0:00:00.000,0:00:03.090
这是一个等边三角形

0:00:03.090,0:00:05.050
我将在这个等边三角形外

0:00:05.050,0:00:06.540
做出另一个形状

0:00:06.540,0:00:08.980
对这个三角形的每一边

0:00:09.000,0:00:14.540
将它们分割为三等分

0:00:14.540,0:00:18.790
我的等边三角形并没有画得非常标准

0:00:18.790,0:00:20.110
但我想你能理解

0:00:20.110,0:00:21.430
在中间这一段

0:00:21.450,0:00:23.290
我想构建另一个等边三角形

0:00:23.290,0:00:25.510
就在这个中间部分

0:00:25.540,0:00:28.640
我马上会构建另一个等边三角形

0:00:28.640,0:00:31.550
它们看起来是这个样子的

0:00:31.550,0:00:33.860
就在这里

0:00:33.860,0:00:37.130
我会构建另一个等边三角形

0:00:37.130,0:00:40.320
从等边三角形着手

0:00:40.340,0:00:43.320
现在它看起来像一个星星 或可以说是大卫星

0:00:43.370,0:00:45.420
再次重复刚才的步骤

0:00:45.420,0:00:48.390
现在对每一边 我将之分割为三等分

0:00:48.390,0:00:51.490
在中间这一段 我将构建一个等边三角形

0:00:51.490,0:00:54.150
在这儿构建一个等边三角形

0:00:54.150,0:00:59.280
在中间这一段 我也将构建一个等边三角形

0:00:59.280,0:01:01.660
在每一边都重复这样的步骤

0:01:01.660,0:01:04.560
这里做一个等边三角形 这里也是

0:01:04.560,0:01:10.860
你应该明白了但我想让这更加明晰 让我画下去

0:01:10.860,0:01:16.270
就像这样

0:01:16.270,0:01:20.850
这一轮可以完成了

0:01:20.850,0:01:22.950
图像会像这个样子

0:01:22.990,0:01:24.210
我可以再做一次

0:01:24.210,0:01:27.020
每一条线段我都分割成三等分

0:01:27.020,0:01:28.340
在它的基础上 画出另一个等边三角形

0:01:28.340,0:01:32.210
就像这样

0:01:32.210,0:01:33.270
我想你知道接下来是怎样的

0:01:33.270,0:01:37.020
我可以这样持续地画下去直到永远

0:01:37.020,0:01:39.710
在这段视频中 我想探究

0:01:39.710,0:01:40.860
这里的情况是怎样的

0:01:40.860,0:01:42.490
我实际上在画的是

0:01:42.490,0:01:45.090
如果我们持续画下去直到永远

0:01:45.090,0:01:48.100
对于每个循环 我们着眼每条边

0:01:48.130,0:01:49.520
将之三等分

0:01:49.520,0:01:52.460
在下一个循环又三等分

0:01:52.460,0:01:53.320
下一个循环

0:01:53.320,0:01:55.480
在中间的部分 我们将构建另一个等边三角形

0:01:55.480,0:01:58.240
这里我们构建的新图形

0:01:58.240,0:02:00.200
称之为科赫曲线

0:02:00.200,0:02:02.890
我想我把科赫这个音念错了

0:02:02.890,0:02:05.180
应该是科赫曲线

0:02:05.230,0:02:07.810
这最初是由一名瑞典的数学家尼尔斯海格冯科赫

0:02:07.810,0:02:12.490
这位绅士所提出来的

0:02:12.490,0:02:14.640
我想我又念错了

0:02:14.670,0:02:17.250
这也是最早被描述成的分形之一

0:02:17.270,0:02:19.850
这是一个分形

0:02:19.850,0:02:22.000
它被定义为分形的原因是

0:02:22.000,0:02:23.790
它看起来极其相似

0:02:23.810,0:02:26.340
或是说以任何的尺度去看它都是很相似的

0:02:26.340,0:02:29.890
当你在这个尺度下观察图形

0:02:29.910,0:02:32.410
你将看到一群上面有突起的三角形

0:02:32.410,0:02:34.890
如果你将这里放大

0:02:34.910,0:02:37.860
你会看到跟之前一样的图案

0:02:37.860,0:02:39.840
再放大

0:02:39.860,0:02:41.520
你会又一次看到相同的图案

0:02:41.580,0:02:43.470
因此 一个分形指的是 无论以任何尺度

0:02:43.470,0:02:46.810
任何缩放比例 看起来都大致相同

0:02:46.810,0:02:48.700
这是它称之为分形的原因

0:02:48.720,0:02:50.150
最有趣的是什么

0:02:50.200,0:02:53.530
我又为何在这时候把它放在播放列表上

0:02:53.530,0:02:56.790
这都是因为这个图形的周长是无穷大的

0:02:56.790,0:02:58.330
如果你持续的画下去

0:02:58.370,0:02:59.900
假使你构建的真的是科赫曲线

0:02:59.900,0:03:03.260
那么在每个更小的三角形上

0:03:03.280,0:03:05.240
你持续无限次地构建

0:03:05.280,0:03:09.910
在每一边构建一个等边三角形

0:03:09.930,0:03:11.680
去证明它的周长是无穷大的

0:03:11.680,0:03:13.440
我们考虑它的一条边

0:03:13.440,0:03:16.000
就比如说这一条边

0:03:16.000,0:03:18.550
我们从最开始的

0:03:18.550,0:03:20.050
原始三角形入手

0:03:20.080,0:03:21.480
假设它每一边的长度是S

0:03:21.520,0:03:23.930
我们将之分割为三等分

0:03:23.960,0:03:26.290
我们分割它为三等分

0:03:26.310,0:03:30.810
每一边都是S的三分之一 我们这样表示它

0:03:30.810,0:03:35.940
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一

0:03:35.940,0:03:38.820
在中间这一段 构建一个等边三角形

0:03:38.820,0:03:41.910
在中间这一段 构建一个等边三角形

0:03:41.910,0:03:44.090
每一边都是S的三分之一

0:03:44.090,0:03:47.000
S的三分之一 S的三分之一

0:03:47.000,0:03:50.700
这个新图形的长度

0:03:50.700,0:03:53.270
对了 由于有突起 我们不能称它为直线了

0:03:53.290,0:03:56.880
这一部分的长度

0:03:56.880,0:03:59.110
不再仅仅是S了

0:03:59.150,0:04:01.620
而是S的三分之一乘以4

0:04:01.620,0:04:03.360
之前是S的三分之一乘以3

0:04:03.360,0:04:07.550
而现在有4个长度为S的三分之一的线段

0:04:07.550,0:04:10.500
所以像这样重复一次的构建三角形

0:04:10.500,0:04:14.930
再把三角形的长度加起来

0:04:14.930,0:04:16.300
我们新的一边

0:04:16.340,0:04:23.560
突起后是4倍S的三分之一长 即S的三分之四

0:04:23.560,0:04:30.950
假设我们原始的周长是P0

0:04:30.950,0:04:34.230
一轮之后 我们得到了好几个突起

0:04:34.230,0:04:35.670
周长变为了

0:04:35.710,0:04:39.880
原始周长的三分之四

0:04:39.880,0:04:42.660
由于现在每一边都将扩大为三分之四倍

0:04:42.660,0:04:44.270
假设起始是由三条边构成的图案

0:04:44.290,0:04:46.690
而现在每一边的长度都扩大为之前的三分之四倍

0:04:46.690,0:04:48.950
于是新周长也变成了原周长的三分之四倍

0:04:48.950,0:04:51.980
再此基础上进行第二轮

0:04:51.980,0:04:54.470
这将得到第一轮长度的三分之四倍

0:04:54.470,0:04:57.740
每一轮的长度都将扩大到上一轮的三分之四倍

0:04:57.790,0:05:00.190
这是第三轮在扩大了

0:05:00.190,0:05:03.550
这一轮的长度也是上一轮的三分之四倍

0:05:03.610,0:05:05.590
如果你继续无限次地重复这些步骤

0:05:05.590,0:05:10.740
任何一个数无限次乘以三分之四

0:05:10.740,0:05:13.760
你都将得到一个无穷大的长度

0:05:13.760,0:05:16.340
也就是第无限个P

0:05:16.360,0:05:19.910
在无限次重复后得到的周长 将是无穷大

0:05:19.940,0:05:22.140
这极其有趣

0:05:22.190,0:05:24.300
想想一个东西竟然周长是无穷大

0:05:24.300,0:05:28.260
更神奇的是它的面积却是有限大的

0:05:28.260,0:05:30.120
我所说的有限大的面积

0:05:30.120,0:05:32.480
实际上指的是它包含了一个有界的空间

0:05:32.480,0:05:34.490
我可以环绕它画出这样一个图形

0:05:34.490,0:05:36.340
而科赫曲线永远不会超出这个图形

0:05:36.340,0:05:38.960
我不准备做出一个严谨的证明

0:05:38.960,0:05:41.600
请想想每一边将会发生什么

0:05:41.600,0:05:45.550
在第一轮 我们得到这个突起的三角形

0:05:45.550,0:05:49.540
接下来继续构建三角形

0:05:49.540,0:05:52.280
下一轮你在这里构建两个三角形

0:05:52.310,0:05:53.940
那里也构建两个三角形

0:05:53.940,0:05:56.230
然后你又四处构建一些三角形

0:05:56.260,0:05:59.600
如此等等地构建三角形

0:05:59.630,0:06:02.520
请注意 你可以像这样持续地增加三角形

0:06:02.520,0:06:04.980
构成无限个的突起

0:06:05.020,0:06:07.070
但你永远不会超过最初的这个顶点

0:06:07.070,0:06:11.220
对于这一边是一样的道理

0:06:11.220,0:06:13.840
另一边也一样适用这个道理

0:06:13.870,0:06:17.540
这一边同样如此

0:06:17.540,0:06:19.550
那一边也是一样

0:06:19.550,0:06:22.330
而对那一边也是同样正确

0:06:22.350,0:06:24.590
即使你无限次地重复这些步骤

0:06:24.590,0:06:27.120
这个科赫曲线

0:06:27.160,0:06:30.130
其面积也不可能超越这个有界的六边形

0:06:30.130,0:06:32.070
或者说它的面积不会大于

0:06:32.070,0:06:34.530
这样一个图形的面积

0:06:34.530,0:06:36.450
我只是随意大致地勾画

0:06:36.450,0:06:38.200
在这个六边形之外

0:06:38.200,0:06:39.780
勾画一个圆圈

0:06:39.780,0:06:44.630
这个圆圈我用蓝色勾画 六边形我用洋红色勾画

0:06:44.630,0:06:46.820
很明显它们有固定的面积

0:06:46.820,0:06:49.480
因此科赫曲线将永远是有界的

0:06:49.480,0:06:52.450
即使你加上无限个突起

0:06:52.450,0:06:55.380
这一堆图案真是太神奇了

0:06:55.420,0:06:56.330
首先 这是个分形

0:06:56.330,0:06:58.760
你可以随意放大 它看起来还是一样

0:06:58.780,0:07:04.950
然后 它拥有无穷大的周长和有限大的面积

0:07:04.950,0:07:07.830
或许你会说 等等 这个太抽象了

0:07:07.830,0:07:10.120
这样的东西并不出现在真实生活中

0:07:10.120,0:07:13.240
有一个著名实验

0:07:13.240,0:07:14.820
人们会在分形世界里提到

0:07:14.870,0:07:17.770
这就是测量英国国土的周长

0:07:17.820,0:07:19.200
当然了 你可以由此得到任何国家国土的周长

0:07:19.200,0:07:21.170
英国国土的外形就像这样

0:07:21.170,0:07:22.730
我并不是这方面的专家

0:07:22.730,0:07:24.230
就假设它像这个样子

0:07:24.230,0:07:26.230
首先 你可以粗略估计它的周长

0:07:26.230,0:07:27.480
测量这一段距离

0:07:27.550,0:07:32.350
再测量那一段的距离加上这段的距离

0:07:32.350,0:07:36.070
和这段 这段 这段 以及这段的距离

0:07:36.070,0:07:37.660
看

0:07:37.660,0:07:38.590
这个周长是有限的

0:07:38.620,0:07:40.300
很明显 它的面积是有限的

0:07:40.300,0:07:42.300
但这看起来也有一个有限的周长

0:07:42.340,0:07:43.720
你会觉得 不 这并不够精确

0:07:43.750,0:07:45.380
你需要再稍微精确一点去估计

0:07:45.400,0:07:46.960
而不是那么粗糙地去估计

0:07:46.980,0:07:48.680
你需要一堆更小的线

0:07:48.680,0:07:50.740
你需要去构建更小的线

0:07:50.770,0:07:52.570
才能更贴近海岸

0:07:52.620,0:07:55.010
你会觉得 好的 这样已经很精确了

0:07:55.010,0:07:58.730
但如果我们截取海岸的一部分 将之放大

0:07:58.760,0:08:01.780
如果是足够的放大

0:08:01.780,0:08:03.980
那么实际的海岸线看起来就会像这样

0:08:04.020,0:08:08.190
实际的海岸线都会有这样的小花边

0:08:08.260,0:08:11.150
基本上 当你最初做这样的路线时

0:08:11.150,0:08:13.580
你只是在估量它的长度

0:08:13.580,0:08:15.740
可这并不是海岸线的周长

0:08:15.740,0:08:17.620
你必须去构建更多的线

0:08:17.650,0:08:18.850
你要像这样做

0:08:18.900,0:08:25.660
才能真正得到海岸线的周长

0:08:25.660,0:08:29.150
你会觉得 哇 这是一种粗略估计的好办法

0:08:29.150,0:08:32.190
可是只要你再继续扩大那一部分的海岸线

0:08:32.190,0:08:35.050
你会发现这实际上并不是看起来的那个样子

0:08:35.050,0:08:37.330
它实际上是像这样凸凹不平的

0:08:37.360,0:08:39.450
也或许像那个样子

0:08:39.450,0:08:42.810
取代那些粗略的线条 我们想那样去估量长度

0:08:42.890,0:08:43.850
你会说 等等

0:08:43.900,0:08:46.170
现在我需要更加贴近它

0:08:46.220,0:08:48.270
你可以持续这样做

0:08:48.310,0:08:50.150
一直到原子水平

0:08:50.150,0:08:54.730
因此真实的岛屿海岸线

0:08:54.770,0:08:58.790
大陆海岸线或其它任何海岸线 都是分形状的

0:08:58.840,0:09:01.210
你可以想象一下

0:09:01.210,0:09:03.130
它有几乎无穷大的周长

0:09:03.180,0:09:04.150
很明显 在一定程度上

0:09:04.220,0:09:05.480
你将进入到原子水平去研究它

0:09:05.520,0:09:06.610
因此这也不是完全相同

0:09:06.660,0:09:08.510
但却是同样的现象

0:09:08.540,0:09:10.390
这样想想确实是一件有趣的事