И снова здравствуйте!
Мы остановились на том, что сказали,
что здесь у нас этот угол, и можем ли мы выяснить,
какой из этих углов равен нашему углу?
Мы знаем, что это секущая,
и у нас есть параллельные прямые.
Внутренние накрест лежащие:
вон один, а это второй внутренний накрест лежащий угол.
Мы знаем, что они равны.
Я не буду пока это зарисовывать.
Если вы случайно забыли, где внутренние накрест лежащие,
вы можете вспомнить о соответственных углах,
которые равны.
Можете сказать, что этот угол также равен этому углу.
Да и потом вы могли бы использовать вертикальные углы опять же,
чтобы обойтись без внутренних накрест лежащих.
Я покажу, как это делается.
В математике классно то,
что она прекрасно подходит людям,
которые плохо запоминают,
потому что нужно запомнить лишь парочку вещей,
а остальное будет просто из них следовать.
Итак, тот угол равен этому.
Потому что они – внутренние накрест лежащие.
И это – сторона, соответствующая нашему углу.
Наконец, что насчёт этого угла?
Я обозначу его тремя чёрточками. Раз, два, три.
Какому углу в этом треугольнике он равен?
Тот же ход мыслей: внутренние накрест лежащие углы
при этих параллельных прямых.
Запомните, что единственная причина,
по которой мы можем это утверждать –
это то, что я вам сказал с самого начала:
эта прямая и эта прямая параллельны. Правильно?
Иначе мы не могли бы это утверждать.
Но, так как это внутренние накрест лежащие углы,
мы знаем, что они равны.
Хорошо. Мы знаем, что эти треугольники подобные.
И мне даже не пришлось сравнивать все три угла.
Я сравнил два, и этого должно было быть достаточно,
чтобы понять, что они подобные.
Потому что, если первые два угла равны,
значит, третьи тоже должны быть равны.
Теперь посмотрим, как мы можем использовать
эти данные, чтобы разобраться с пропорцией.
Глянем.
Давайте раскрасим стороны тем же цветом,
что и углы, чтобы не запутаться.
Эта сторона будет оранжевая. Правильно?
Эта - голубая. Эта - красная. Хорошо.
Теперь у нас всё обозначено соответствующими цветами.
И, может быть, это вас немного запутало,
но это нам пригодится, так как мы увидим,
что эти треугольники перевёрнуты
по отношению друг к другу.
Посмотрим, что мы можем сделать.
Нам нужно определить эту оранжевую сторону.
Давайте назовём её «х», х - ?
Эта оранжевая соответствует этой стороне вот здесь.
Потому что она находится напротив угла,
который равен этому углу.
То есть, они лежат напротив одинаковых углов.
Именно так мы узнали,
что они соответствуют друг другу.
Поэтому мы можем сказать, что х/6 равно...
А теперь, какие другие стороны мы знаем?
Мы знаем, что эта сторона равна 4-ём.
Давайте-ка я её таким же цветом обозначу.
Мы знаем, что она равна 4.
И так как мы поставили х в числитель слева,
и 4 находится в том же треугольнике, что и этот х,
который мы пытаемся найти,
мы поставим 4 в числитель справа.
4 делить на что?
Какая сторона соответствует стороне 4?
Что находится напротив этого угла вот здесь?
Это вот этот угол. Правильно?
То есть этой стороне соответствует сторона 5.
Теперь мы можем решить пропорцию.
х равен... мы просто умножим обе части на 6...
получаем: х=24/5.
Неплохо. И теперь мы можем пойти ещё дальше.
Мы можем выяснить, чему равна вот эта сторона.
Эта пурпурная сторона.
Назовём её, скажем, «у». Не слишком изобретательно.
у находится напротив этого угла.
Значит, у соответствует стороне 8. Да?
Так же мы можем сказать, что у/8 равно...
мы можем сказать, что оно равно много чему.
Давайте скажем 4/5.
Мы могли бы, конечно, выбрать 24/5/6,
но это немного запутанно.
Хотя мы могли бы и так поступить…
Итак, 4/5... умножим обе части на 8 и получим:
у=8*4, это что? 32/5.
Я решил этот пример для того, чтобы показать вам,
что у вас не получится определить всё на глаз.
Иногда можно, если вы натренируетесь в этом,
но все же не всегда очевидно,
какие стороны соответствуют друг другу.
Всегда существует соблазн сказать,
что эта сторона соответствует этой стороне,
или эта сторона соответствует этой.
Но вам действительно следует внимательно посмотреть,
какая сторона соответствует какому углу.
Так любая сторона,
которая лежит напротив определённого угла в одном треугольнике,
соответствует стороне, которая лежит
напротив такого же угла в другом треугольнике.
Я много говорю, но надеюсь,
что какое-то представление у вас уже сложилось.
Давайте решим ещё одну.
Вначале давайте возьмём треугольники
и докажем себе, что эти треугольники подобны.
Мне нравятся параллельные прямые.
Давайте-ка я нарисую две параллельные прямые снова.
И в этот раз...
Вот линия. Вот так еще одна.
Во-первых, я сказал, что эти прямые параллельны.
Давайте так их и обозначим. Параллельные прямые.
Что мы хотим доказать, так это то,
что этот треугольник подобен вот этому треугольнику побольше.
И что интересно: они фактически перекрываются. Правильно?
Итак, прежде всего, знаем ли мы какие-либо углы
в этих треугольниках, которые равны друг другу?
Конечно! Вот этот угол.
На самом деле он у них один общий угол. Верно?
Потому что эти два треугольника
накладываются один на другой в одной точке.
Что ещё мы можем выяснить? Посмотрим.
Я не хочу перестараться с цветами, но всё же.
У нас есть вот этот угол.
Какой ещё угол равен этому углу?
Мы можем использовать свойства углов
при параллельных прямых и секущей
или, например, теорему, чтобы это выяснить.
Какому углу соответствует этот угол?
Вот этому углу он соответствует. Они эквиваленты.
И мы это выяснили с помощью наших параллельных прямых.
Правильно? То есть эти два угла равны.
И наконец - я вібрал подходящий цвет -
у меня есть этот угол,
который я обозначил тремя чёрточками.
То же самое: вот это соответствующий угол ему.
Теперь мы знаем,
что в этих треугольниках все три угла равны.
Поэтому они подобные.
Скажем, мы знаем вот эту сторону,
и я задам вам вопрос с подвохом.
Этот отрезок равен 5-ти.
Этот отрезок равен 7-ми.
Этот отрезок... нет, вообще не этот...
Этот отрезок равен... даже не знаю...
какое-нибудь хорошее число - равен 12-ти.
И этот отрезок равен, скажем, 9-ти, нет, 6-ти.
И мы хотим выяснить, чему равен вот этот.
Как нам это сделать?
Я запутал задачу, добавив все эти фигурные скобочки.
Итак, мы уже знаем, что эти два треугольника – подобные.
Мы сможем использовать эту информацию,
чтобы составить пропорцию.
Назовём эту сторону «х». Так?
Что нам делать теперь?
Как вы думаете, какой стороне
в маленьком треугольнике будет соответствовать эта сторона?
Она соответствует этой стороне. Верно?
Давайте я нарисую правильным цветом.
Выделим оранжевым,
этот оранжевый угол соответствует этому отрезку.
А этот оранжевый угол соответствует
всей этой стороне, этому большому отрезку.
Если мы рассмотрим большой треугольник,
сторона большого треугольника - это не просто х.
Да?
Потому что это не покроет всю сторону этого треугольника.
Это х+5. Это целая сторона. Да?
х+5 поделить на соответствующую сторону
в маленьком треугольнике.
Соответствующая сторона в маленьком треугольнике –
это вот это, значит поделить на 5.
Равно - и потом мы можем сказать - 12.
Равно 12, потому что это соответствует
этому углу в большом треугольнике.
Поделить на что?
Поделить на 6, потому что она соответствует
этому углу в треугольнике поменьше.
Это становится двойкой.
Получается: х+5=10. х=5.
Вот так вот. Пока что все.
Надеюсь, что я смог помочь вам
хотя бы чуть-чуть разобраться в подобных треугольниках.
До скорого!