WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.090
这是一个等边三角形

00:00:03.090 --> 00:00:05.050
我将在这个等边三角形外

00:00:05.050 --> 00:00:06.540
做出另一个形状

00:00:06.540 --> 00:00:08.980
对这个三角形的每一边

00:00:09.000 --> 00:00:14.540
将它们分割为三等分

00:00:14.540 --> 00:00:18.790
我的等边三角形并没有画得非常标准

00:00:18.790 --> 00:00:20.110
但我想你能理解

00:00:20.110 --> 00:00:21.430
在中间这一段

00:00:21.450 --> 00:00:23.290
我想构建另一个等边三角形

00:00:23.290 --> 00:00:25.510
就在这个中间部分

00:00:25.540 --> 00:00:28.640
我马上会构建另一个等边三角形

00:00:28.640 --> 00:00:31.550
它们看起来是这个样子的

00:00:31.550 --> 00:00:33.860
就在这里

00:00:33.860 --> 00:00:37.130
我会构建另一个等边三角形

00:00:37.130 --> 00:00:40.320
从等边三角形着手

00:00:40.340 --> 00:00:43.320
现在它看起来像一个星星 或可以说是大卫星

00:00:43.370 --> 00:00:45.420
再次重复刚才的步骤

00:00:45.420 --> 00:00:48.390
现在对每一边 我将之分割为三等分

00:00:48.390 --> 00:00:51.490
在中间这一段 我将构建一个等边三角形

00:00:51.490 --> 00:00:54.150
在这儿构建一个等边三角形

00:00:54.150 --> 00:00:59.280
在中间这一段 我也将构建一个等边三角形

00:00:59.280 --> 00:01:01.660
在每一边都重复这样的步骤

00:01:01.660 --> 00:01:04.560
这里做一个等边三角形 这里也是

00:01:04.560 --> 00:01:10.860
你应该明白了但我想让这更加明晰 让我画下去

00:01:10.860 --> 00:01:16.270
就像这样

00:01:16.270 --> 00:01:20.850
这一轮可以完成了

00:01:20.850 --> 00:01:22.950
图像会像这个样子

00:01:22.990 --> 00:01:24.210
我可以再做一次

00:01:24.210 --> 00:01:27.020
每一条线段我都分割成三等分

00:01:27.020 --> 00:01:28.340
在它的基础上 画出另一个等边三角形

00:01:28.340 --> 00:01:32.210
就像这样

00:01:32.210 --> 00:01:33.270
我想你知道接下来是怎样的

00:01:33.270 --> 00:01:37.020
我可以这样持续地画下去直到永远

00:01:37.020 --> 00:01:39.710
在这段视频中 我想探究

00:01:39.710 --> 00:01:40.860
这里的情况是怎样的

00:01:40.860 --> 00:01:42.490
我实际上在画的是

00:01:42.490 --> 00:01:45.090
如果我们持续画下去直到永远

00:01:45.090 --> 00:01:48.100
对于每个循环 我们着眼每条边

00:01:48.130 --> 00:01:49.520
将之三等分

00:01:49.520 --> 00:01:52.460
在下一个循环又三等分

00:01:52.460 --> 00:01:53.320
下一个循环

00:01:53.320 --> 00:01:55.480
在中间的部分 我们将构建另一个等边三角形

00:01:55.480 --> 00:01:58.240
这里我们构建的新图形

00:01:58.240 --> 00:02:00.200
称之为科赫曲线

00:02:00.200 --> 00:02:02.890
我想我把科赫这个音念错了

00:02:02.890 --> 00:02:05.180
应该是科赫曲线

00:02:05.230 --> 00:02:07.810
这最初是由一名瑞典的数学家尼尔斯海格冯科赫

00:02:07.810 --> 00:02:12.490
这位绅士所提出来的

00:02:12.490 --> 00:02:14.640
我想我又念错了

00:02:14.670 --> 00:02:17.250
这也是最早被描述成的分形之一

00:02:17.270 --> 00:02:19.850
这是一个分形

00:02:19.850 --> 00:02:22.000
它被定义为分形的原因是

00:02:22.000 --> 00:02:23.790
它看起来极其相似

00:02:23.810 --> 00:02:26.340
或是说以任何的尺度去看它都是很相似的

00:02:26.340 --> 00:02:29.890
当你在这个尺度下观察图形

00:02:29.910 --> 00:02:32.410
你将看到一群上面有突起的三角形

00:02:32.410 --> 00:02:34.890
如果你将这里放大

00:02:34.910 --> 00:02:37.860
你会看到跟之前一样的图案

00:02:37.860 --> 00:02:39.840
再放大

00:02:39.860 --> 00:02:41.520
你会又一次看到相同的图案

00:02:41.580 --> 00:02:43.470
因此 一个分形指的是 无论以任何尺度

00:02:43.470 --> 00:02:46.810
任何缩放比例 看起来都大致相同

00:02:46.810 --> 00:02:48.700
这是它称之为分形的原因

00:02:48.720 --> 00:02:50.150
最有趣的是什么

00:02:50.200 --> 00:02:53.530
我又为何在这时候把它放在播放列表上

00:02:53.530 --> 00:02:56.790
这都是因为这个图形的周长是无穷大的

00:02:56.790 --> 00:02:58.330
如果你持续的画下去

00:02:58.370 --> 00:02:59.900
假使你构建的真的是科赫曲线

00:02:59.900 --> 00:03:03.260
那么在每个更小的三角形上

00:03:03.280 --> 00:03:05.240
你持续无限次地构建

00:03:05.280 --> 00:03:09.910
在每一边构建一个等边三角形

00:03:09.930 --> 00:03:11.680
去证明它的周长是无穷大的

00:03:11.680 --> 00:03:13.440
我们考虑它的一条边

00:03:13.440 --> 00:03:16.000
就比如说这一条边

00:03:16.000 --> 00:03:18.550
我们从最开始的

00:03:18.550 --> 00:03:20.050
原始三角形入手

00:03:20.080 --> 00:03:21.480
假设它每一边的长度是S

00:03:21.520 --> 00:03:23.930
我们将之分割为三等分

00:03:23.960 --> 00:03:26.290
我们分割它为三等分

00:03:26.310 --> 00:03:30.810
每一边都是S的三分之一 我们这样表示它

00:03:30.810 --> 00:03:35.940
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一

00:03:35.940 --> 00:03:38.820
在中间这一段 构建一个等边三角形

00:03:38.820 --> 00:03:41.910
在中间这一段 构建一个等边三角形

00:03:41.910 --> 00:03:44.090
每一边都是S的三分之一

00:03:44.090 --> 00:03:47.000
S的三分之一 S的三分之一

00:03:47.000 --> 00:03:50.700
这个新图形的长度

00:03:50.700 --> 00:03:53.270
对了 由于有突起 我们不能称它为直线了

00:03:53.290 --> 00:03:56.880
这一部分的长度

00:03:56.880 --> 00:03:59.110
不再仅仅是S了

00:03:59.150 --> 00:04:01.620
而是S的三分之一乘以4

00:04:01.620 --> 00:04:03.360
之前是S的三分之一乘以3

00:04:03.360 --> 00:04:07.550
而现在有4个长度为S的三分之一的线段

00:04:07.550 --> 00:04:10.500
所以像这样重复一次的构建三角形

00:04:10.500 --> 00:04:14.930
再把三角形的长度加起来

00:04:14.930 --> 00:04:16.300
我们新的一边

00:04:16.340 --> 00:04:23.560
突起后是4倍S的三分之一长 即S的三分之四

00:04:23.560 --> 00:04:30.950
假设我们原始的周长是P0

00:04:30.950 --> 00:04:34.230
一轮之后 我们得到了好几个突起

00:04:34.230 --> 00:04:35.670
周长变为了

00:04:35.710 --> 00:04:39.880
原始周长的三分之四

00:04:39.880 --> 00:04:42.660
由于现在每一边都将扩大为三分之四倍

00:04:42.660 --> 00:04:44.270
假设起始是由三条边构成的图案

00:04:44.290 --> 00:04:46.690
而现在每一边的长度都扩大为之前的三分之四倍

00:04:46.690 --> 00:04:48.950
于是新周长也变成了原周长的三分之四倍

00:04:48.950 --> 00:04:51.980
再此基础上进行第二轮

00:04:51.980 --> 00:04:54.470
这将得到第一轮长度的三分之四倍

00:04:54.470 --> 00:04:57.740
每一轮的长度都将扩大到上一轮的三分之四倍

00:04:57.790 --> 00:05:00.190
这是第三轮在扩大了

00:05:00.190 --> 00:05:03.550
这一轮的长度也是上一轮的三分之四倍

00:05:03.610 --> 00:05:05.590
如果你继续无限次地重复这些步骤

00:05:05.590 --> 00:05:10.740
任何一个数无限次乘以三分之四

00:05:10.740 --> 00:05:13.760
你都将得到一个无穷大的长度

00:05:13.760 --> 00:05:16.340
也就是第无限个P

00:05:16.360 --> 00:05:19.910
在无限次重复后得到的周长 将是无穷大

00:05:19.940 --> 00:05:22.140
这极其有趣

00:05:22.190 --> 00:05:24.300
想想一个东西竟然周长是无穷大

00:05:24.300 --> 00:05:28.260
更神奇的是它的面积却是有限大的

00:05:28.260 --> 00:05:30.120
我所说的有限大的面积

00:05:30.120 --> 00:05:32.480
实际上指的是它包含了一个有界的空间

00:05:32.480 --> 00:05:34.490
我可以环绕它画出这样一个图形

00:05:34.490 --> 00:05:36.340
而科赫曲线永远不会超出这个图形

00:05:36.340 --> 00:05:38.960
我不准备做出一个严谨的证明

00:05:38.960 --> 00:05:41.600
请想想每一边将会发生什么

00:05:41.600 --> 00:05:45.550
在第一轮 我们得到这个突起的三角形

00:05:45.550 --> 00:05:49.540
接下来继续构建三角形

00:05:49.540 --> 00:05:52.280
下一轮你在这里构建两个三角形

00:05:52.310 --> 00:05:53.940
那里也构建两个三角形

00:05:53.940 --> 00:05:56.230
然后你又四处构建一些三角形

00:05:56.260 --> 00:05:59.600
如此等等地构建三角形

00:05:59.630 --> 00:06:02.520
请注意 你可以像这样持续地增加三角形

00:06:02.520 --> 00:06:04.980
构成无限个的突起

00:06:05.020 --> 00:06:07.070
但你永远不会超过最初的这个顶点

00:06:07.070 --> 00:06:11.220
对于这一边是一样的道理

00:06:11.220 --> 00:06:13.840
另一边也一样适用这个道理

00:06:13.870 --> 00:06:17.540
这一边同样如此

00:06:17.540 --> 00:06:19.550
那一边也是一样

00:06:19.550 --> 00:06:22.330
而对那一边也是同样正确

00:06:22.350 --> 00:06:24.590
即使你无限次地重复这些步骤

00:06:24.590 --> 00:06:27.120
这个科赫曲线

00:06:27.160 --> 00:06:30.130
其面积也不可能超越这个有界的六边形

00:06:30.130 --> 00:06:32.070
或者说它的面积不会大于

00:06:32.070 --> 00:06:34.530
这样一个图形的面积

00:06:34.530 --> 00:06:36.450
我只是随意大致地勾画

00:06:36.450 --> 00:06:38.200
在这个六边形之外

00:06:38.200 --> 00:06:39.780
勾画一个圆圈

00:06:39.780 --> 00:06:44.630
这个圆圈我用蓝色勾画 六边形我用洋红色勾画

00:06:44.630 --> 00:06:46.820
很明显它们有固定的面积

00:06:46.820 --> 00:06:49.480
因此科赫曲线将永远是有界的

00:06:49.480 --> 00:06:52.450
即使你加上无限个突起

00:06:52.450 --> 00:06:55.380
这一堆图案真是太神奇了

00:06:55.420 --> 00:06:56.330
首先 这是个分形

00:06:56.330 --> 00:06:58.760
你可以随意放大 它看起来还是一样

00:06:58.780 --> 00:07:04.950
然后 它拥有无穷大的周长和有限大的面积

00:07:04.950 --> 00:07:07.830
或许你会说 等等 这个太抽象了

00:07:07.830 --> 00:07:10.120
这样的东西并不出现在真实生活中

00:07:10.120 --> 00:07:13.240
有一个著名实验

00:07:13.240 --> 00:07:14.820
人们会在分形世界里提到

00:07:14.870 --> 00:07:17.770
这就是测量英国国土的周长

00:07:17.820 --> 00:07:19.200
当然了 你可以由此得到任何国家国土的周长

00:07:19.200 --> 00:07:21.170
英国国土的外形就像这样

00:07:21.170 --> 00:07:22.730
我并不是这方面的专家

00:07:22.730 --> 00:07:24.230
就假设它像这个样子

00:07:24.230 --> 00:07:26.230
首先 你可以粗略估计它的周长

00:07:26.230 --> 00:07:27.480
测量这一段距离

00:07:27.550 --> 00:07:32.350
再测量那一段的距离加上这段的距离

00:07:32.350 --> 00:07:36.070
和这段 这段 这段 以及这段的距离

00:07:36.070 --> 00:07:37.660
看

00:07:37.660 --> 00:07:38.590
这个周长是有限的

00:07:38.620 --> 00:07:40.300
很明显 它的面积是有限的

00:07:40.300 --> 00:07:42.300
但这看起来也有一个有限的周长

00:07:42.340 --> 00:07:43.720
你会觉得 不 这并不够精确

00:07:43.750 --> 00:07:45.380
你需要再稍微精确一点去估计

00:07:45.400 --> 00:07:46.960
而不是那么粗糙地去估计

00:07:46.980 --> 00:07:48.680
你需要一堆更小的线

00:07:48.680 --> 00:07:50.740
你需要去构建更小的线

00:07:50.770 --> 00:07:52.570
才能更贴近海岸

00:07:52.620 --> 00:07:55.010
你会觉得 好的 这样已经很精确了

00:07:55.010 --> 00:07:58.730
但如果我们截取海岸的一部分 将之放大

00:07:58.760 --> 00:08:01.780
如果是足够的放大

00:08:01.780 --> 00:08:03.980
那么实际的海岸线看起来就会像这样

00:08:04.020 --> 00:08:08.190
实际的海岸线都会有这样的小花边

00:08:08.260 --> 00:08:11.150
基本上 当你最初做这样的路线时

00:08:11.150 --> 00:08:13.580
你只是在估量它的长度

00:08:13.580 --> 00:08:15.740
可这并不是海岸线的周长

00:08:15.740 --> 00:08:17.620
你必须去构建更多的线

00:08:17.650 --> 00:08:18.850
你要像这样做

00:08:18.900 --> 00:08:25.660
才能真正得到海岸线的周长

00:08:25.660 --> 00:08:29.150
你会觉得 哇 这是一种粗略估计的好办法

00:08:29.150 --> 00:08:32.190
可是只要你再继续扩大那一部分的海岸线

00:08:32.190 --> 00:08:35.050
你会发现这实际上并不是看起来的那个样子

00:08:35.050 --> 00:08:37.330
它实际上是像这样凸凹不平的

00:08:37.360 --> 00:08:39.450
也或许像那个样子

00:08:39.450 --> 00:08:42.810
取代那些粗略的线条 我们想那样去估量长度

00:08:42.890 --> 00:08:43.850
你会说 等等

00:08:43.900 --> 00:08:46.170
现在我需要更加贴近它

00:08:46.220 --> 00:08:48.270
你可以持续这样做

00:08:48.310 --> 00:08:50.150
一直到原子水平

00:08:50.150 --> 00:08:54.730
因此真实的岛屿海岸线

00:08:54.770 --> 00:08:58.790
大陆海岸线或其它任何海岸线 都是分形状的

00:08:58.840 --> 00:09:01.210
你可以想象一下

00:09:01.210 --> 00:09:03.130
它有几乎无穷大的周长

00:09:03.180 --> 00:09:04.150
很明显 在一定程度上

00:09:04.220 --> 00:09:05.480
你将进入到原子水平去研究它

00:09:05.520 --> 00:09:06.610
因此这也不是完全相同

00:09:06.660 --> 00:09:08.510
但却是同样的现象

00:09:08.540 --> 00:09:10.390
这样想想确实是一件有趣的事