这是一个等边三角形
我将在这个等边三角形外
做出另一个形状
对这个三角形的每一边
将它们分割为三等分
我的等边三角形并没有画得非常标准
但我想你能理解
在中间这一段
我想构建另一个等边三角形
就在这个中间部分
我马上会构建另一个等边三角形
它们看起来是这个样子的
就在这里
我会构建另一个等边三角形
从等边三角形着手
现在它看起来像一个星星 或可以说是大卫星
再次重复刚才的步骤
现在对每一边 我将之分割为三等分
在中间这一段 我将构建一个等边三角形
在这儿构建一个等边三角形
在中间这一段 我也将构建一个等边三角形
在每一边都重复这样的步骤
这里做一个等边三角形 这里也是
你应该明白了但我想让这更加明晰 让我画下去
就像这样
这一轮可以完成了
图像会像这个样子
我可以再做一次
每一条线段我都分割成三等分
在它的基础上 画出另一个等边三角形
就像这样
我想你知道接下来是怎样的
我可以这样持续地画下去直到永远
在这段视频中 我想探究
这里的情况是怎样的
我实际上在画的是
如果我们持续画下去直到永远
对于每个循环 我们着眼每条边
将之三等分
在下一个循环又三等分
下一个循环
在中间的部分 我们将构建另一个等边三角形
这里我们构建的新图形
称之为科赫曲线
我想我把科赫这个音念错了
应该是科赫曲线
这最初是由一名瑞典的数学家尼尔斯海格冯科赫
这位绅士所提出来的
我想我又念错了
这也是最早被描述成的分形之一
这是一个分形
它被定义为分形的原因是
它看起来极其相似
或是说以任何的尺度去看它都是很相似的
当你在这个尺度下观察图形
你将看到一群上面有突起的三角形
如果你将这里放大
你会看到跟之前一样的图案
再放大
你会又一次看到相同的图案
因此 一个分形指的是 无论以任何尺度
任何缩放比例 看起来都大致相同
这是它称之为分形的原因
最有趣的是什么
我又为何在这时候把它放在播放列表上
这都是因为这个图形的周长是无穷大的
如果你持续的画下去
假使你构建的真的是科赫曲线
那么在每个更小的三角形上
你持续无限次地构建
在每一边构建一个等边三角形
去证明它的周长是无穷大的
我们考虑它的一条边
就比如说这一条边
我们从最开始的
原始三角形入手
假设它每一边的长度是S
我们将之分割为三等分
我们分割它为三等分
每一边都是S的三分之一 我们这样表示它
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
在中间这一段 构建一个等边三角形
每一边都是S的三分之一
S的三分之一 S的三分之一
这个新图形的长度
对了 由于有突起 我们不能称它为直线了
这一部分的长度
不再仅仅是S了
而是S的三分之一乘以4
之前是S的三分之一乘以3
而现在有4个长度为S的三分之一的线段
所以像这样重复一次的构建三角形
再把三角形的长度加起来
我们新的一边
突起后是4倍S的三分之一长 即S的三分之四
假设我们原始的周长是P0
一轮之后 我们得到了好几个突起
周长变为了
原始周长的三分之四
由于现在每一边都将扩大为三分之四倍
假设起始是由三条边构成的图案
而现在每一边的长度都扩大为之前的三分之四倍
于是新周长也变成了原周长的三分之四倍
再此基础上进行第二轮
这将得到第一轮长度的三分之四倍
每一轮的长度都将扩大到上一轮的三分之四倍
这是第三轮在扩大了
这一轮的长度也是上一轮的三分之四倍
如果你继续无限次地重复这些步骤
任何一个数无限次乘以三分之四
你都将得到一个无穷大的长度
也就是第无限个P
在无限次重复后得到的周长 将是无穷大
这极其有趣
想想一个东西竟然周长是无穷大
更神奇的是它的面积却是有限大的
我所说的有限大的面积
实际上指的是它包含了一个有界的空间
我可以环绕它画出这样一个图形
而科赫曲线永远不会超出这个图形
我不准备做出一个严谨的证明
请想想每一边将会发生什么
在第一轮 我们得到这个突起的三角形
接下来继续构建三角形
下一轮你在这里构建两个三角形
那里也构建两个三角形
然后你又四处构建一些三角形
如此等等地构建三角形
请注意 你可以像这样持续地增加三角形
构成无限个的突起
但你永远不会超过最初的这个顶点
对于这一边是一样的道理
另一边也一样适用这个道理
这一边同样如此
那一边也是一样
而对那一边也是同样正确
即使你无限次地重复这些步骤
这个科赫曲线
其面积也不可能超越这个有界的六边形
或者说它的面积不会大于
这样一个图形的面积
我只是随意大致地勾画
在这个六边形之外
勾画一个圆圈
这个圆圈我用蓝色勾画 六边形我用洋红色勾画
很明显它们有固定的面积
因此科赫曲线将永远是有界的
即使你加上无限个突起
这一堆图案真是太神奇了
首先 这是个分形
你可以随意放大 它看起来还是一样
然后 它拥有无穷大的周长和有限大的面积
或许你会说 等等 这个太抽象了
这样的东西并不出现在真实生活中
有一个著名实验
人们会在分形世界里提到
这就是测量英国国土的周长
当然了 你可以由此得到任何国家国土的周长
英国国土的外形就像这样
我并不是这方面的专家
就假设它像这个样子
首先 你可以粗略估计它的周长
测量这一段距离
再测量那一段的距离加上这段的距离
和这段 这段 这段 以及这段的距离
看
这个周长是有限的
很明显 它的面积是有限的
但这看起来也有一个有限的周长
你会觉得 不 这并不够精确
你需要再稍微精确一点去估计
而不是那么粗糙地去估计
你需要一堆更小的线
你需要去构建更小的线
才能更贴近海岸
你会觉得 好的 这样已经很精确了
但如果我们截取海岸的一部分 将之放大
如果是足够的放大
那么实际的海岸线看起来就会像这样
实际的海岸线都会有这样的小花边
基本上 当你最初做这样的路线时
你只是在估量它的长度
可这并不是海岸线的周长
你必须去构建更多的线
你要像这样做
才能真正得到海岸线的周长
你会觉得 哇 这是一种粗略估计的好办法
可是只要你再继续扩大那一部分的海岸线
你会发现这实际上并不是看起来的那个样子
它实际上是像这样凸凹不平的
也或许像那个样子
取代那些粗略的线条 我们想那样去估量长度
你会说 等等
现在我需要更加贴近它
你可以持续这样做
一直到原子水平
因此真实的岛屿海岸线
大陆海岸线或其它任何海岸线 都是分形状的
你可以想象一下
它有几乎无穷大的周长
很明显 在一定程度上
你将进入到原子水平去研究它
因此这也不是完全相同
但却是同样的现象
这样想想确实是一件有趣的事