1
00:00:01,500 --> 00:00:03,430
Scusa se ho iniziato questa presentazione con un colpo di tosse.

2
00:00:03,430 --> 00:00:06,220
Mi sa che ho ancora un po' di problemi con la salute.

3
00:00:06,220 --> 00:00:10,980
Ma ora voglio continuare con i triangoli 45-45-90.

4
00:00:10,980 --> 00:00:15,190
Allora nell'ultima presentazione abbiamo imparato che entrambi i lati di un

5
00:00:15,190 --> 00:00:19,830
triangolo 45-90-90 che non sono l'ipotenusa sono uguali

6
00:00:19,830 --> 00:00:25,600
alla radice quadrata di 2 su 2 volte l'ipotenusa.

7
00:00:25,600 --> 00:00:26,850
Facciamo un altro paio di problemi.

8
00:00:26,850 --> 00:00:30,680
Allora se ti dicessi che l'ipotenusa di questo

9
00:00:30,680 --> 00:00:33,010
triangolo --- di nuovo, funziona solo per

10
00:00:33,010 --> 00:00:35,760
i triangoli 45-45-90.

11
00:00:35,760 --> 00:00:37,870
E se disegno solo uno degli angoli di 45 gradi sapresti che anche l'altro angolo

12
00:00:37,870 --> 00:00:39,780
deve essere di 45 gradi.

13
00:00:39,780 --> 00:00:42,960
Se ti dicessi che l'ipotenusa qui e',

14
00:00:42,960 --> 00:00:44,690
diciamo, 10.

15
00:00:44,690 --> 00:00:46,510
Sappiamo che e' l'ipotenusa perche' e' opposta

16
00:00:46,510 --> 00:00:48,340
all'angolo retto.

17
00:00:48,340 --> 00:00:50,680
E poi ti chiedessi quant'e' questo lato, x.

18
00:00:50,680 --> 00:00:54,300
Beh sappiamo che x e' uguale alla radice quadrata di 2 su

19
00:00:54,300 --> 00:00:55,490
2 volte l'ipotenusa.

20
00:00:55,490 --> 00:01:01,440
Quindi e' radice quadrata di 2 su 2 volte 10.

21
00:01:01,440 --> 00:01:07,700
O x = 5 radice di 2.

22
00:01:07,700 --> 00:01:07,990
Giusto?

23
00:01:07,990 --> 00:01:08,910
10 diviso 2.

24
00:01:08,910 --> 00:01:12,160
Quindi x e' uguale a 5 radice quadrata di 2.

25
00:01:12,160 --> 00:01:15,630
E sappiamo che questo lato e questo lato sono uguali.

26
00:01:15,630 --> 00:01:15,900
Giusto?

27
00:01:15,900 --> 00:01:18,490
Suppongo che sappiamo che questo e' un triangolo isoscele perche'

28
00:01:18,490 --> 00:01:20,280
questi due angoli sono uguali.

29
00:01:20,280 --> 00:01:23,770
Quindi sappiamo che anche questo lato e' 5 su 2.

30
00:01:23,770 --> 00:01:25,830
E se non ne sei certo, provaci.

31
00:01:25,830 --> 00:01:27,460
Proviamo il teorema di Pitagora.

32
00:01:27,460 --> 00:01:32,050
Sappiamo dal teorema di Pitagora che 5 radice di 2 al quadrato

33
00:01:32,050 --> 00:01:37,420
piu' 5 radice di 2 al quadrato e' uguale all'ipotenusa al quadrato,

34
00:01:37,420 --> 00:01:39,090
dove l'ipotenusa e' 10.

35
00:01:39,090 --> 00:01:41,130
E' uguale a 100.

36
00:01:41,130 --> 00:01:43,170
O e' semplicemente 25 per 2.

37
00:01:43,170 --> 00:01:43,855
Quindi e' 50.

38
00:01:48,250 --> 00:01:49,590
Ma questo qui sopra e' 100.

39
00:01:49,590 --> 00:01:51,380
E' uguale a 100.

40
00:01:51,380 --> 00:01:53,780
E sappiamo, ovviamente, che questo e' vero.

41
00:01:53,780 --> 00:01:54,620
Quindi ha funzionato.

42
00:01:54,620 --> 00:01:56,290
L'abbiamo dimostrato usando il teorema di Pitagora ed e'

43
00:01:56,290 --> 00:01:57,740
proprio il modo in cui siamo arrivati a questa formula

44
00:01:57,740 --> 00:01:59,260
fin dall'inizio.

45
00:01:59,260 --> 00:02:00,820
Magari vuoi tornare a riguardarti una di quelle presentazioni

46
00:02:00,820 --> 00:02:03,590
se ti sei dimenticato come siamo arrivati a questo.

47
00:02:03,590 --> 00:02:05,890
In realta' adesso ti presento un altro

48
00:02:05,890 --> 00:02:06,620
tipo di triangolo.

49
00:02:06,620 --> 00:02:11,160
E lo faccio nello stesso modo, ponendoti

50
00:02:11,160 --> 00:02:14,490
un problema e usando il teorema di Pitagora

51
00:02:14,490 --> 00:02:16,980
per calcolarlo.

52
00:02:16,980 --> 00:02:18,780
Questo e' un altro tipo di triangolo chiamato

53
00:02:18,780 --> 00:02:20,140
triangolo 30-60-90.

54
00:02:25,550 --> 00:02:28,220
E se non ho tempo lo faro'

55
00:02:28,220 --> 00:02:31,120
in un'altra presentazione.

56
00:02:31,120 --> 00:02:33,965
Diciamo che qui ho un triangolo rettangolo.

57
00:02:38,610 --> 00:02:42,710
Non e' carino, ma usiamo quello che abbiamo.

58
00:02:42,710 --> 00:02:43,920
Questo qui e' un angolo retto.

59
00:02:43,920 --> 00:02:48,260
E se ti dicessi che questo e' un angolo di 30 gradi.

60
00:02:48,260 --> 00:02:49,940
Beh sappiamo che la somma degli angoli

61
00:02:49,940 --> 00:02:51,730
in un triangolo deve essere 180.

62
00:02:51,730 --> 00:02:56,570
Quindi se questo e' 30, questo e' 90, e diciamo che questo e' x.

63
00:02:56,570 --> 00:03:02,400
x + 30 + 90 = 180, perche' la somma degli angoli

64
00:03:02,400 --> 00:03:04,310
in un triangolo e' 180.

65
00:03:04,310 --> 00:03:07,770
Sappiamo che x = 60.

66
00:03:07,770 --> 00:03:08,600
Giusto?

67
00:03:08,600 --> 00:03:10,870
Quindi quest'angolo e' 60.

68
00:03:10,870 --> 00:03:14,370
Ed e' per questp che si chiama triangolo 30-60-90 --- perche'

69
00:03:14,370 --> 00:03:17,320
e' il nome dei tre angoli nel triangolo.

70
00:03:17,320 --> 00:03:24,320
E se ti dicessi che l'ipotenusa e' --- invece di

71
00:03:24,320 --> 00:03:27,130
chiamarla C, come facciamo sempre, chiamiamola h --- e

72
00:03:27,130 --> 00:03:30,020
voglio calcolare gli altri lati, come facciamo?

73
00:03:30,020 --> 00:03:32,700
Beh possiamo farlo usando il

74
00:03:32,700 --> 00:03:34,210
teorema di Pitagora.

75
00:03:34,210 --> 00:03:36,410
E qui usero' un trucchetto.

76
00:03:36,410 --> 00:03:42,780
Disegnamo un'altra copia di questo triangolo, ma giriamolo.

77
00:03:42,780 --> 00:03:45,990
Lo disegno dall'altra parte.

78
00:03:45,990 --> 00:03:47,950
Ed e' lo stesso triangolo, sta solo girato

79
00:03:47,950 --> 00:03:48,690
dall'altra parte.

80
00:03:48,690 --> 00:03:48,910
Giusto?

81
00:03:48,910 --> 00:03:51,040
Se questo e' 90 gradi, sappiamo che questi due

82
00:03:51,040 --> 00:03:53,140
angoli sono supplementari.

83
00:03:53,140 --> 00:03:55,890
Magari ti vuoi rivedere il modulo sugli angoli se ti sei dimenticato

84
00:03:55,890 --> 00:03:58,980
che la somma di due angoli che condividono tipo

85
00:03:58,980 --> 00:04:00,000
questa retta in comune e' 180 gradi.

86
00:04:00,000 --> 00:04:01,680
Quindi questo e' 90, anche questo e' 90.

87
00:04:01,680 --> 00:04:02,390
E puoi vederlo a occhio.

88
00:04:02,390 --> 00:04:04,010
Ha senso.

89
00:04:04,010 --> 00:04:06,040
E visto che l'abbiamo girato, questo triangolo e'

90
00:04:06,040 --> 00:04:06,890
esattamente identico a questo.

91
00:04:06,890 --> 00:04:09,130
E' solo girato dall'altra parte.

92
00:04:09,130 --> 00:04:12,400
Sappiamo anche che quest'angolo e' di 30 gradi.

93
00:04:12,400 --> 00:04:16,510
E sappiamo anche che quest'angolo e' di 60 gradi.

94
00:04:16,510 --> 00:04:18,190
Giusto?

95
00:04:18,190 --> 00:04:20,450
Beh se quest'angolo e' di 30 gradi e quest'angolo e' di 30

96
00:04:20,450 --> 00:04:26,490
gradi, sappiamo anche che quest'angolo piu' grande --- arriva

97
00:04:26,490 --> 00:04:30,230
da qui a qui --- e' di 60 gradi.

98
00:04:30,230 --> 00:04:31,770
Giusto?

99
00:04:31,770 --> 00:04:34,760
Beh se quest'angolo e' di 60 gradi, questo angolo in cima e' di 60 gradi,

100
00:04:34,760 --> 00:04:38,920
questo angolo a destra e' di 60 gradi, allora

101
00:04:38,920 --> 00:04:43,910
sappiamo dal teorema che abbiamo imparato quando abbiamo fatto i triangoli

102
00:04:43,910 --> 00:04:47,860
45-45-90 che se questi due angoli sono uguali allora

103
00:04:47,860 --> 00:04:52,030
anche i lati che non condividono devono essere uguali.

104
00:04:52,030 --> 00:04:53,440
Quindi quali sono i lati che non condividono?

105
00:04:53,440 --> 00:04:55,490
Beh, questo lato e questo lato.

106
00:04:55,490 --> 00:04:58,720
Quindi se questo lato e' h anche questo lato e' h.

107
00:04:58,720 --> 00:05:01,200
Giusto?

108
00:05:01,200 --> 00:05:03,680
Ma anche quest'angolo e' di 60 gradi.

109
00:05:03,680 --> 00:05:07,600
Quindi se guardiamo questi 60 gradi e questi 60 gradi,

110
00:05:07,600 --> 00:05:10,760
sappiamo che i lati che non condividono sono uguali.

111
00:05:10,760 --> 00:05:13,800
Beh, condividono questo lato, quindi i lati che non condividono

112
00:05:13,800 --> 00:05:15,370
sono questo lato e questo lato.

113
00:05:15,370 --> 00:05:19,460
Quindi questo lato e' h, sappiamo anche che questo e' h.

114
00:05:19,460 --> 00:05:21,270
Giusto?

115
00:05:21,270 --> 00:05:23,470
Quindi esce fuori che se hai 60 gradi, 60 gradi

116
00:05:23,470 --> 00:05:26,680
e 60 gradi tutti i lati hanno la stessa lunghezza, o

117
00:05:26,680 --> 00:05:27,810
e' un triangolo equilatero.

118
00:05:27,810 --> 00:05:29,670
Ed e' una cosa da ricordare.

119
00:05:29,670 --> 00:05:32,080
Ed ha anche senso, perche' un triangolo equilatero

120
00:05:32,080 --> 00:05:33,830
e' simmetrico a prescindere da come lo guardi.

121
00:05:33,830 --> 00:05:36,030
Quindi ha senso che tutti gli angoli sono uguali

122
00:05:36,030 --> 00:05:39,370
e che i lati hanno la stessa lunghezza/

123
00:05:39,370 --> 00:05:40,420
Ma, hm.

124
00:05:40,420 --> 00:05:43,090
Ma all'inizio del problema abbiamo usato solo meta'

125
00:05:43,090 --> 00:05:44,050
di questo triangolo equilatero.

126
00:05:44,050 --> 00:05:48,970
Quindi sappiamo che questo intero lato qui e' lungo h.

127
00:05:48,970 --> 00:05:53,670
Ma se questo intero lato e' lungo h, beh questo lato

128
00:05:53,670 --> 00:05:56,530
qui, la base del triangolo originale --- e provo

129
00:05:56,530 --> 00:05:58,480
ad incasinare di proposito.

130
00:05:58,480 --> 00:06:00,490
Proviamo un altro colore.

131
00:06:00,490 --> 00:06:02,180
Questo sara' meta' di quel lato.

132
00:06:02,180 --> 00:06:03,460
Giusto?

133
00:06:03,460 --> 00:06:07,890
Perche' questo e' h su 2 e anche questo e' h su 2.

134
00:06:07,890 --> 00:06:08,770
Proprio qui.

135
00:06:12,380 --> 00:06:14,990
Quindi se torniamo al nostro triangolo originale, e abbiamo detto

136
00:06:14,990 --> 00:06:17,730
che questo e' 30 gradi e che questa e' l'ipotenusa,

137
00:06:17,730 --> 00:06:21,540
perche' e' opposta all'angolo retto, sappiamo che il lato

138
00:06:21,540 --> 00:06:26,350
opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa.

139
00:06:26,350 --> 00:06:28,140
E giusto come promemoria, come abbiamo fatto?

140
00:06:28,140 --> 00:06:29,840
Abbiamo raddoppiato il triangolo.

141
00:06:29,840 --> 00:06:31,570
Trasformato in un triangolo equilatero.

142
00:06:31,570 --> 00:06:33,490
Abbiamo capito che questo lato deve essere uguale

143
00:06:33,490 --> 00:06:34,490
all'ipotenusa.

144
00:06:34,490 --> 00:06:36,760
E questo e' meta' di questo lato.

145
00:06:36,760 --> 00:06:38,420
Quindi e' meta' dell'ipotenusa.

146
00:06:38,420 --> 00:06:39,090
Quindi ricordiamoci questa cosa.

147
00:06:39,090 --> 00:06:43,060
Il lato opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa.

148
00:06:43,060 --> 00:06:46,530
Fammelo disegnare su un'altra pagina, perche' mi sa

149
00:06:46,530 --> 00:06:48,120
che sta diventando incasinato.

150
00:06:48,120 --> 00:06:49,880
Quindi tornando a quello che avevo all'inizio.

151
00:06:54,630 --> 00:06:56,570
Questo e' l'angolo retto.

152
00:06:56,570 --> 00:06:59,700
Questa e' l'ipotenusa --- questo lato qui.

153
00:06:59,700 --> 00:07:05,080
Se questo e' di 30 gradi, abbiamo derivato che il lato opposto

154
00:07:05,080 --> 00:07:09,830
ai 30 gradi --- e' tipo quello su cui l'angolo si apre ---

155
00:07:09,830 --> 00:07:12,180
che questo e' meta' dell'ipotenusa.

156
00:07:15,190 --> 00:07:17,300
Se questo e' uguale a meta' dell'ipotenusa allora

157
00:07:17,300 --> 00:07:19,450
a cosa e' uguale questo lato?

158
00:07:19,450 --> 00:07:22,660
Beh, qui possiamo usare di nuovo il teorema di Pitagora.

159
00:07:22,660 --> 00:07:25,685
Sappiamo che questo lato al quadrato piu' questo lato al quadrato ---

160
00:07:25,685 --> 00:07:31,470
chiamiamo questo lato A --- e' uguale a h al quadrato.

161
00:07:31,470 --> 00:07:43,330
Quindi abbiamo 1/2 h^2 + A^2 = h^2.

162
00:07:43,330 --> 00:07:48,370
Questo e' uguale a h^2 / 4 + A^2,

163
00:07:48,370 --> 00:07:51,690
uguale h^2..

164
00:07:51,690 --> 00:07:53,630
Beh, sottraiamo h^2 da entrambi i lati.

165
00:07:53,630 --> 00:08:01,270
Otteniamo A^2 - h^2 - h^2 / 4.

166
00:08:01,270 --> 00:08:07,930
Quindi questo e' uguale a h^2 * (1 - 1/4).

167
00:08:07,930 --> 00:08:14,150
Questo e' uguale a 3/4 h^2.

168
00:08:14,150 --> 00:08:17,110
E di nuovo questo e' uguale ad A^2.

169
00:08:17,110 --> 00:08:19,710
Mi sta finendo lo spazio, quindi vado

170
00:08:19,710 --> 00:08:21,730
qui sopra.

171
00:08:21,730 --> 00:08:27,170
Quindi prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati e otteniamo a uguale a ---

172
00:08:27,170 --> 00:08:30,920
la radice quadrata di 3/4 e' come dire

173
00:08:30,920 --> 00:08:36,270
radice quadrata di 3 su 2.

174
00:08:36,270 --> 00:08:40,510
E poi la radice quadrata di h^2 e' semplicemente h.

175
00:08:41,430 --> 00:08:42,350
E questa A --- ricordati, questa e' un'area.

176
00:08:42,350 --> 00:08:43,990
Questo e' quello che decide la lunghezza di questo lato.

177
00:08:43,990 --> 00:08:45,630
Magari non avrei dovuto usare A.

178
00:08:45,630 --> 00:08:53,070
Ma questo e' uguale alla radice quadrata di 3 / 2, per h.

179
00:08:53,070 --> 00:08:53,670
Quindi ecco.

180
00:08:53,670 --> 00:08:56,320
Abbiamo derivato come sono tutti i lati relativamente

181
00:08:56,320 --> 00:08:59,320
all'ipotenusa in un triangolo 30-60-90.

182
00:08:59,320 --> 00:09:01,360
Quindi questo e' il lato di 60 gradi.

183
00:09:01,360 --> 00:09:04,750
Quindi se sappiamo l'ipotenusa e sappiamo che questo e' un triangolo

184
00:09:04,750 --> 00:09:08,080
30-60-90, sappiamo che il lato opposto all'angolo di 30 gradi

185
00:09:08,080 --> 00:09:10,500
e' meta' dell'ipotenusa.

186
00:09:10,500 --> 00:09:14,010
E sappiamo che il lato opposto all'angolo di 60 gradi e'

187
00:09:14,010 --> 00:09:18,410
radice quadrata di 3 su 2 per l'ipotenusa.

188
00:09:18,410 --> 00:09:22,250
Nel prossimo modulo ti mostro come usare questa informazione,

189
00:09:22,250 --> 00:09:24,120
che puoi imparare a memoria o no --- magari

190
00:09:24,120 --> 00:09:26,950
e' una buona cosa impararlo a memoria e farci pratica, perche' ti rende

191
00:09:26,950 --> 00:09:30,850
molto veloce sugli esami standard --- come possiamo usare

192
00:09:30,850 --> 00:09:34,740
questa informazione per risolvere i lati di un triangolo 30-60-90

193
00:09:34,740 --> 00:09:35,900
molto velocemente.

194
00:09:35,900 --> 00:09:37,780
Ci vediamo nella prossima presentazione.