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Koch Snowflake Fractal

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    这是一个等边三角形
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    我将在这个等边三角形外
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    做出另一个形状
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    对这个三角形的每一边
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    将它们分割为三等分
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    我的等边三角形并没有画得非常标准
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    但我想你能理解
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    在中间这一段
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    我想构建另一个等边三角形
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    就在这个中间部分
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    我马上会构建另一个等边三角形
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    它们看起来是这个样子的
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    就在这里
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    我会构建另一个等边三角形
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    从等边三角形着手
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    现在它看起来像一个星星 或可以说是大卫星
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    再次重复刚才的步骤
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    现在对每一边 我将之分割为三等分
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    在中间这一段 我将构建一个等边三角形
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    在这儿构建一个等边三角形
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    在中间这一段 我也将构建一个等边三角形
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    在每一边都重复这样的步骤
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    这里做一个等边三角形 这里也是
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    你应该明白了但我想让这更加明晰 让我画下去
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    就像这样
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    这一轮可以完成了
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    图像会像这个样子
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    我可以再做一次
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    每一条线段我都分割成三等分
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    在它的基础上 画出另一个等边三角形
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    就像这样
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    我想你知道接下来是怎样的
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    我可以这样持续地画下去直到永远
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    在这段视频中 我想探究
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    这里的情况是怎样的
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    我实际上在画的是
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    如果我们持续画下去直到永远
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    对于每个循环 我们着眼每条边
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    将之三等分
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    在下一个循环又三等分
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    下一个循环
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    在中间的部分 我们将构建另一个等边三角形
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    这里我们构建的新图形
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    称之为科赫曲线
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    我想我把科赫这个音念错了
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    应该是科赫曲线
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    这最初是由一名瑞典的数学家尼尔斯海格冯科赫
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    这位绅士所提出来的
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    我想我又念错了
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    这也是最早被描述成的分形之一
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    这是一个分形
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    它被定义为分形的原因是
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    它看起来极其相似
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    或是说以任何的尺度去看它都是很相似的
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    当你在这个尺度下观察图形
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    你将看到一群上面有突起的三角形
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    如果你将这里放大
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    你会看到跟之前一样的图案
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    再放大
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    你会又一次看到相同的图案
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    因此 一个分形指的是 无论以任何尺度
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    任何缩放比例 看起来都大致相同
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    这是它称之为分形的原因
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    最有趣的是什么
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    我又为何在这时候把它放在播放列表上
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    这都是因为这个图形的周长是无穷大的
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    如果你持续的画下去
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    假使你构建的真的是科赫曲线
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    那么在每个更小的三角形上
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    你持续无限次地构建
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    在每一边构建一个等边三角形
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    去证明它的周长是无穷大的
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    我们考虑它的一条边
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    就比如说这一条边
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    我们从最开始的
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    原始三角形入手
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    假设它每一边的长度是S
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    我们将之分割为三等分
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    我们分割它为三等分
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    每一边都是S的三分之一 我们这样表示它
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    S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
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    在中间这一段 构建一个等边三角形
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    在中间这一段 构建一个等边三角形
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    每一边都是S的三分之一
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    S的三分之一 S的三分之一
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    这个新图形的长度
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    对了 由于有突起 我们不能称它为直线了
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    这一部分的长度
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    不再仅仅是S了
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    而是S的三分之一乘以4
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    之前是S的三分之一乘以3
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    而现在有4个长度为S的三分之一的线段
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    所以像这样重复一次的构建三角形
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    再把三角形的长度加起来
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    我们新的一边
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    突起后是4倍S的三分之一长 即S的三分之四
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    假设我们原始的周长是P0
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    一轮之后 我们得到了好几个突起
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    周长变为了
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    原始周长的三分之四
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    由于现在每一边都将扩大为三分之四倍
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    假设起始是由三条边构成的图案
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    而现在每一边的长度都扩大为之前的三分之四倍
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    于是新周长也变成了原周长的三分之四倍
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    再此基础上进行第二轮
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    这将得到第一轮长度的三分之四倍
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    每一轮的长度都将扩大到上一轮的三分之四倍
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    这是第三轮在扩大了
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    这一轮的长度也是上一轮的三分之四倍
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    如果你继续无限次地重复这些步骤
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    任何一个数无限次乘以三分之四
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    你都将得到一个无穷大的长度
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    也就是第无限个P
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    在无限次重复后得到的周长 将是无穷大
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    这极其有趣
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    想想一个东西竟然周长是无穷大
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    更神奇的是它的面积却是有限大的
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    我所说的有限大的面积
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    实际上指的是它包含了一个有界的空间
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    我可以环绕它画出这样一个图形
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    而科赫曲线永远不会超出这个图形
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    我不准备做出一个严谨的证明
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    请想想每一边将会发生什么
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    在第一轮 我们得到这个突起的三角形
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    接下来继续构建三角形
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    下一轮你在这里构建两个三角形
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    那里也构建两个三角形
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    然后你又四处构建一些三角形
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    如此等等地构建三角形
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    请注意 你可以像这样持续地增加三角形
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    构成无限个的突起
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    但你永远不会超过最初的这个顶点
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    对于这一边是一样的道理
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    另一边也一样适用这个道理
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    这一边同样如此
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    那一边也是一样
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    而对那一边也是同样正确
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    即使你无限次地重复这些步骤
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    这个科赫曲线
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    其面积也不可能超越这个有界的六边形
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    或者说它的面积不会大于
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    这样一个图形的面积
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    我只是随意大致地勾画
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    在这个六边形之外
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    勾画一个圆圈
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    这个圆圈我用蓝色勾画 六边形我用洋红色勾画
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    很明显它们有固定的面积
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    因此科赫曲线将永远是有界的
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    即使你加上无限个突起
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    这一堆图案真是太神奇了
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    首先 这是个分形
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    你可以随意放大 它看起来还是一样
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    然后 它拥有无穷大的周长和有限大的面积
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    或许你会说 等等 这个太抽象了
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    这样的东西并不出现在真实生活中
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    有一个著名实验
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    人们会在分形世界里提到
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    这就是测量英国国土的周长
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    当然了 你可以由此得到任何国家国土的周长
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    英国国土的外形就像这样
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    我并不是这方面的专家
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    就假设它像这个样子
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    首先 你可以粗略估计它的周长
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    测量这一段距离
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    再测量那一段的距离加上这段的距离
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    和这段 这段 这段 以及这段的距离
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    看
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    这个周长是有限的
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    很明显 它的面积是有限的
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    但这看起来也有一个有限的周长
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    你会觉得 不 这并不够精确
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    你需要再稍微精确一点去估计
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    而不是那么粗糙地去估计
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    你需要一堆更小的线
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    你需要去构建更小的线
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    才能更贴近海岸
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    你会觉得 好的 这样已经很精确了
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    但如果我们截取海岸的一部分 将之放大
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    如果是足够的放大
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    那么实际的海岸线看起来就会像这样
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    实际的海岸线都会有这样的小花边
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    基本上 当你最初做这样的路线时
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    你只是在估量它的长度
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    可这并不是海岸线的周长
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    你必须去构建更多的线
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    你要像这样做
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    才能真正得到海岸线的周长
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    你会觉得 哇 这是一种粗略估计的好办法
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    可是只要你再继续扩大那一部分的海岸线
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    你会发现这实际上并不是看起来的那个样子
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    它实际上是像这样凸凹不平的
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    也或许像那个样子
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    取代那些粗略的线条 我们想那样去估量长度
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    你会说 等等
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    现在我需要更加贴近它
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    你可以持续这样做
  • 8:48 - 8:50
    一直到原子水平
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    因此真实的岛屿海岸线
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    大陆海岸线或其它任何海岸线 都是分形状的
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    你可以想象一下
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    它有几乎无穷大的周长
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    很明显 在一定程度上
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    你将进入到原子水平去研究它
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    因此这也不是完全相同
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    但却是同样的现象
  • 9:09 - 9:10
    这样想想确实是一件有趣的事
Title:
Koch Snowflake Fractal
Description:

A shape that has an infinite perimeter but finite area
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Video Language:
English
Duration:
09:11
lvfengxing added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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