0:00:01.710,0:00:05.420
Welkom bij de presentatie over 45-45-90 driehoeken

0:00:05.420,0:00:07.200
Laat ik dat opschrijven.

0:00:07.200,0:00:08.300
Hoe kan het dat de pen...oh, kijk eens aan.

0:00:08.300,0:00:15.770
45-45-90 driehoeken

0:00:15.770,0:00:19.050
Of we kunnen zeggen 45-45-90 rechthoekige driehoeken, maar dat

0:00:19.050,0:00:21.630
is overbodig, want we weten dat elke hoek met 90 graden

0:00:21.630,0:00:24.110
is een rechthoekige driehoek

0:00:24.110,0:00:27.790
en zoals je je wel kan voorstellen, de 45-45-90, dit zijn eigenlijk

0:00:27.790,0:00:30.910
de graden van de hoeken van een driehoek.

0:00:30.910,0:00:33.220
Dus waarom zijn deze driehoeken speciaal?

0:00:33.220,0:00:35.720
Nou, als je de vorige presentatie gezien had die ik je heb gegeven

0:00:35.720,0:00:43.950
over de wiskundige stelling, dat als je twee van de basis hoeken

0:00:43.950,0:00:49.000
van een driehoek gelijk zijn, en het is alleen een basishoek

0:00:49.000,0:00:49.800
als je het zo tekent

0:00:49.800,0:00:51.830
Je kunt het ook zo tekenen, in dit geval is het misschien niet zo

0:00:51.830,0:00:55.410
duidelijk dat dit een basishoek is, maar het is nog steeds waar.

0:00:55.410,0:00:58.520
Als deze twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de zijden

0:00:58.520,0:01:02.000
dat ze niet delen, dus deze zijde en deze zijde in dit voorbeeld

0:01:02.000,0:01:05.280
of deze zijde en deze zijn in dit voorbeeld, dan

0:01:05.280,0:01:07.050
zullen de twee zijden gelijk zijn.

0:01:07.050,0:01:11.140
Dus wat er zo interessant is aan 45-45-90 driehoeken

0:01:11.140,0:01:13.900
is dat dit is een rechthoekige driehoek met de gegeven eigenschap

0:01:13.900,0:01:16.400
En hoe weten we dat dit de enige rechthoekige driehoek is

0:01:16.400,0:01:17.690
dat deze eigenschap bevat?

0:01:17.690,0:01:20.790
Nou, je zou jezelf een wereld kunnen voorstellen waar ik je vertelde dat

0:01:20.790,0:01:24.140
dit een rechthoekige driehoek is.

0:01:24.140,0:01:28.030
Dit is 90 graden, en dit is de schuine zijde.

0:01:28.030,0:01:32.140
Dit klopt, het is de zijde tegenover de hoek met 90 graden.

0:01:32.140,0:01:36.780
En als ik je zou vertellen dat deze twee hoeken gelijk zijn

0:01:36.780,0:01:39.640
aan elkaar, wat zouden deze hoeken dan moeten zijn?

0:01:39.640,0:01:42.840
Nou als we deze twee hoeken "X" noemen

0:01:42.840,0:01:44.410
we weten dat hoeken in een driehoek bij elkaar op 180 moeten uitkomen

0:01:44.410,0:01:49.220
Dus we kunnen zeggen "X" + "X" - dit is 90 -

0:01:49.220,0:01:52.650
+ 90 is gelijk aan 180

0:01:52.650,0:01:57.950
Of 2X + 90 = 180

0:01:57.950,0:02:01.260
Of 2X = 90

0:02:01.260,0:02:05.500
Of X = 45 graden

0:02:05.500,0:02:10.180
Dus de enige rechthoekige driehoek waarin de andere twee hoeken

0:02:10.180,0:02:17.990
gelijk zijn is een 45-45-90 driehoek

0:02:17.990,0:02:22.680
Dus wat is er zo interessant aan een 45-45-90 driehoek?

0:02:22.680,0:02:27.160
Nou behalve dat wat ik je net verteld heb - ik zal het hertekenen.

0:02:27.160,0:02:29.180
Ik zal het hertekenen op deze manier.

0:02:29.180,0:02:35.190
We weten dus dat dit 90 graden is, dit is 45 graden,

0:02:35.190,0:02:37.320
dit is 45 graden.

0:02:37.320,0:02:40.370
Op basis van wat ik je net verteld heb, weten we ook dat

0:02:40.370,0:02:45.850
de zijden dat de hoeken met 45 graden niet delen, gelijk zijn

0:02:45.850,0:02:49.560
Deze zijde is gelijk aan deze zijde.

0:02:49.560,0:02:52.080
En als we het bekijken aan de hand van de stelling van Pythagoras

0:02:52.080,0:02:55.240
dan vertelt dit ons dat de twee zijden dat niet

0:02:55.240,0:02:57.710
schuinhoekig zijn, gelijk zijn aan elkaar.

0:02:57.710,0:02:58.396
Dit is de schuine zijde

0:02:58.400,0:03:03.660
.

0:03:03.660,0:03:09.500
Laten we deze zijde A noemen en deze zijde B.

0:03:09.500,0:03:11.360
We weten aan de hand van de stelling van Pythagoras,

0:03:11.360,0:03:14.880
laten we zeggen de schuine zijde is gelijk aan C, de stelling

0:03:14.880,0:03:21.380
vertelt ons dat A² + B² = C²

0:03:21.380,0:03:21.863
Toch?

0:03:21.863,0:03:24.720
.

0:03:24.872,0:03:26.620
We weten dat A = B, want dit is een

0:03:26.620,0:03:30.070
45-45-90 driehoek

0:03:30.070,0:03:32.010
We kunnen A door B vervangen of B door A

0:03:32.010,0:03:34.580
Maar laten we B door A vervangen.

0:03:34.580,0:03:38.960
We kunnen dus zeggen B² +B²

0:03:38.960,0:03:41.530
= C²

0:03:41.530,0:03:47.490
Of 2B² = C²

0:03:47.490,0:03:54.940
Of B² = C² ÷ 2

0:03:54.940,0:04:03.640
Of B = √ C² ÷ 2

0:04:03.640,0:04:06.530
wat gelijk is aan C, omdat we net

0:04:06.530,0:04:09.130
de wortel van de teller en de wortel van de noemer

0:04:09.130,0:04:10.570
C ÷ √ van 2

0:04:10.570,0:04:15.250
En uiteindelijk, ook al is dit een presentatie over driehoeken,

0:04:15.250,0:04:17.630
zal ik je een extra beetje informatie geven

0:04:17.630,0:04:19.930
over wat we noemen het opheffen van breuken

0:04:19.930,0:04:21.269
Dit is helemaal correct.

0:04:21.269,0:04:25.950
We zijn net beland bij B en we weten ook dat A = B, maar

0:04:25.950,0:04:29.510
dat B = C ÷ √2

0:04:29.510,0:04:31.820
het blijkt dat in de meeste gevallen van wiskunde,

0:04:31.820,0:04:34.780
ik heb nooit helemaal begrepen waarom dit het geval was,

0:04:34.780,0:04:37.870
mensen houden niet van √ (de wortel) in een breuk

0:04:37.870,0:04:40.720
Of ze houden in het algemeen niet van "irrationele getallen"

0:04:40.720,0:04:41.140
in een noemer

0:04:41.140,0:04:45.030
"irrationele getallen" zijn getallen dat decimalen bevat

0:04:45.030,0:04:46.920
die nooit herhalen en nooit eindigen

0:04:46.920,0:04:49.870
dus de manier waarop ze de "irrationele getallen" weghalen

0:04:49.870,0:04:52.230
in de noemer is het opheffen van de noemer

0:04:52.230,0:04:53.570
in de noemer is het opheffen van de noemer

0:04:53.570,0:04:55.456
De manier waarop je een noemer opheft

0:04:55.456,0:04:56.110
is,...laten we er een voorbeeld bij pakken.

0:04:56.110,0:05:00.640
Als we C ÷ √2

0:05:00.640,0:05:03.200
zowel de teller als de noemer met

0:05:03.200,0:05:05.130
dezelfde nummer, toch?

0:05:05.130,0:05:08.120
Want als je de teller en de noemer vermenigvuldig

0:05:08.120,0:05:11.280
met dezelfde nummer, dan is het alsof je het vermenigvuldig met 1

0:05:11.280,0:05:13.680
De wortel van 2 gedeeld door de wortel van 2 is 1.[br]√2 ÷ √2 = 1

0:05:13.680,0:05:15.530
En zoals je ziet, de reden waarom we dit doen is

0:05:15.530,0:05:17.020
de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2,[br]√2 × √ 2

0:05:17.020,0:05:19.040
wat is de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2?[br]√2 × √2

0:05:19.040,0:05:20.220
Natuurlijk, het is 2.

0:05:20.220,0:05:21.030
Toch?

0:05:21.030,0:05:23.930
We hebben net gezegd, iets keer iets is 2,

0:05:23.930,0:05:25.990
de wortel van 2 × de wortel van 2 zal zijn 2.[br](√2 × √2 = 2)

0:05:25.990,0:05:31.010
En de teller is C × √2 ÷ 2

0:05:31.010,0:05:34.420
Merk op dat C × √2 ÷ 2 is hetzelfde

0:05:34.420,0:05:37.150
als C ÷ √2

0:05:37.150,0:05:39.520
dit is erg belangrijk om je te realiseren, want soms

0:05:39.520,0:05:41.090
als je een oefen test maakt

0:05:41.090,0:05:44.190
of je doet een test in de klas, dan kun je een antwoord krijgen

0:05:44.190,0:05:46.320
dat lijkt op dit, het heeft een √2, of misschien alleen een

0:05:46.320,0:05:49.550
√3 of wat dan ook, in de noemer.

0:05:49.550,0:05:51.420
En je zult dan niet je antwoord zien bij een

0:05:51.420,0:05:52.750
meerkeuze vraag.

0:05:52.750,0:05:55.710
Wat je moet doen in zo'n geval is de noemer vereenvoudigen.

0:05:55.710,0:05:57.990
Vermenigvuldig de teller en de noemer met

0:05:57.990,0:06:01.470
√ 2 en je krijgt √ 2 ÷ 2

0:06:01.470,0:06:03.250
Hoe dan ook, terug naar onze opgave.

0:06:03.250,0:06:04.450
Wat hebben we geleerd?

0:06:04.450,0:06:06.880
Dit is gelijk aan B, toch?

0:06:06.880,0:06:11.240
Het blijkt dat B = C × √ 2 ÷ 2

0:06:11.240,0:06:13.420
B = C × √ 2 ÷ 2

0:06:13.420,0:06:14.410
Laat me dat opschrijven.

0:06:14.410,0:06:18.760
We weten dat A = B toch?

0:06:18.760,0:06:27.610
en dat = √ 2 ÷ 2 × C.

0:06:27.610,0:06:29.680
Misschien is het beter om dit te onthouden, hoewel je

0:06:29.680,0:06:32.440
altijd dit kan vereenvoudigen, als je de stelling van Pythagoras gebruikt.

0:06:32.440,0:06:35.720
Onthoud dat de zijden dat niet de schuine zijde is

0:06:35.720,0:06:40.110
in een 45-45-90 driehoek, gelijk zijn aan elkaar.[br]A B = C

0:06:40.110,0:06:41.370
Maar dit is erg goed om te weten.

0:06:41.370,0:06:44.645
Want als, je de examens doet en je moet snel

0:06:44.645,0:06:48.180
een opgave oplossen, en je hebt dit[br]uit je hoofd geleerd

0:06:48.180,0:06:49.943
en iemand geeft je de schuine zijde, dan kun je heel snel

0:06:49.943,0:06:51.890
weten wat de andere zijden zijn, of als iemand je de andere zijde geeft

0:06:51.890,0:06:54.100
dan kun je heel snel de schuine zijde vinden.

0:06:54.100,0:06:56.290
Laten we dat uitproberen.

0:06:56.290,0:06:59.250
Ik zal alles uitwissen.

0:06:59.250,0:07:06.060
We hebben net geleerd dat

0:07:06.060,0:07:10.210
A = B = √2 ÷ 2 × C

0:07:10.210,0:07:16.220
Dus als ik je een rechthoekige driehoek geef, en ik

0:07:16.220,0:07:23.760
vertelde je dat deze hoek 90 graden is en deze 45

0:07:23.760,0:07:28.570
en dat deze zijde is 8

0:07:28.570,0:07:32.670
dan wil ik te weten komen wat deze zijde is.

0:07:32.670,0:07:34.590
Allereerst, laten we uitrekenen welke zijde

0:07:34.590,0:07:35.500
de schuine zijde is.

0:07:35.500,0:07:39.620
De schuine zijde is het tegenovergestelde van de rechtehoekige hoek.

0:07:39.620,0:07:42.060
We gaan nu dus de schuine zijde bepalen.

0:07:42.060,0:07:44.640
Laten we de schuine zijde C noemen.

0:07:44.640,0:07:47.560
En we weten dat dit een 45-45-90 driehoek is, toch?

0:07:47.560,0:07:50.180
Want deze hoek is 45, dus deze is moet ook 45 zijn,

0:07:50.180,0:07:54.620
want 45 + 90 + 90 = 180.

0:07:54.620,0:07:58.840
Dit is dus een 45-45-90 driehoek, en we weten dat een van de zijden

0:07:58.840,0:08:05.880
dit kan zowel A als B zijn, we weten dat 8 = √2 ÷ 2 × C

0:08:05.880,0:08:10.030
8 = √2 ÷ 2 × C

0:08:10.030,0:08:12.160
C is wat we proberen op te lossen.

0:08:12.160,0:08:16.400
Dus als we beide zijden vermenigvulden met deze formule

0:08:16.400,0:08:22.010
met 2× √2, - ik ben gewoon aan het vermenigvuldigen

0:08:22.010,0:08:23.600
met the inverse of the coefficient on C.

0:08:23.600,0:08:25.750
Want de √ 2 heft de √2 op

0:08:25.750,0:08:28.430
deze 2 heft zichzelf op met deze 2.

0:08:28.430,0:08:37.640
We krijgen 2 × 8, 16 ÷ √2 = C

0:08:37.640,0:08:40.200
Wat klopt, maar zoals ik je liet zien, mensen

0:08:40.200,0:08:42.120
houden niet van irrationele getallen in de noemer.

0:08:42.120,0:08:46.250
Dus we kunnen zeggen C = 16 ÷ √2 × √2 ÷ √2

0:08:46.250,0:08:51.290
C = 16 √2 × √2 ÷ √2

0:08:51.290,0:08:58.790
Dit = 16 √2 ÷ 2

0:08:58.790,0:09:04.330
Wat hetzelfde is als 8 √2

0:09:04.330,0:09:10.170
C in dit geval is 8 √2

0:09:10.170,0:09:13.790
We weten ook dat, dit een 45-45-90 driehoek is,

0:09:13.790,0:09:16.700
deze zijde is 8

0:09:16.700,0:09:17.940
Hopelijk is dit duidelijk.

0:09:17.940,0:09:19.740
In de volgende presentatie laat ik

0:09:19.740,0:09:20.680
verschillende types[br]driehoeken zien.

0:09:20.680,0:09:22.900
Ik kan ook starten met meer voorbeelden

0:09:22.900,0:09:25.080
van dit, want ik heb het gevoel dat ik dit iets te gehaast heb gedaan.

0:09:25.080,0:09:28.450
In ieder geval, ik zie je snel in de volgende presentatie.