1
00:00:05,000 --> 00:00:06,067
И снова здравствуйте!

2
00:00:06,067 --> 00:00:08,016
Мы остановились на том, что сказали,

3
00:00:08,016 --> 00:00:11,088
что здесь у нас этот угол, и можем ли мы выяснить,

4
00:00:11,088 --> 00:00:15,058
какой из этих углов равен нашему углу?

5
00:00:15,058 --> 00:00:18,083
Мы знаем, что это секущая,

6
00:00:18,083 --> 00:00:21,035
и у нас есть параллельные прямые.

7
00:00:21,035 --> 00:00:23,033
Внутренние накрест лежащие:

8
00:00:23,033 --> 00:00:27,009
вон один, а это второй внутренний накрест лежащий угол.

9
00:00:27,009 --> 00:00:28,060
Мы знаем, что они равны.

10
00:00:28,060 --> 00:00:30,058
Я не буду пока это зарисовывать.

11
00:00:30,058 --> 00:00:33,041
Если вы случайно забыли, где внутренние накрест лежащие,

12
00:00:33,041 --> 00:00:35,050
вы можете вспомнить о соответственных углах,

13
00:00:35,050 --> 00:00:37,000
которые равны.

14
00:00:37,000 --> 00:00:40,075
Можете сказать, что этот угол также равен этому углу.

15
00:00:40,075 --> 00:00:43,024
Да и потом вы могли бы использовать вертикальные углы опять же,

16
00:00:43,024 --> 00:00:46,007
чтобы обойтись без внутренних накрест лежащих.

17
00:00:46,007 --> 00:00:47,081
Я покажу, как это делается.

18
00:00:47,081 --> 00:00:48,083
В математике классно то,

19
00:00:48,083 --> 00:00:50,073
что она прекрасно подходит людям,

20
00:00:50,073 --> 00:00:51,096
которые плохо запоминают,

21
00:00:51,096 --> 00:00:53,084
потому что нужно запомнить лишь парочку вещей,

22
00:00:53,084 --> 00:00:56,003
а остальное будет просто из них следовать.

23
00:00:56,003 --> 00:00:58,081
Итак, тот угол равен этому.

24
00:00:58,081 --> 00:01:00,096
Потому что они – внутренние накрест лежащие.

25
00:01:00,096 --> 00:01:05,050
И это – сторона, соответствующая нашему углу.

26
00:01:05,050 --> 00:01:08,035
Наконец, что насчёт этого угла?

27
00:01:08,035 --> 00:01:13,064
Я обозначу его тремя чёрточками. Раз, два, три.

28
00:01:13,064 --> 00:01:16,083
Какому углу в этом треугольнике он равен?

29
00:01:16,083 --> 00:01:19,057
Тот же ход мыслей: внутренние накрест лежащие углы

30
00:01:19,057 --> 00:01:21,035
при этих параллельных прямых.

31
00:01:21,035 --> 00:01:22,084
Запомните, что единственная причина,

32
00:01:22,084 --> 00:01:24,051
по которой мы можем это утверждать –

33
00:01:24,051 --> 00:01:26,049
это то, что я вам сказал с самого начала:

34
00:01:26,049 --> 00:01:29,079
эта прямая и эта прямая параллельны. Правильно?

35
00:01:29,079 --> 00:01:32,031
Иначе мы не могли бы это утверждать.

36
00:01:32,031 --> 00:01:35,000
Но, так как это внутренние накрест лежащие углы,

37
00:01:35,000 --> 00:01:36,066
мы знаем, что они равны.

38
00:01:36,066 --> 00:01:40,033
Хорошо. Мы знаем, что эти треугольники подобные.

39
00:01:40,033 --> 00:01:43,020
И мне даже не пришлось сравнивать все три угла.

40
00:01:43,020 --> 00:01:45,092
Я сравнил два, и этого должно было быть достаточно,

41
00:01:45,092 --> 00:01:48,041
чтобы понять, что они подобные.

42
00:01:48,041 --> 00:01:49,092
Потому что, если первые два угла равны,

43
00:01:49,092 --> 00:01:52,050
значит, третьи тоже должны быть равны.

44
00:01:52,050 --> 00:01:55,043
Теперь посмотрим, как мы можем использовать

45
00:01:55,043 --> 00:01:58,081
эти данные, чтобы разобраться с пропорцией.

46
00:01:58,081 --> 00:01:59,087
Глянем.

47
00:01:59,087 --> 00:02:01,083
Давайте раскрасим стороны тем же цветом,

48
00:02:01,083 --> 00:02:04,025
что и углы, чтобы не запутаться.

49
00:02:04,025 --> 00:02:08,080
Эта сторона будет оранжевая. Правильно?

50
00:02:08,080 --> 00:02:11,087
Эта - голубая. Эта - красная. Хорошо.

51
00:02:11,087 --> 00:02:14,074
Теперь у нас всё обозначено соответствующими цветами.

52
00:02:14,074 --> 00:02:17,028
И, может быть, это вас немного запутало,

53
00:02:17,028 --> 00:02:19,057
но это нам пригодится, так как мы увидим,

54
00:02:19,057 --> 00:02:21,008
что эти треугольники перевёрнуты

55
00:02:21,008 --> 00:02:23,066
по отношению друг к другу.

56
00:02:23,066 --> 00:02:25,065
Посмотрим, что мы можем сделать.

57
00:02:25,065 --> 00:02:29,080
Нам нужно определить эту оранжевую сторону.

58
00:02:29,080 --> 00:02:34,057
Давайте назовём её «х», х - ?

59
00:02:34,057 --> 00:02:38,008
Эта оранжевая соответствует этой стороне вот здесь.

60
00:02:38,008 --> 00:02:39,091
Потому что она находится напротив угла,

61
00:02:39,091 --> 00:02:42,040
который равен этому углу.

62
00:02:42,040 --> 00:02:44,084
То есть, они лежат напротив одинаковых углов.

63
00:02:44,084 --> 00:02:45,090
Именно так мы узнали,

64
00:02:45,090 --> 00:02:48,041
что они соответствуют друг другу.

65
00:02:48,041 --> 00:02:52,015
Поэтому мы можем сказать, что х/6 равно...

66
00:02:52,015 --> 00:02:54,072
А теперь, какие другие стороны мы знаем?

67
00:02:54,072 --> 00:02:57,033
Мы знаем, что эта сторона равна 4-ём.

68
00:02:57,033 --> 00:03:01,028
Давайте-ка я её таким же цветом обозначу.

69
00:03:01,028 --> 00:03:04,024
Мы знаем, что она равна 4.

70
00:03:04,024 --> 00:03:06,080
И так как мы поставили х в числитель слева,

71
00:03:06,080 --> 00:03:10,040
и 4 находится в том же треугольнике, что и этот х,

72
00:03:10,040 --> 00:03:11,096
который мы пытаемся найти,

73
00:03:11,096 --> 00:03:14,074
мы поставим 4 в числитель справа.

74
00:03:14,074 --> 00:03:16,065
4 делить на что?

75
00:03:16,065 --> 00:03:19,015
Какая сторона соответствует стороне 4?

76
00:03:19,015 --> 00:03:22,040
Что находится напротив этого угла вот здесь?

77
00:03:22,040 --> 00:03:24,012
Это вот этот угол. Правильно?

78
00:03:24,012 --> 00:03:28,024
То есть этой стороне соответствует сторона 5.

79
00:03:28,024 --> 00:03:30,058
Теперь мы можем решить пропорцию.

80
00:03:30,058 --> 00:03:34,090
х равен... мы просто умножим обе части на 6...

81
00:03:34,090 --> 00:03:39,087
получаем: х=24/5.

82
00:03:39,087 --> 00:03:42,065
Неплохо. И теперь мы можем пойти ещё дальше.

83
00:03:42,065 --> 00:03:45,081
Мы можем выяснить, чему равна вот эта сторона.

84
00:03:45,081 --> 00:03:47,090
Эта пурпурная сторона.

85
00:03:47,090 --> 00:03:53,056
Назовём её, скажем, «у». Не слишком изобретательно.

86
00:03:53,056 --> 00:03:55,096
у находится напротив этого угла.

87
00:03:55,096 --> 00:03:59,074
Значит, у соответствует стороне 8. Да?

88
00:03:59,074 --> 00:04:06,015
Так же мы можем сказать, что у/8 равно...

89
00:04:06,015 --> 00:04:08,066
мы можем сказать, что оно равно много чему.

90
00:04:08,066 --> 00:04:12,008
Давайте скажем 4/5.

91
00:04:12,008 --> 00:04:15,012
Мы могли бы, конечно, выбрать 24/5/6,

92
00:04:15,012 --> 00:04:17,036
но это немного запутанно.

93
00:04:17,036 --> 00:04:19,090
Хотя мы могли бы и так поступить…

94
00:04:19,090 --> 00:04:24,040
Итак, 4/5... умножим обе части на 8 и получим:

95
00:04:24,040 --> 00:04:33,041
у=8*4, это что? 32/5.

96
00:04:33,041 --> 00:04:35,073
Я решил этот пример для того, чтобы показать вам,

97
00:04:35,073 --> 00:04:38,089
что у вас не получится определить всё на глаз.

98
00:04:38,089 --> 00:04:40,089
Иногда можно, если вы натренируетесь в этом,

99
00:04:40,089 --> 00:04:42,088
но все же не всегда очевидно,

100
00:04:42,088 --> 00:04:45,007
какие стороны соответствуют друг другу.

101
00:04:45,007 --> 00:04:46,088
Всегда существует соблазн сказать,

102
00:04:46,088 --> 00:04:48,058
что эта сторона соответствует этой стороне,

103
00:04:48,058 --> 00:04:50,062
или эта сторона соответствует этой.

104
00:04:50,062 --> 00:04:52,073
Но вам действительно следует внимательно посмотреть,

105
00:04:52,073 --> 00:04:56,016
какая сторона соответствует какому углу.

106
00:04:56,016 --> 00:04:57,016
Так любая сторона,

107
00:04:57,016 --> 00:05:00,090
которая лежит напротив определённого угла в одном треугольнике,

108
00:05:00,090 --> 00:05:02,024
соответствует стороне, которая лежит

109
00:05:02,024 --> 00:05:05,082
напротив такого же угла в другом треугольнике.

110
00:05:05,082 --> 00:05:07,040
Я много говорю, но надеюсь,

111
00:05:07,040 --> 00:05:11,051
что какое-то представление у вас уже сложилось.

112
00:05:11,051 --> 00:05:15,045
Давайте решим ещё одну.

113
00:05:17,063 --> 00:05:20,041
Вначале давайте возьмём треугольники

114
00:05:20,041 --> 00:05:24,040
и докажем себе, что эти треугольники подобны.

115
00:05:24,040 --> 00:05:26,051
Мне нравятся параллельные прямые.

116
00:05:26,051 --> 00:05:31,016
Давайте-ка я нарисую две параллельные прямые снова.

117
00:05:31,016 --> 00:05:34,044
И в этот раз...

118
00:05:34,044 --> 00:05:41,007
Вот линия. Вот так еще одна.

119
00:05:41,007 --> 00:05:45,049
Во-первых, я сказал, что эти прямые параллельны.

120
00:05:45,049 --> 00:05:52,080
Давайте так их и обозначим. Параллельные прямые.

121
00:05:52,080 --> 00:05:54,019
Что мы хотим доказать, так это то,

122
00:05:54,019 --> 00:06:01,081
что этот треугольник подобен вот этому треугольнику побольше.

123
00:06:08,092 --> 00:06:12,065
И что интересно: они фактически перекрываются. Правильно?

124
00:06:12,065 --> 00:06:17,016
Итак, прежде всего, знаем ли мы какие-либо углы

125
00:06:17,016 --> 00:06:19,070
в этих треугольниках, которые равны друг другу?

126
00:06:19,070 --> 00:06:21,089
Конечно! Вот этот угол.

127
00:06:21,089 --> 00:06:25,004
На самом деле он у них один общий угол. Верно?

128
00:06:25,004 --> 00:06:26,027
Потому что эти два треугольника

129
00:06:26,027 --> 00:06:29,095
накладываются один на другой в одной точке.

130
00:06:29,095 --> 00:06:33,004
Что ещё мы можем выяснить? Посмотрим.

131
00:06:33,004 --> 00:06:35,097
Я не хочу перестараться с цветами, но всё же.

132
00:06:35,097 --> 00:06:37,073
У нас есть вот этот угол.

133
00:06:37,073 --> 00:06:40,036
Какой ещё угол равен этому углу?

134
00:06:40,036 --> 00:06:41,082
Мы можем использовать свойства углов

135
00:06:41,082 --> 00:06:44,088
при параллельных прямых и секущей

136
00:06:44,088 --> 00:06:47,090
или, например, теорему, чтобы это выяснить.

137
00:06:47,090 --> 00:06:51,048
Какому углу соответствует этот угол?

138
00:06:51,048 --> 00:06:55,089
Вот этому углу он соответствует. Они эквиваленты.

139
00:06:55,089 --> 00:06:58,077
И мы это выяснили с помощью наших параллельных прямых.

140
00:06:58,077 --> 00:07:03,041
Правильно? То есть эти два угла равны.

141
00:07:03,041 --> 00:07:06,024
И наконец - я вібрал подходящий цвет -

142
00:07:06,024 --> 00:07:07,064
у меня есть этот угол,

143
00:07:07,064 --> 00:07:09,016
который я обозначил тремя чёрточками.

144
00:07:09,016 --> 00:07:13,024
То же самое: вот это соответствующий угол ему.

145
00:07:13,024 --> 00:07:14,012
Теперь мы знаем,

146
00:07:14,012 --> 00:07:16,097
что в этих треугольниках все три угла равны.

147
00:07:16,097 --> 00:07:19,051
Поэтому они подобные.

148
00:07:19,051 --> 00:07:23,031
Скажем, мы знаем вот эту сторону,

149
00:07:23,031 --> 00:07:26,082
и я задам вам вопрос с подвохом.

150
00:07:26,082 --> 00:07:31,037
Этот отрезок равен 5-ти.

151
00:07:31,037 --> 00:07:35,087
Этот отрезок равен 7-ми.

152
00:07:35,087 --> 00:07:46,038
Этот отрезок... нет, вообще не этот...

153
00:07:46,038 --> 00:07:51,094
Этот отрезок равен... даже не знаю...

154
00:07:51,094 --> 00:07:56,092
какое-нибудь хорошее число - равен 12-ти.

155
00:07:56,092 --> 00:08:06,032
И этот отрезок равен, скажем, 9-ти, нет, 6-ти.

156
00:08:06,032 --> 00:08:09,096
И мы хотим выяснить, чему равен вот этот.

157
00:08:09,096 --> 00:08:11,051
Как нам это сделать?

158
00:08:11,051 --> 00:08:15,051
Я запутал задачу, добавив все эти фигурные скобочки.

159
00:08:15,051 --> 00:08:19,016
Итак, мы уже знаем, что эти два треугольника – подобные.

160
00:08:19,016 --> 00:08:20,073
Мы сможем использовать эту информацию,

161
00:08:20,073 --> 00:08:22,051
чтобы составить пропорцию.

162
00:08:22,051 --> 00:08:26,036
Назовём эту сторону «х». Так?

163
00:08:26,036 --> 00:08:27,068
Что нам делать теперь?

164
00:08:27,068 --> 00:08:29,016
Как вы думаете, какой стороне

165
00:08:29,016 --> 00:08:33,074
в маленьком треугольнике будет соответствовать эта сторона?

166
00:08:33,074 --> 00:08:38,066
Она соответствует этой стороне. Верно?

167
00:08:38,076 --> 00:08:42,032
Давайте я нарисую правильным цветом.

168
00:08:42,032 --> 00:08:45,087
Выделим оранжевым,

169
00:08:47,024 --> 00:08:50,088
этот оранжевый угол соответствует этому отрезку.

170
00:08:50,088 --> 00:08:52,073
А этот оранжевый угол соответствует

171
00:08:52,073 --> 00:08:57,036
всей этой стороне, этому большому отрезку.

172
00:08:57,036 --> 00:09:00,025
Если мы рассмотрим большой треугольник,

173
00:09:00,025 --> 00:09:02,026
сторона большого треугольника - это не просто х.

174
00:09:02,026 --> 00:09:03,016
Да?

175
00:09:03,016 --> 00:09:06,080
Потому что это не покроет всю сторону этого треугольника.

176
00:09:06,080 --> 00:09:09,055
Это х+5. Это целая сторона. Да?

177
00:09:09,055 --> 00:09:12,065
х+5 поделить на соответствующую сторону

178
00:09:12,065 --> 00:09:15,007
в маленьком треугольнике.

179
00:09:15,007 --> 00:09:17,090
Соответствующая сторона в маленьком треугольнике –

180
00:09:17,090 --> 00:09:21,084
это вот это, значит поделить на 5.

181
00:09:21,084 --> 00:09:26,071
Равно - и потом мы можем сказать - 12.

182
00:09:26,071 --> 00:09:29,008
Равно 12, потому что это соответствует

183
00:09:29,008 --> 00:09:33,039
этому углу в большом треугольнике.

184
00:09:33,039 --> 00:09:34,090
Поделить на что?

185
00:09:34,090 --> 00:09:36,055
Поделить на 6, потому что она соответствует

186
00:09:36,055 --> 00:09:40,005
этому углу в треугольнике поменьше.

187
00:09:40,005 --> 00:09:42,056
Это становится двойкой.

188
00:09:42,056 --> 00:09:46,074
Получается: х+5=10. х=5.

189
00:09:46,074 --> 00:09:49,012
Вот так вот. Пока что все.

190
00:09:49,012 --> 00:09:50,051
Надеюсь, что я смог помочь вам

191
00:09:50,051 --> 00:09:54,051
хотя бы чуть-чуть разобраться в подобных треугольниках.

192
00:09:54,051 --> 99:59:59,000
До скорого!