Vítám vás na přednášce o kvadratické rovnici.
Spojení kvadratická rovnice
zní velmi složitě.
A až jednu poprvé uvidíte, řeknete si:
Nejenom, že to zní složitě,
ono to složité je.
Snad vám tato lekce ukáže,
že to není tak složité.
Někdy příště Vám ukážu,
jak se odvozuje.
Už dříve jste se naučili, jak rozložit
rovnici druhého stupně.
Už víte, že když mám např. X na druhou mínus X
mínus 6 rovná se 0.
Tato rovnice, X na druhou mínus X mínus 6 rovná se 0,
se dá rozložit na X mínus 3 a
X plus 2 rovná se 0
Což znamená buď, že X mínus 3 je 0, nebo, že
X plus 2 rovná se 0.
Takže X mínus 3 je 0, nebo X plus 2 je 0.
Takže X rovná se 3 nebo mínus 2.
Graficky to lze vyjádřit pomocí funkce f(x)
f(X) je rovno X na druhou mínus X mínus 6
Toto je osa f(X).
Možná ji znáte spíše jako osu Y, ale
na tom teď nezáleží.
A toto je osa X.
Graf této fce, X na druhou, mínus X,
mínus 6 bude vypadat asi takto.
Minimum fce je Y rovno mínus 6.
A graf bude vypadat asi takto.
A dál směrem nahoru.
Přes hodnotu mínus 6 prochází proto, že když X je 0,
Y je rovno mínus 6.
Z toho vidím, že tímto bodem prochází.
Dále vím, že Y je rovno 0
podél osy X.
Protože toto je 1.
Toto je 0.
Toto je mínus 1
Znovu, tady je Y rovno 0,
podél osy X.
A víme, že se rovná 0 v bodech X je rovno 3 a
X je rovno mínus 2.
To jsme před chvílí spočítali.
Zřejmě, když jsme rozkládali, neuvědomili
jsme si, co se děje graficky.
Řekli jsme si, že Y je rovno této funkci, porovnáváme
ji s 0.
Otázka zní, kdy je tato funkce
rovna nule?
Kdy je rovna nule?
No, rovná se nule v těchto bodech, že ano?
Protože v nich je Y rovno nule.
Tedy, to co jsme udělali při řešení rozkladem je,
že jsme zjistili ve kterých bodech X je Y
rovno nule, jsou to tyto dva body.
Teď trochu terminologie, také se jim říká
kořeny f(x), nebo-li Y.
Shrňme si to.
Takže mám například f(x) je rovno X na druhou plus 4X plus 4.
A ptám se, jaké jsou kořeny
dané funkce f(X)?
To je to samé jako se ptát, kde Y
protíná osu X?
A tu to protíná, když Y
je rovno nule, správně?
Pokud se zamyslíte nad minulým grafem.
Řekněme, že Y je rovno 0, pak můžeme
říct, že 0 se rovná X na druhou plus 4X plus 4.
Aa to přece můžeme rozložit, bude to X
plus 2 krát X plus 2.
Víme tedy, že je to rovno nule, když X je rovno mínus 2.
X = -2
No takto by se to psát nemělo. Prostě X = -2.
Takže víme jak najít kořeny, pokud se dá
rovnice snadno rozložit.
Pojďme to zkusit na rovnici, která se
nedá tak snadno rozložit.
Zkusme f(X) je rovno mínus 10X na druhou
mínus 9X plus 1.
Na první pohled vidím, že i kdybych to vydělil 10ti,
Dostal bych zlomky.
Je těžké rozložit tuto rovnici.
A toto je právě kvadratická rovnice, nebo-li
polynom druhého stupně.
Pojďme to zkusit vyřešit.
Protože chceme zjistit kořeny.
Mínus 10X na druhou mínus 9X plus 1.
Hledáme hodnoty X, pro které je
rovnice rovna nule.
A na to použijeme pomlčku zvanou kvadratická rovnice.
Teď vám řeknu jednu z věcí v matematice,
kterou je důležité si zapamatovat.
Kvadratická rovnice nám říká, že její kořeny
jsou rovny -- zobecněme to na
AX na druhou plus BX plus C je rovno 0.
Takže v našem případě: A je mínus 10.
B je mínus 9 a c je 1.
Vzorec je: kořeny X jsou rovny mínus B plus/mínus
odmocnina z B na druhou mínus 4 krát A krát C,
to celé lomené 2A.
Vypadá to sice komplikovaně, ale čím častěji to používáte,
zjistíte, že to není tak hrozné.
To je důležité si zapamatovat.
Aplikujme to tedy na náš příklad,
který jsme před chvílí napsali.
Jak vidíme,
A je pouze koeficient u X na druhou
B je u X a C je konstanta.
Zkusme to tedy spočítat.
Kolik je B?
No, B je mínus 9.
Tady to vidíme.
B je mínus 9, A je mínus 10
C je jedna.
Mám pravdu?
Takže, B je mínus 9 -- je to mínus mínus 9
plus/mínus odmocnina z mínus 9 na druhou.
To je 81.
mínus 4 krát A.
A je mínus 10.
Mínus 10 krát c, což je jedna.
Vím, že je to bordel, ale snad
to chápete.
To celé lomeno 2A.
No, A je mínus 10, takže 2 krát A je mínus 20.
Zjednodušme si to.
Mínus krát mínus 9, to je plus 9.
Plus/mínus odmocnina z 81
Máme tu mínus 4 krát mínus 10.
to má být mínus 10.
Fakt promiňte, je to zprasený :D
krát 1.
Takže mínus 4 krát mínus 10 je 40, plus 40.
Plus 40.
To vše lomeno mínus 20.
Dobře, 81 plus 40 je 121.
Čili 9 plus mínus odmocnina z
121 lomeno mínus 20.
Odmocnina z 121 je 11.
Přesunu se sem.
Snad se neztratíte.
Ok, 9 plus/mínus 11 lomeno 20.
Za prvé,, 9 plus 11 lomeno mínus 20, to máme
9 plus 11 je 20, takže 20 lomeno mínus 20.
To se rovná -1.
To je tedy první kořen.
tady to je 9 plus -- protože je to plus/mínus,
A druhý kořen bude 9 mínus 11 lomeno mínus 20.
A to je -2 lomeno -20.
A to se rovná 1 lomeno 10.
A to je druhý kořen.
Z grafu bychom viděli, že
fce protíná osu X.
Nebo-li Y je rovno nule v bodech X je mínus
1 a X je 1/10.
Ve druhé části vám ukážu hodně příkladů,
protože si myslím, že jsem vás spíš zmátl,
tímto příkladem.
Takže se uvidíme ve druhé části používání
kvadratické rovnice.
Přeložil M4NIC.