-
Vítám vás na přednášce o kvadratické rovnici.
-
Spojení kvadratická rovnice
-
zní velmi složitě.
-
A až jednu poprvé uvidíte, řeknete si:
-
Nejenom, že to zní složitě,
-
ono to složité je.
-
Snad vám tato lekce ukáže,
-
že to není tak složité.
-
Někdy příště Vám ukážu,
-
jak se odvozuje.
-
Už dříve jste se naučili, jak rozložit
-
rovnici druhého stupně.
-
Už víte, že když mám např. X na druhou mínus X
-
mínus 6 rovná se 0.
-
Tato rovnice, X na druhou mínus X mínus 6 rovná se 0,
-
se dá rozložit na X mínus 3 a
-
X plus 2 rovná se 0
-
Což znamená buď, že X mínus 3 je 0, nebo, že
-
X plus 2 rovná se 0.
-
Takže X mínus 3 je 0, nebo X plus 2 je 0.
-
Takže X rovná se 3 nebo mínus 2.
-
Graficky to lze vyjádřit pomocí funkce f(x)
-
f(X) je rovno X na druhou mínus X mínus 6
-
Toto je osa f(X).
-
Možná ji znáte spíše jako osu Y, ale
-
na tom teď nezáleží.
-
A toto je osa X.
-
Graf této fce, X na druhou, mínus X,
-
mínus 6 bude vypadat asi takto.
-
Minimum fce je Y rovno mínus 6.
-
A graf bude vypadat asi takto.
-
A dál směrem nahoru.
-
Přes hodnotu mínus 6 prochází proto, že když X je 0,
-
Y je rovno mínus 6.
-
Z toho vidím, že tímto bodem prochází.
-
Dále vím, že Y je rovno 0
-
podél osy X.
-
Protože toto je 1.
-
Toto je 0.
-
Toto je mínus 1
-
Znovu, tady je Y rovno 0,
-
podél osy X.
-
A víme, že se rovná 0 v bodech X je rovno 3 a
-
X je rovno mínus 2.
-
To jsme před chvílí spočítali.
-
Zřejmě, když jsme rozkládali, neuvědomili
-
jsme si, co se děje graficky.
-
Řekli jsme si, že Y je rovno této funkci, porovnáváme
-
ji s 0.
-
Otázka zní, kdy je tato funkce
-
rovna nule?
-
Kdy je rovna nule?
-
No, rovná se nule v těchto bodech, že ano?
-
Protože v nich je Y rovno nule.
-
Tedy, to co jsme udělali při řešení rozkladem je,
-
že jsme zjistili ve kterých bodech X je Y
-
rovno nule, jsou to tyto dva body.
-
Teď trochu terminologie, také se jim říká
-
kořeny f(x), nebo-li Y.
-
Shrňme si to.
-
Takže mám například f(x) je rovno X na druhou plus 4X plus 4.
-
A ptám se, jaké jsou kořeny
-
dané funkce f(X)?
-
To je to samé jako se ptát, kde Y
-
protíná osu X?
-
A tu to protíná, když Y
-
je rovno nule, správně?
-
Pokud se zamyslíte nad minulým grafem.
-
Řekněme, že Y je rovno 0, pak můžeme
-
říct, že 0 se rovná X na druhou plus 4X plus 4.
-
Aa to přece můžeme rozložit, bude to X
-
plus 2 krát X plus 2.
-
Víme tedy, že je to rovno nule, když X je rovno mínus 2.
-
X = -2
-
No takto by se to psát nemělo. Prostě X = -2.
-
Takže víme jak najít kořeny, pokud se dá
-
rovnice snadno rozložit.
-
Pojďme to zkusit na rovnici, která se
-
nedá tak snadno rozložit.
-
Zkusme f(X) je rovno mínus 10X na druhou
-
mínus 9X plus 1.
-
Na první pohled vidím, že i kdybych to vydělil 10ti,
-
Dostal bych zlomky.
-
Je těžké rozložit tuto rovnici.
-
A toto je právě kvadratická rovnice, nebo-li
-
polynom druhého stupně.
-
Pojďme to zkusit vyřešit.
-
Protože chceme zjistit kořeny.
-
Mínus 10X na druhou mínus 9X plus 1.
-
Hledáme hodnoty X, pro které je
-
rovnice rovna nule.
-
A na to použijeme pomlčku zvanou kvadratická rovnice.
-
Teď vám řeknu jednu z věcí v matematice,
-
kterou je důležité si zapamatovat.
-
Kvadratická rovnice nám říká, že její kořeny
-
jsou rovny -- zobecněme to na
-
AX na druhou plus BX plus C je rovno 0.
-
Takže v našem případě: A je mínus 10.
-
B je mínus 9 a c je 1.
-
Vzorec je: kořeny X jsou rovny mínus B plus/mínus
-
odmocnina z B na druhou mínus 4 krát A krát C,
-
to celé lomené 2A.
-
Vypadá to sice komplikovaně, ale čím častěji to používáte,
-
zjistíte, že to není tak hrozné.
-
To je důležité si zapamatovat.
-
Aplikujme to tedy na náš příklad,
-
který jsme před chvílí napsali.
-
Jak vidíme,
-
A je pouze koeficient u X na druhou
-
B je u X a C je konstanta.
-
Zkusme to tedy spočítat.
-
Kolik je B?
-
No, B je mínus 9.
-
Tady to vidíme.
-
B je mínus 9, A je mínus 10
-
C je jedna.
-
Mám pravdu?
-
Takže, B je mínus 9 -- je to mínus mínus 9
-
plus/mínus odmocnina z mínus 9 na druhou.
-
To je 81.
-
mínus 4 krát A.
-
A je mínus 10.
-
Mínus 10 krát c, což je jedna.
-
Vím, že je to bordel, ale snad
-
to chápete.
-
To celé lomeno 2A.
-
No, A je mínus 10, takže 2 krát A je mínus 20.
-
Zjednodušme si to.
-
Mínus krát mínus 9, to je plus 9.
-
Plus/mínus odmocnina z 81
-
Máme tu mínus 4 krát mínus 10.
-
to má být mínus 10.
-
Fakt promiňte, je to zprasený :D
-
krát 1.
-
Takže mínus 4 krát mínus 10 je 40, plus 40.
-
Plus 40.
-
To vše lomeno mínus 20.
-
Dobře, 81 plus 40 je 121.
-
Čili 9 plus mínus odmocnina z
-
121 lomeno mínus 20.
-
Odmocnina z 121 je 11.
-
Přesunu se sem.
-
Snad se neztratíte.
-
Ok, 9 plus/mínus 11 lomeno 20.
-
Za prvé,, 9 plus 11 lomeno mínus 20, to máme
-
9 plus 11 je 20, takže 20 lomeno mínus 20.
-
To se rovná -1.
-
To je tedy první kořen.
-
tady to je 9 plus -- protože je to plus/mínus,
-
A druhý kořen bude 9 mínus 11 lomeno mínus 20.
-
A to je -2 lomeno -20.
-
A to se rovná 1 lomeno 10.
-
A to je druhý kořen.
-
Z grafu bychom viděli, že
-
fce protíná osu X.
-
Nebo-li Y je rovno nule v bodech X je mínus
-
1 a X je 1/10.
-
Ve druhé části vám ukážu hodně příkladů,
-
protože si myslím, že jsem vás spíš zmátl,
-
tímto příkladem.
-
Takže se uvidíme ve druhé části používání
-
kvadratické rovnice.
-
Přeložil M4NIC.
