0:00:01.500,0:00:03.430 Scusa se ho iniziato questa presentazione con un colpo di tosse. 0:00:03.430,0:00:06.220 Mi sa che ho ancora un po' di problemi con la salute. 0:00:06.220,0:00:10.980 Ma ora voglio continuare con i triangoli 45-45-90. 0:00:10.980,0:00:15.190 Allora nell'ultima presentazione abbiamo imparato che entrambi i lati di un 0:00:15.190,0:00:19.830 triangolo 45-90-90 che non sono l'ipotenusa sono uguali 0:00:19.830,0:00:25.600 alla radice quadrata di 2 su 2 volte l'ipotenusa. 0:00:25.600,0:00:26.850 Facciamo un altro paio di problemi. 0:00:26.850,0:00:30.680 Allora se ti dicessi che l'ipotenusa di questo 0:00:30.680,0:00:33.010 triangolo --- di nuovo, funziona solo per 0:00:33.010,0:00:35.760 i triangoli 45-45-90. 0:00:35.760,0:00:37.870 E se disegno solo uno degli angoli di 45 gradi sapresti che anche l'altro angolo 0:00:37.870,0:00:39.780 deve essere di 45 gradi. 0:00:39.780,0:00:42.960 Se ti dicessi che l'ipotenusa qui e', 0:00:42.960,0:00:44.690 diciamo, 10. 0:00:44.690,0:00:46.510 Sappiamo che e' l'ipotenusa perche' e' opposta 0:00:46.510,0:00:48.340 all'angolo retto. 0:00:48.340,0:00:50.680 E poi ti chiedessi quant'e' questo lato, x. 0:00:50.680,0:00:54.300 Beh sappiamo che x e' uguale alla radice quadrata di 2 su 0:00:54.300,0:00:55.490 2 volte l'ipotenusa. 0:00:55.490,0:01:01.440 Quindi e' radice quadrata di 2 su 2 volte 10. 0:01:01.440,0:01:07.700 O x = 5 radice di 2. 0:01:07.700,0:01:07.990 Giusto? 0:01:07.990,0:01:08.910 10 diviso 2. 0:01:08.910,0:01:12.160 Quindi x e' uguale a 5 radice quadrata di 2. 0:01:12.160,0:01:15.630 E sappiamo che questo lato e questo lato sono uguali. 0:01:15.630,0:01:15.900 Giusto? 0:01:15.900,0:01:18.490 Suppongo che sappiamo che questo e' un triangolo isoscele perche' 0:01:18.490,0:01:20.280 questi due angoli sono uguali. 0:01:20.280,0:01:23.770 Quindi sappiamo che anche questo lato e' 5 su 2. 0:01:23.770,0:01:25.830 E se non ne sei certo, provaci. 0:01:25.830,0:01:27.460 Proviamo il teorema di Pitagora. 0:01:27.460,0:01:32.050 Sappiamo dal teorema di Pitagora che 5 radice di 2 al quadrato 0:01:32.050,0:01:37.420 piu' 5 radice di 2 al quadrato e' uguale all'ipotenusa al quadrato, 0:01:37.420,0:01:39.090 dove l'ipotenusa e' 10. 0:01:39.090,0:01:41.130 E' uguale a 100. 0:01:41.130,0:01:43.170 O e' semplicemente 25 per 2. 0:01:43.170,0:01:43.855 Quindi e' 50. 0:01:48.250,0:01:49.590 Ma questo qui sopra e' 100. 0:01:49.590,0:01:51.380 E' uguale a 100. 0:01:51.380,0:01:53.780 E sappiamo, ovviamente, che questo e' vero. 0:01:53.780,0:01:54.620 Quindi ha funzionato. 0:01:54.620,0:01:56.290 L'abbiamo dimostrato usando il teorema di Pitagora ed e' 0:01:56.290,0:01:57.740 proprio il modo in cui siamo arrivati a questa formula 0:01:57.740,0:01:59.260 fin dall'inizio. 0:01:59.260,0:02:00.820 Magari vuoi tornare a riguardarti una di quelle presentazioni 0:02:00.820,0:02:03.590 se ti sei dimenticato come siamo arrivati a questo. 0:02:03.590,0:02:05.890 In realta' adesso ti presento un altro 0:02:05.890,0:02:06.620 tipo di triangolo. 0:02:06.620,0:02:11.160 E lo faccio nello stesso modo, ponendoti 0:02:11.160,0:02:14.490 un problema e usando il teorema di Pitagora 0:02:14.490,0:02:16.980 per calcolarlo. 0:02:16.980,0:02:18.780 Questo e' un altro tipo di triangolo chiamato 0:02:18.780,0:02:20.140 triangolo 30-60-90. 0:02:25.550,0:02:28.220 E se non ho tempo lo faro' 0:02:28.220,0:02:31.120 in un'altra presentazione. 0:02:31.120,0:02:33.965 Diciamo che qui ho un triangolo rettangolo. 0:02:38.610,0:02:42.710 Non e' carino, ma usiamo quello che abbiamo. 0:02:42.710,0:02:43.920 Questo qui e' un angolo retto. 0:02:43.920,0:02:48.260 E se ti dicessi che questo e' un angolo di 30 gradi. 0:02:48.260,0:02:49.940 Beh sappiamo che la somma degli angoli 0:02:49.940,0:02:51.730 in un triangolo deve essere 180. 0:02:51.730,0:02:56.570 Quindi se questo e' 30, questo e' 90, e diciamo che questo e' x. 0:02:56.570,0:03:02.400 x + 30 + 90 = 180, perche' la somma degli angoli 0:03:02.400,0:03:04.310 in un triangolo e' 180. 0:03:04.310,0:03:07.770 Sappiamo che x = 60. 0:03:07.770,0:03:08.600 Giusto? 0:03:08.600,0:03:10.870 Quindi quest'angolo e' 60. 0:03:10.870,0:03:14.370 Ed e' per questp che si chiama triangolo 30-60-90 --- perche' 0:03:14.370,0:03:17.320 e' il nome dei tre angoli nel triangolo. 0:03:17.320,0:03:24.320 E se ti dicessi che l'ipotenusa e' --- invece di 0:03:24.320,0:03:27.130 chiamarla C, come facciamo sempre, chiamiamola h --- e 0:03:27.130,0:03:30.020 voglio calcolare gli altri lati, come facciamo? 0:03:30.020,0:03:32.700 Beh possiamo farlo usando il 0:03:32.700,0:03:34.210 teorema di Pitagora. 0:03:34.210,0:03:36.410 E qui usero' un trucchetto. 0:03:36.410,0:03:42.780 Disegnamo un'altra copia di questo triangolo, ma giriamolo. 0:03:42.780,0:03:45.990 Lo disegno dall'altra parte. 0:03:45.990,0:03:47.950 Ed e' lo stesso triangolo, sta solo girato 0:03:47.950,0:03:48.690 dall'altra parte. 0:03:48.690,0:03:48.910 Giusto? 0:03:48.910,0:03:51.040 Se questo e' 90 gradi, sappiamo che questi due 0:03:51.040,0:03:53.140 angoli sono supplementari. 0:03:53.140,0:03:55.890 Magari ti vuoi rivedere il modulo sugli angoli se ti sei dimenticato 0:03:55.890,0:03:58.980 che la somma di due angoli che condividono tipo 0:03:58.980,0:04:00.000 questa retta in comune e' 180 gradi. 0:04:00.000,0:04:01.680 Quindi questo e' 90, anche questo e' 90. 0:04:01.680,0:04:02.390 E puoi vederlo a occhio. 0:04:02.390,0:04:04.010 Ha senso. 0:04:04.010,0:04:06.040 E visto che l'abbiamo girato, questo triangolo e' 0:04:06.040,0:04:06.890 esattamente identico a questo. 0:04:06.890,0:04:09.130 E' solo girato dall'altra parte. 0:04:09.130,0:04:12.400 Sappiamo anche che quest'angolo e' di 30 gradi. 0:04:12.400,0:04:16.510 E sappiamo anche che quest'angolo e' di 60 gradi. 0:04:16.510,0:04:18.190 Giusto? 0:04:18.190,0:04:20.450 Beh se quest'angolo e' di 30 gradi e quest'angolo e' di 30 0:04:20.450,0:04:26.490 gradi, sappiamo anche che quest'angolo piu' grande --- arriva 0:04:26.490,0:04:30.230 da qui a qui --- e' di 60 gradi. 0:04:30.230,0:04:31.770 Giusto? 0:04:31.770,0:04:34.760 Beh se quest'angolo e' di 60 gradi, questo angolo in cima e' di 60 gradi, 0:04:34.760,0:04:38.920 questo angolo a destra e' di 60 gradi, allora 0:04:38.920,0:04:43.910 sappiamo dal teorema che abbiamo imparato quando abbiamo fatto i triangoli 0:04:43.910,0:04:47.860 45-45-90 che se questi due angoli sono uguali allora 0:04:47.860,0:04:52.030 anche i lati che non condividono devono essere uguali. 0:04:52.030,0:04:53.440 Quindi quali sono i lati che non condividono? 0:04:53.440,0:04:55.490 Beh, questo lato e questo lato. 0:04:55.490,0:04:58.720 Quindi se questo lato e' h anche questo lato e' h. 0:04:58.720,0:05:01.200 Giusto? 0:05:01.200,0:05:03.680 Ma anche quest'angolo e' di 60 gradi. 0:05:03.680,0:05:07.600 Quindi se guardiamo questi 60 gradi e questi 60 gradi, 0:05:07.600,0:05:10.760 sappiamo che i lati che non condividono sono uguali. 0:05:10.760,0:05:13.800 Beh, condividono questo lato, quindi i lati che non condividono 0:05:13.800,0:05:15.370 sono questo lato e questo lato. 0:05:15.370,0:05:19.460 Quindi questo lato e' h, sappiamo anche che questo e' h. 0:05:19.460,0:05:21.270 Giusto? 0:05:21.270,0:05:23.470 Quindi esce fuori che se hai 60 gradi, 60 gradi 0:05:23.470,0:05:26.680 e 60 gradi tutti i lati hanno la stessa lunghezza, o 0:05:26.680,0:05:27.810 e' un triangolo equilatero. 0:05:27.810,0:05:29.670 Ed e' una cosa da ricordare. 0:05:29.670,0:05:32.080 Ed ha anche senso, perche' un triangolo equilatero 0:05:32.080,0:05:33.830 e' simmetrico a prescindere da come lo guardi. 0:05:33.830,0:05:36.030 Quindi ha senso che tutti gli angoli sono uguali 0:05:36.030,0:05:39.370 e che i lati hanno la stessa lunghezza/ 0:05:39.370,0:05:40.420 Ma, hm. 0:05:40.420,0:05:43.090 Ma all'inizio del problema abbiamo usato solo meta' 0:05:43.090,0:05:44.050 di questo triangolo equilatero. 0:05:44.050,0:05:48.970 Quindi sappiamo che questo intero lato qui e' lungo h. 0:05:48.970,0:05:53.670 Ma se questo intero lato e' lungo h, beh questo lato 0:05:53.670,0:05:56.530 qui, la base del triangolo originale --- e provo 0:05:56.530,0:05:58.480 ad incasinare di proposito. 0:05:58.480,0:06:00.490 Proviamo un altro colore. 0:06:00.490,0:06:02.180 Questo sara' meta' di quel lato. 0:06:02.180,0:06:03.460 Giusto? 0:06:03.460,0:06:07.890 Perche' questo e' h su 2 e anche questo e' h su 2. 0:06:07.890,0:06:08.770 Proprio qui. 0:06:12.380,0:06:14.990 Quindi se torniamo al nostro triangolo originale, e abbiamo detto 0:06:14.990,0:06:17.730 che questo e' 30 gradi e che questa e' l'ipotenusa, 0:06:17.730,0:06:21.540 perche' e' opposta all'angolo retto, sappiamo che il lato 0:06:21.540,0:06:26.350 opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa. 0:06:26.350,0:06:28.140 E giusto come promemoria, come abbiamo fatto? 0:06:28.140,0:06:29.840 Abbiamo raddoppiato il triangolo. 0:06:29.840,0:06:31.570 Trasformato in un triangolo equilatero. 0:06:31.570,0:06:33.490 Abbiamo capito che questo lato deve essere uguale 0:06:33.490,0:06:34.490 all'ipotenusa. 0:06:34.490,0:06:36.760 E questo e' meta' di questo lato. 0:06:36.760,0:06:38.420 Quindi e' meta' dell'ipotenusa. 0:06:38.420,0:06:39.090 Quindi ricordiamoci questa cosa. 0:06:39.090,0:06:43.060 Il lato opposto all'angolo di 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa. 0:06:43.060,0:06:46.530 Fammelo disegnare su un'altra pagina, perche' mi sa 0:06:46.530,0:06:48.120 che sta diventando incasinato. 0:06:48.120,0:06:49.880 Quindi tornando a quello che avevo all'inizio. 0:06:54.630,0:06:56.570 Questo e' l'angolo retto. 0:06:56.570,0:06:59.700 Questa e' l'ipotenusa --- questo lato qui. 0:06:59.700,0:07:05.080 Se questo e' di 30 gradi, abbiamo derivato che il lato opposto 0:07:05.080,0:07:09.830 ai 30 gradi --- e' tipo quello su cui l'angolo si apre --- 0:07:09.830,0:07:12.180 che questo e' meta' dell'ipotenusa. 0:07:15.190,0:07:17.300 Se questo e' uguale a meta' dell'ipotenusa allora 0:07:17.300,0:07:19.450 a cosa e' uguale questo lato? 0:07:19.450,0:07:22.660 Beh, qui possiamo usare di nuovo il teorema di Pitagora. 0:07:22.660,0:07:25.685 Sappiamo che questo lato al quadrato piu' questo lato al quadrato --- 0:07:25.685,0:07:31.470 chiamiamo questo lato A --- e' uguale a h al quadrato. 0:07:31.470,0:07:43.330 Quindi abbiamo 1/2 h^2 + A^2 = h^2. 0:07:43.330,0:07:48.370 Questo e' uguale a h^2 / 4 + A^2, 0:07:48.370,0:07:51.690 uguale h^2.. 0:07:51.690,0:07:53.630 Beh, sottraiamo h^2 da entrambi i lati. 0:07:53.630,0:08:01.270 Otteniamo A^2 - h^2 - h^2 / 4. 0:08:01.270,0:08:07.930 Quindi questo e' uguale a h^2 * (1 - 1/4). 0:08:07.930,0:08:14.150 Questo e' uguale a 3/4 h^2. 0:08:14.150,0:08:17.110 E di nuovo questo e' uguale ad A^2. 0:08:17.110,0:08:19.710 Mi sta finendo lo spazio, quindi vado 0:08:19.710,0:08:21.730 qui sopra. 0:08:21.730,0:08:27.170 Quindi prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati e otteniamo a uguale a --- 0:08:27.170,0:08:30.920 la radice quadrata di 3/4 e' come dire 0:08:30.920,0:08:36.270 radice quadrata di 3 su 2. 0:08:36.270,0:08:40.510 E poi la radice quadrata di h^2 e' semplicemente h. 0:08:41.430,0:08:42.350 E questa A --- ricordati, questa e' un'area. 0:08:42.350,0:08:43.990 Questo e' quello che decide la lunghezza di questo lato. 0:08:43.990,0:08:45.630 Magari non avrei dovuto usare A. 0:08:45.630,0:08:53.070 Ma questo e' uguale alla radice quadrata di 3 / 2, per h. 0:08:53.070,0:08:53.670 Quindi ecco. 0:08:53.670,0:08:56.320 Abbiamo derivato come sono tutti i lati relativamente 0:08:56.320,0:08:59.320 all'ipotenusa in un triangolo 30-60-90. 0:08:59.320,0:09:01.360 Quindi questo e' il lato di 60 gradi. 0:09:01.360,0:09:04.750 Quindi se sappiamo l'ipotenusa e sappiamo che questo e' un triangolo 0:09:04.750,0:09:08.080 30-60-90, sappiamo che il lato opposto all'angolo di 30 gradi 0:09:08.080,0:09:10.500 e' meta' dell'ipotenusa. 0:09:10.500,0:09:14.010 E sappiamo che il lato opposto all'angolo di 60 gradi e' 0:09:14.010,0:09:18.410 radice quadrata di 3 su 2 per l'ipotenusa. 0:09:18.410,0:09:22.250 Nel prossimo modulo ti mostro come usare questa informazione, 0:09:22.250,0:09:24.120 che puoi imparare a memoria o no --- magari 0:09:24.120,0:09:26.950 e' una buona cosa impararlo a memoria e farci pratica, perche' ti rende 0:09:26.950,0:09:30.850 molto veloce sugli esami standard --- come possiamo usare 0:09:30.850,0:09:34.740 questa informazione per risolvere i lati di un triangolo 30-60-90 0:09:34.740,0:09:35.900 molto velocemente. 0:09:35.900,0:09:37.780 Ci vediamo nella prossima presentazione.