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Scusa se ho iniziato questa presentazione con un colpo di tosse.
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Mi sa che ho ancora un po' di problemi con la salute.
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Ma ora voglio continuare con i triangoli 45-45-90.
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Allora nell'ultima presentazione abbiamo imparato che entrambi i lati di un
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triangolo 45-90-90 che non sono l'ipotenusa sono uguali
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alla radice quadrata di 2 su 2 volte l'ipotenusa.
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Facciamo un altro paio di problemi.
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Allora se ti dicessi che l'ipotenusa di questo
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triangolo --- di nuovo, funziona solo per
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i triangoli 45-45-90.
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E se disegno solo uno degli angoli di 45 gradi sapresti che anche l'altro angolo
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deve essere di 45 gradi.
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Se ti dicessi che l'ipotenusa qui e',
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diciamo, 10.
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Sappiamo che e' l'ipotenusa perche' e' opposta
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all'angolo retto.
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E poi ti chiedessi quant'e' questo lato, x.
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Beh sappiamo che x e' uguale alla radice quadrata di 2 su
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2 volte l'ipotenusa.
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Quindi e' radice quadrata di 2 su 2 volte 10.
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O x = 5 radice di 2.
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Giusto?
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10 diviso 2.
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Quindi x e' uguale a 5 radice quadrata di 2.
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E sappiamo che questo lato e questo lato sono uguali.
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Giusto?
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Suppongo che sappiamo che questo e' un triangolo isoscele perche'
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questi due angoli sono uguali.
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Quindi sappiamo che anche questo lato e' 5 su 2.
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E se non ne sei certo, provaci.
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Proviamo il teorema di Pitagora.
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Sappiamo dal teorema di Pitagora che 5 radice di 2 al quadrato
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piu' 5 radice di 2 al quadrato e' uguale all'ipotenusa al quadrato,
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dove l'ipotenusa e' 10.
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E' uguale a 100.
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O e' semplicemente 25 per 2.
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Quindi e' 50.
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Ma questo qui sopra e' 100.
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E' uguale a 100.
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E sappiamo, ovviamente, che questo e' vero.
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Quindi ha funzionato.
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L'abbiamo dimostrato usando il teorema di Pitagora ed e'
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proprio il modo in cui siamo arrivati a questa formula
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fin dall'inizio.
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Magari vuoi tornare a riguardarti una di quelle presentazioni
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se ti sei dimenticato come siamo arrivati a questo.
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In realta' adesso ti presento un altro
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tipo di triangolo.
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E lo faccio nello stesso modo, ponendoti
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un problema e usando il teorema di Pitagora
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per calcolarlo.
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Questo e' un altro tipo di triangolo chiamato
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triangolo 30-60-90.
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E se non ho tempo lo faro'
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in un'altra presentazione.
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Diciamo che qui ho un triangolo rettangolo.
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Non e' carino, ma usiamo quello che abbiamo.
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Questo qui e' un angolo retto.
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E se ti dicessi che questo e' un angolo di 30 gradi.
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Beh sappiamo che la somma degli angoli
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in un triangolo deve essere 180.
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Quindi se questo e' 30, questo e' 90, e diciamo che questo e' x.
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x + 30 + 90 = 180, perche' la somma degli angoli
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in un triangolo e' 180.
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Sappiamo che x = 60.
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Giusto?
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Quindi quest'angolo e' 60.
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Ed e' per questp che si chiama triangolo 30-60-90 --- perche'
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e' il nome dei tre angoli nel triangolo.
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E se ti dicessi che l'ipotenusa e' --- invece di
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chiamarla C, come facciamo sempre, chiamiamola h --- e
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voglio calcolare gli altri lati, come facciamo?
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Beh possiamo farlo usando il
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teorema di Pitagora.
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E qui usero' un trucchetto.
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Disegnamo un'altra copia di questo triangolo, ma giriamolo.
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Lo disegno dall'altra parte.
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Ed e' lo stesso triangolo, sta solo girato
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dall'altra parte.
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Giusto?
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Se questo e' 90 gradi, sappiamo che questi due
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angoli sono supplementari.
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Magari ti vuoi rivedere il modulo sugli angoli se ti sei dimenticato
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che la somma di due angoli che condividono tipo
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questa retta in comune e' 180 gradi.
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Quindi questo e' 90, anche questo e' 90.
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E puoi vederlo a occhio.
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Ha senso.
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E visto che l'abbiamo girato, questo triangolo e'
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esattamente identico a questo.
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E' solo girato dall'altra parte.
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Sappiamo anche che quest'angolo e' di 30 gradi.
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E sappiamo anche che quest'angolo e' di 60 gradi.
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Giusto?
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Beh se quest'angolo e' di 30 gradi e quest'angolo e' di 30
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gradi, sappiamo anche che quest'angolo piu' grande --- arriva
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da qui a qui --- e' di 60 gradi.
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Giusto?
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Beh se quest'angolo e' di 60 gradi, questo angolo in cima e' di 60 gradi,
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questo angolo a destra e' di 60 gradi, allora
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sappiamo dal teorema che abbiamo imparato quando abbiamo fatto i triangoli
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45-45-90 che se questi due angoli sono uguali allora
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anche i lati che non condividono devono essere uguali.
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Quindi quali sono i lati che non condividono?
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Beh, questo lato e questo lato.
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Quindi se questo lato e' h anche questo lato e' h.
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Giusto?
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Ma anche quest'angolo e' di 60 gradi.
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Quindi se guardiamo questi 60 gradi e questi 60 gradi,
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sappiamo che i lati che non condividono sono uguali.
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Beh, condividono questo lato, quindi i lati che non condividono
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sono questo lato e questo lato.
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Quindi questo lato e' h, sappiamo anche che questo e' h.
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Giusto?
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Quindi esce fuori che se hai 60 gradi, 60 gradi
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e 60 gradi tutti i lati hanno la stessa lunghezza, o
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e' un triangolo equilatero.
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Ed e' una cosa da ricordare.
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Ed ha anche senso, perche' un triangolo equilatero
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e' simmetrico a prescindere da come lo guardi.
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Quindi ha senso che tutti gli angoli sono uguali
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e che i lati hanno la stessa lunghezza/
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Ma, hm.
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Ma all'inizio del problema abbiamo usato solo meta'
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di questo triangolo equilatero.
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Quindi sappiamo che questo intero lato qui e' lungo h.
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Ma se questo intero lato e' lungo h, beh questo lato
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qui, la base del triangolo originale --- e provo
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ad incasinare di proposito.
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Proviamo un altro colore.
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Questo sara' meta' di quel lato.
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Giusto?
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Perche' questo e' h su 2 e anche questo e' h su 2.
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Proprio qui.
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Quindi se torniamo al nostro triangolo originale, e abbiamo detto
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che questo e' 30 gradi e che questa e' l'ipotenusa,
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perche' e' opposta all'angolo retto, sappiamo che il lato
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opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa.
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E giusto come promemoria, come abbiamo fatto?
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Abbiamo raddoppiato il triangolo.
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Trasformato in un triangolo equilatero.
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Abbiamo capito che questo lato deve essere uguale
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all'ipotenusa.
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E questo e' meta' di questo lato.
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Quindi e' meta' dell'ipotenusa.
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Quindi ricordiamoci questa cosa.
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Il lato opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa.
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Fammelo disegnare su un'altra pagina, perche' mi sa
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che sta diventando incasinato.
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Quindi tornando a quello che avevo all'inizio.
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Questo e' l'angolo retto.
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Questa e' l'ipotenusa --- questo lato qui.
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Se questo e' di 30 gradi, abbiamo derivato che il lato opposto
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ai 30 gradi --- e' tipo quello su cui l'angolo si apre ---
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che questo e' meta' dell'ipotenusa.
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Se questo e' uguale a meta' dell'ipotenusa allora
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a cosa e' uguale questo lato?
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Beh, qui possiamo usare di nuovo il teorema di Pitagora.
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Sappiamo che questo lato al quadrato piu' questo lato al quadrato ---
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chiamiamo questo lato A --- e' uguale a h al quadrato.
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Quindi abbiamo 1/2 h^2 + A^2 = h^2.
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Questo e' uguale a h^2 / 4 + A^2,
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uguale h^2..
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Beh, sottraiamo h^2 da entrambi i lati.
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Otteniamo A^2 - h^2 - h^2 / 4.
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Quindi questo e' uguale a h^2 * (1 - 1/4).
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Questo e' uguale a 3/4 h^2.
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E di nuovo questo e' uguale ad A^2.
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Mi sta finendo lo spazio, quindi vado
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qui sopra.
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Quindi prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati e otteniamo a uguale a ---
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la radice quadrata di 3/4 e' come dire
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radice quadrata di 3 su 2.
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E poi la radice quadrata di h^2 e' semplicemente h.
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E questa A --- ricordati, questa e' un'area.
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Questo e' quello che decide la lunghezza di questo lato.
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Magari non avrei dovuto usare A.
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Ma questo e' uguale alla radice quadrata di 3 / 2, per h.
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Quindi ecco.
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Abbiamo derivato come sono tutti i lati relativamente
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all'ipotenusa in un triangolo 30-60-90.
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Quindi questo e' il lato di 60 gradi.
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Quindi se sappiamo l'ipotenusa e sappiamo che questo e' un triangolo
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30-60-90, sappiamo che il lato opposto all'angolo di 30 gradi
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e' meta' dell'ipotenusa.
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E sappiamo che il lato opposto all'angolo di 60 gradi e'
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radice quadrata di 3 su 2 per l'ipotenusa.
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Nel prossimo modulo ti mostro come usare questa informazione,
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che puoi imparare a memoria o no --- magari
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e' una buona cosa impararlo a memoria e farci pratica, perche' ti rende
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molto veloce sugli esami standard --- come possiamo usare
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questa informazione per risolvere i lati di un triangolo 30-60-90
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molto velocemente.
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Ci vediamo nella prossima presentazione.
