Return to Video

Similar triangles (part 2)

  • 0:05 - 0:06
    И снова здравствуйте!
  • 0:06 - 0:08
    Мы остановились на том, что сказали,
  • 0:08 - 0:11
    что здесь у нас этот угол, и можем ли мы выяснить,
  • 0:11 - 0:15
    какой из этих углов равен нашему углу?
  • 0:15 - 0:18
    Мы знаем, что это секущая,
  • 0:18 - 0:21
    и у нас есть параллельные прямые.
  • 0:21 - 0:23
    Внутренние накрест лежащие:
  • 0:23 - 0:27
    вон один, а это второй внутренний накрест лежащий угол.
  • 0:27 - 0:28
    Мы знаем, что они равны.
  • 0:28 - 0:30
    Я не буду пока это зарисовывать.
  • 0:30 - 0:33
    Если вы случайно забыли, где внутренние накрест лежащие,
  • 0:33 - 0:35
    вы можете вспомнить о соответственных углах,
  • 0:35 - 0:37
    которые равны.
  • 0:37 - 0:40
    Можете сказать, что этот угол также равен этому углу.
  • 0:40 - 0:43
    Да и потом вы могли бы использовать вертикальные углы опять же,
  • 0:43 - 0:46
    чтобы обойтись без внутренних накрест лежащих.
  • 0:46 - 0:47
    Я покажу, как это делается.
  • 0:47 - 0:48
    В математике классно то,
  • 0:48 - 0:50
    что она прекрасно подходит людям,
  • 0:50 - 0:51
    которые плохо запоминают,
  • 0:51 - 0:53
    потому что нужно запомнить лишь парочку вещей,
  • 0:53 - 0:56
    а остальное будет просто из них следовать.
  • 0:56 - 0:58
    Итак, тот угол равен этому.
  • 0:58 - 1:00
    Потому что они – внутренние накрест лежащие.
  • 1:00 - 1:05
    И это – сторона, соответствующая нашему углу.
  • 1:05 - 1:08
    Наконец, что насчёт этого угла?
  • 1:08 - 1:13
    Я обозначу его тремя чёрточками. Раз, два, три.
  • 1:13 - 1:16
    Какому углу в этом треугольнике он равен?
  • 1:16 - 1:19
    Тот же ход мыслей: внутренние накрест лежащие углы
  • 1:19 - 1:21
    при этих параллельных прямых.
  • 1:21 - 1:22
    Запомните, что единственная причина,
  • 1:22 - 1:24
    по которой мы можем это утверждать –
  • 1:24 - 1:26
    это то, что я вам сказал с самого начала:
  • 1:26 - 1:29
    эта прямая и эта прямая параллельны. Правильно?
  • 1:29 - 1:32
    Иначе мы не могли бы это утверждать.
  • 1:32 - 1:35
    Но, так как это внутренние накрест лежащие углы,
  • 1:35 - 1:36
    мы знаем, что они равны.
  • 1:36 - 1:40
    Хорошо. Мы знаем, что эти треугольники подобные.
  • 1:40 - 1:43
    И мне даже не пришлось сравнивать все три угла.
  • 1:43 - 1:45
    Я сравнил два, и этого должно было быть достаточно,
  • 1:45 - 1:48
    чтобы понять, что они подобные.
  • 1:48 - 1:49
    Потому что, если первые два угла равны,
  • 1:49 - 1:52
    значит, третьи тоже должны быть равны.
  • 1:52 - 1:55
    Теперь посмотрим, как мы можем использовать
  • 1:55 - 1:58
    эти данные, чтобы разобраться с пропорцией.
  • 1:58 - 1:59
    Глянем.
  • 1:59 - 2:01
    Давайте раскрасим стороны тем же цветом,
  • 2:01 - 2:04
    что и углы, чтобы не запутаться.
  • 2:04 - 2:08
    Эта сторона будет оранжевая. Правильно?
  • 2:08 - 2:11
    Эта - голубая. Эта - красная. Хорошо.
  • 2:11 - 2:14
    Теперь у нас всё обозначено соответствующими цветами.
  • 2:14 - 2:17
    И, может быть, это вас немного запутало,
  • 2:17 - 2:19
    но это нам пригодится, так как мы увидим,
  • 2:19 - 2:21
    что эти треугольники перевёрнуты
  • 2:21 - 2:23
    по отношению друг к другу.
  • 2:23 - 2:25
    Посмотрим, что мы можем сделать.
  • 2:25 - 2:29
    Нам нужно определить эту оранжевую сторону.
  • 2:29 - 2:34
    Давайте назовём её «х», х - ?
  • 2:34 - 2:38
    Эта оранжевая соответствует этой стороне вот здесь.
  • 2:38 - 2:39
    Потому что она находится напротив угла,
  • 2:39 - 2:42
    который равен этому углу.
  • 2:42 - 2:44
    То есть, они лежат напротив одинаковых углов.
  • 2:44 - 2:45
    Именно так мы узнали,
  • 2:45 - 2:48
    что они соответствуют друг другу.
  • 2:48 - 2:52
    Поэтому мы можем сказать, что х/6 равно...
  • 2:52 - 2:54
    А теперь, какие другие стороны мы знаем?
  • 2:54 - 2:57
    Мы знаем, что эта сторона равна 4-ём.
  • 2:57 - 3:01
    Давайте-ка я её таким же цветом обозначу.
  • 3:01 - 3:04
    Мы знаем, что она равна 4.
  • 3:04 - 3:06
    И так как мы поставили х в числитель слева,
  • 3:06 - 3:10
    и 4 находится в том же треугольнике, что и этот х,
  • 3:10 - 3:11
    который мы пытаемся найти,
  • 3:11 - 3:14
    мы поставим 4 в числитель справа.
  • 3:14 - 3:16
    4 делить на что?
  • 3:16 - 3:19
    Какая сторона соответствует стороне 4?
  • 3:19 - 3:22
    Что находится напротив этого угла вот здесь?
  • 3:22 - 3:24
    Это вот этот угол. Правильно?
  • 3:24 - 3:28
    То есть этой стороне соответствует сторона 5.
  • 3:28 - 3:30
    Теперь мы можем решить пропорцию.
  • 3:30 - 3:34
    х равен... мы просто умножим обе части на 6...
  • 3:34 - 3:39
    получаем: х=24/5.
  • 3:39 - 3:42
    Неплохо. И теперь мы можем пойти ещё дальше.
  • 3:42 - 3:45
    Мы можем выяснить, чему равна вот эта сторона.
  • 3:45 - 3:47
    Эта пурпурная сторона.
  • 3:47 - 3:53
    Назовём её, скажем, «у». Не слишком изобретательно.
  • 3:53 - 3:55
    у находится напротив этого угла.
  • 3:55 - 3:59
    Значит, у соответствует стороне 8. Да?
  • 3:59 - 4:06
    Так же мы можем сказать, что у/8 равно...
  • 4:06 - 4:08
    мы можем сказать, что оно равно много чему.
  • 4:08 - 4:12
    Давайте скажем 4/5.
  • 4:12 - 4:15
    Мы могли бы, конечно, выбрать 24/5/6,
  • 4:15 - 4:17
    но это немного запутанно.
  • 4:17 - 4:19
    Хотя мы могли бы и так поступить…
  • 4:19 - 4:24
    Итак, 4/5... умножим обе части на 8 и получим:
  • 4:24 - 4:33
    у=8*4, это что? 32/5.
  • 4:33 - 4:35
    Я решил этот пример для того, чтобы показать вам,
  • 4:35 - 4:38
    что у вас не получится определить всё на глаз.
  • 4:38 - 4:40
    Иногда можно, если вы натренируетесь в этом,
  • 4:40 - 4:42
    но все же не всегда очевидно,
  • 4:42 - 4:45
    какие стороны соответствуют друг другу.
  • 4:45 - 4:46
    Всегда существует соблазн сказать,
  • 4:46 - 4:48
    что эта сторона соответствует этой стороне,
  • 4:48 - 4:50
    или эта сторона соответствует этой.
  • 4:50 - 4:52
    Но вам действительно следует внимательно посмотреть,
  • 4:52 - 4:56
    какая сторона соответствует какому углу.
  • 4:56 - 4:57
    Так любая сторона,
  • 4:57 - 5:00
    которая лежит напротив определённого угла в одном треугольнике,
  • 5:00 - 5:02
    соответствует стороне, которая лежит
  • 5:02 - 5:05
    напротив такого же угла в другом треугольнике.
  • 5:05 - 5:07
    Я много говорю, но надеюсь,
  • 5:07 - 5:11
    что какое-то представление у вас уже сложилось.
  • 5:11 - 5:15
    Давайте решим ещё одну.
  • 5:17 - 5:20
    Вначале давайте возьмём треугольники
  • 5:20 - 5:24
    и докажем себе, что эти треугольники подобны.
  • 5:24 - 5:26
    Мне нравятся параллельные прямые.
  • 5:26 - 5:31
    Давайте-ка я нарисую две параллельные прямые снова.
  • 5:31 - 5:34
    И в этот раз...
  • 5:34 - 5:41
    Вот линия. Вот так еще одна.
  • 5:41 - 5:45
    Во-первых, я сказал, что эти прямые параллельны.
  • 5:45 - 5:52
    Давайте так их и обозначим. Параллельные прямые.
  • 5:52 - 5:54
    Что мы хотим доказать, так это то,
  • 5:54 - 6:01
    что этот треугольник подобен вот этому треугольнику побольше.
  • 6:08 - 6:12
    И что интересно: они фактически перекрываются. Правильно?
  • 6:12 - 6:17
    Итак, прежде всего, знаем ли мы какие-либо углы
  • 6:17 - 6:19
    в этих треугольниках, которые равны друг другу?
  • 6:19 - 6:21
    Конечно! Вот этот угол.
  • 6:21 - 6:25
    На самом деле он у них один общий угол. Верно?
  • 6:25 - 6:26
    Потому что эти два треугольника
  • 6:26 - 6:29
    накладываются один на другой в одной точке.
  • 6:29 - 6:33
    Что ещё мы можем выяснить? Посмотрим.
  • 6:33 - 6:35
    Я не хочу перестараться с цветами, но всё же.
  • 6:35 - 6:37
    У нас есть вот этот угол.
  • 6:37 - 6:40
    Какой ещё угол равен этому углу?
  • 6:40 - 6:41
    Мы можем использовать свойства углов
  • 6:41 - 6:44
    при параллельных прямых и секущей
  • 6:44 - 6:47
    или, например, теорему, чтобы это выяснить.
  • 6:47 - 6:51
    Какому углу соответствует этот угол?
  • 6:51 - 6:55
    Вот этому углу он соответствует. Они эквиваленты.
  • 6:55 - 6:58
    И мы это выяснили с помощью наших параллельных прямых.
  • 6:58 - 7:03
    Правильно? То есть эти два угла равны.
  • 7:03 - 7:06
    И наконец - я вібрал подходящий цвет -
  • 7:06 - 7:07
    у меня есть этот угол,
  • 7:07 - 7:09
    который я обозначил тремя чёрточками.
  • 7:09 - 7:13
    То же самое: вот это соответствующий угол ему.
  • 7:13 - 7:14
    Теперь мы знаем,
  • 7:14 - 7:16
    что в этих треугольниках все три угла равны.
  • 7:16 - 7:19
    Поэтому они подобные.
  • 7:19 - 7:23
    Скажем, мы знаем вот эту сторону,
  • 7:23 - 7:26
    и я задам вам вопрос с подвохом.
  • 7:26 - 7:31
    Этот отрезок равен 5-ти.
  • 7:31 - 7:35
    Этот отрезок равен 7-ми.
  • 7:35 - 7:46
    Этот отрезок... нет, вообще не этот...
  • 7:46 - 7:51
    Этот отрезок равен... даже не знаю...
  • 7:51 - 7:56
    какое-нибудь хорошее число - равен 12-ти.
  • 7:56 - 8:06
    И этот отрезок равен, скажем, 9-ти, нет, 6-ти.
  • 8:06 - 8:09
    И мы хотим выяснить, чему равен вот этот.
  • 8:09 - 8:11
    Как нам это сделать?
  • 8:11 - 8:15
    Я запутал задачу, добавив все эти фигурные скобочки.
  • 8:15 - 8:19
    Итак, мы уже знаем, что эти два треугольника – подобные.
  • 8:19 - 8:20
    Мы сможем использовать эту информацию,
  • 8:20 - 8:22
    чтобы составить пропорцию.
  • 8:22 - 8:26
    Назовём эту сторону «х». Так?
  • 8:26 - 8:27
    Что нам делать теперь?
  • 8:27 - 8:29
    Как вы думаете, какой стороне
  • 8:29 - 8:33
    в маленьком треугольнике будет соответствовать эта сторона?
  • 8:33 - 8:38
    Она соответствует этой стороне. Верно?
  • 8:38 - 8:42
    Давайте я нарисую правильным цветом.
  • 8:42 - 8:45
    Выделим оранжевым,
  • 8:47 - 8:50
    этот оранжевый угол соответствует этому отрезку.
  • 8:50 - 8:52
    А этот оранжевый угол соответствует
  • 8:52 - 8:57
    всей этой стороне, этому большому отрезку.
  • 8:57 - 9:00
    Если мы рассмотрим большой треугольник,
  • 9:00 - 9:02
    сторона большого треугольника - это не просто х.
  • 9:02 - 9:03
    Да?
  • 9:03 - 9:06
    Потому что это не покроет всю сторону этого треугольника.
  • 9:06 - 9:09
    Это х+5. Это целая сторона. Да?
  • 9:09 - 9:12
    х+5 поделить на соответствующую сторону
  • 9:12 - 9:15
    в маленьком треугольнике.
  • 9:15 - 9:17
    Соответствующая сторона в маленьком треугольнике –
  • 9:17 - 9:21
    это вот это, значит поделить на 5.
  • 9:21 - 9:26
    Равно - и потом мы можем сказать - 12.
  • 9:26 - 9:29
    Равно 12, потому что это соответствует
  • 9:29 - 9:33
    этому углу в большом треугольнике.
  • 9:33 - 9:34
    Поделить на что?
  • 9:34 - 9:36
    Поделить на 6, потому что она соответствует
  • 9:36 - 9:40
    этому углу в треугольнике поменьше.
  • 9:40 - 9:42
    Это становится двойкой.
  • 9:42 - 9:46
    Получается: х+5=10. х=5.
  • 9:46 - 9:49
    Вот так вот. Пока что все.
  • 9:49 - 9:50
    Надеюсь, что я смог помочь вам
  • 9:50 - 9:54
    хотя бы чуть-чуть разобраться в подобных треугольниках.
  • 9:54 - 5999:59
    До скорого!
Title:
Similar triangles (part 2)
Description:

More on similar triangles
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:54

Russian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.