de meeste gevallen van wiskunde,
-
ik heb nooit helemaal begrepen waarom dit het geval was,
-
mensen houden niet van √ (de wortel) in een breuk
-
Of ze houden in het algemeen niet van "irrationele getallen"
-
in een noemer
-
"irrationele getallen" zijn getallen dat decimalen bevat
-
die nooit herhalen en nooit eindigen
-
dus de manier waarop ze de "irrationele getallen" weghalen
-
in de noemer is het opheffen van de noemer
-
in de noemer is het opheffen van de noemer
-
De manier waarop je een noemer opheft
-
is,...laten we er een voorbeeld bij pakken.
-
Als we C ÷ √2
-
zowel de teller als de noemer met
-
dezelfde nummer, toch?
-
Want als je de teller en de noemer vermenigvuldig
-
met dezelfde nummer, dan is het alsof je het vermenigvuldig met 1
-
De wortel van 2 gedeeld door de wortel van 2 is 1.
√2 ÷ √2 = 1
-
En zoals je ziet, de reden waarom we dit doen is
-
de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2,
√2 × √ 2
-
wat is de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2?
√2 × √2
-
Natuurlijk, het is 2.
-
Toch?
-
We hebben net gezegd, iets keer iets is 2,
-
de wortel van 2 × de wortel van 2 zal zijn 2.
(√2 × √2 = 2)
-
En de teller is C × √2 ÷ 2
-
Merk op dat C × √2 ÷ 2 is hetzelfde
-
als C ÷ √2
-
dit is erg belangrijk om je te realiseren, want soms
-
als je een oefen test maakt
-
of je doet een test in de klas, dan kun je een antwoord krijgen
-
dat lijkt op dit, het heeft een √2, of misschien alleen een
-
√3 of wat dan ook, in de noemer.
-
En je zult dan niet je antwoord zien bij een
-
meerkeuze vraag.
-
Wat je moet doen in zo'n geval is de noemer vereenvoudigen.
-
Vermenigvuldig de teller en de noemer met
-
√ 2 en je krijgt √ 2 ÷ 2
-
Hoe dan ook, terug naar onze opgave.
-
Wat hebben we geleerd?
-
Dit is gelijk aan B, toch?
-
Het blijkt dat B = C × √ 2 ÷ 2
-
B = C × √ 2 ÷ 2
-
Laat me dat opschrijven.
-
We weten dat A = B toch?
-
en dat = √ 2 ÷ 2 × C.
-
Misschien is het beter om dit te onthouden, hoewel je
-
altijd dit kan vereenvoudigen, als je de stelling van Pythagoras gebruikt.
-
Onthoud dat de zijden dat niet de schuine zijde is
-
in een 45-45-90 driehoek, gelijk zijn aan elkaar.
A B = C
-
Maar dit is erg goed om te weten.
-
Want als, je de examens doet en je moet snel
-
een opgave oplossen, en je hebt dit
uit je hoofd geleerd
-
en iemand geeft je de schuine zijde, dan kun je heel snel
-
weten wat de andere zijden zijn, of als iemand je de andere zijde geeft
-
dan kun je heel snel de schuine zijde vinden.
-
Laten we dat uitproberen.
-
Ik zal alles uitwissen.
-
We hebben net geleerd dat
-
A = B = √2 ÷ 2 × C
-
Dus als ik je een rechthoekige driehoek geef, en ik
-
vertelde je dat deze hoek 90 graden is en deze 45
-
en dat deze zijde is 8
-
dan wil ik te weten komen wat deze zijde is.
-
Allereerst, laten we uitrekenen welke zijde
-
de schuine zijde is.
-
De schuine zijde is het tegenovergestelde van de rechtehoekige hoek.
-
We gaan nu dus de schuine zijde bepalen.
-
Laten we de schuine zijde C noemen.
-
En we weten dat dit een 45-45-90 driehoek is, toch?
-
Want deze hoek is 45, dus deze is moet ook 45 zijn,
-
want 45 + 90 + 90 = 180.
-
Dit is dus een 45-45-90 driehoek, en we weten dat een van de zijden
-
dit kan zowel A als B zijn, we weten dat 8 = √2 ÷ 2 × C
-
8 = √2 ÷ 2 × C
-
C is wat we proberen op te lossen.
-
Dus als we beide zijden vermenigvulden met deze formule
-
met 2× √2, - ik ben gewoon aan het vermenigvuldigen
-
met the inverse of the coefficient on C.
-
Want de √ 2 heft de √2 op
-
deze 2 heft zichzelf op met deze 2.
-
We krijgen 2 × 8, 16 ÷ √2 = C
-
Wat klopt, maar zoals ik je liet zien, mensen
-
houden niet van irrationele getallen in de noemer.
-
Dus we kunnen zeggen C = 16 ÷ √2 × √2 ÷ √2
-
C = 16 √2 × √2 ÷ √2
-
Dit = 16 √2 ÷ 2
-
Wat hetzelfde is als 8 √2
-
C in dit geval is 8 √2
-
We weten ook dat, dit een 45-45-90 driehoek is,
-
deze zijde is 8
-
Hopelijk is dit duidelijk.
-
In de volgende presentatie laat ik
-
verschillende types
driehoeken zien.
-
Ik kan ook starten met meer voorbeelden
-
van dit, want ik heb het gevoel dat ik dit iets te gehaast heb gedaan.
-
In ieder geval, ik zie je snel in de volgende presentatie.
