1
00:00:00,000 --> 00:00:03,090
这是一个等边三角形

2
00:00:03,090 --> 00:00:05,050
我将在这个等边三角形外

3
00:00:05,050 --> 00:00:06,540
做出另一个形状

4
00:00:06,540 --> 00:00:08,980
对这个三角形的每一边

5
00:00:09,000 --> 00:00:14,540
将它们分割为三等分

6
00:00:14,540 --> 00:00:18,790
我的等边三角形并没有画得非常标准

7
00:00:18,790 --> 00:00:20,110
但我想你能理解

8
00:00:20,110 --> 00:00:21,430
在中间这一段

9
00:00:21,450 --> 00:00:23,290
我想构建另一个等边三角形

10
00:00:23,290 --> 00:00:25,510
就在这个中间部分

11
00:00:25,540 --> 00:00:28,640
我马上会构建另一个等边三角形

12
00:00:28,640 --> 00:00:31,550
它们看起来是这个样子的

13
00:00:31,550 --> 00:00:33,860
就在这里

14
00:00:33,860 --> 00:00:37,130
我会构建另一个等边三角形

15
00:00:37,130 --> 00:00:40,320
从等边三角形着手

16
00:00:40,340 --> 00:00:43,320
现在它看起来像一个星星 或可以说是大卫星

17
00:00:43,370 --> 00:00:45,420
再次重复刚才的步骤

18
00:00:45,420 --> 00:00:48,390
现在对每一边 我将之分割为三等分

19
00:00:48,390 --> 00:00:51,490
在中间这一段 我将构建一个等边三角形

20
00:00:51,490 --> 00:00:54,150
在这儿构建一个等边三角形

21
00:00:54,150 --> 00:00:59,280
在中间这一段 我也将构建一个等边三角形

22
00:00:59,280 --> 00:01:01,660
在每一边都重复这样的步骤

23
00:01:01,660 --> 00:01:04,560
这里做一个等边三角形 这里也是

24
00:01:04,560 --> 00:01:10,860
你应该明白了但我想让这更加明晰 让我画下去

25
00:01:10,860 --> 00:01:16,270
就像这样

26
00:01:16,270 --> 00:01:20,850
这一轮可以完成了

27
00:01:20,850 --> 00:01:22,950
图像会像这个样子

28
00:01:22,990 --> 00:01:24,210
我可以再做一次

29
00:01:24,210 --> 00:01:27,020
每一条线段我都分割成三等分

30
00:01:27,020 --> 00:01:28,340
在它的基础上 画出另一个等边三角形

31
00:01:28,340 --> 00:01:32,210
就像这样

32
00:01:32,210 --> 00:01:33,270
我想你知道接下来是怎样的

33
00:01:33,270 --> 00:01:37,020
我可以这样持续地画下去直到永远

34
00:01:37,020 --> 00:01:39,710
在这段视频中 我想探究

35
00:01:39,710 --> 00:01:40,860
这里的情况是怎样的

36
00:01:40,860 --> 00:01:42,490
我实际上在画的是

37
00:01:42,490 --> 00:01:45,090
如果我们持续画下去直到永远

38
00:01:45,090 --> 00:01:48,100
对于每个循环 我们着眼每条边

39
00:01:48,130 --> 00:01:49,520
将之三等分

40
00:01:49,520 --> 00:01:52,460
在下一个循环又三等分

41
00:01:52,460 --> 00:01:53,320
下一个循环

42
00:01:53,320 --> 00:01:55,480
在中间的部分 我们将构建另一个等边三角形

43
00:01:55,480 --> 00:01:58,240
这里我们构建的新图形

44
00:01:58,240 --> 00:02:00,200
称之为科赫曲线

45
00:02:00,200 --> 00:02:02,890
我想我把科赫这个音念错了

46
00:02:02,890 --> 00:02:05,180
应该是科赫曲线

47
00:02:05,230 --> 00:02:07,810
这最初是由一名瑞典的数学家尼尔斯海格冯科赫

48
00:02:07,810 --> 00:02:12,490
这位绅士所提出来的

49
00:02:12,490 --> 00:02:14,640
我想我又念错了

50
00:02:14,670 --> 00:02:17,250
这也是最早被描述成的分形之一

51
00:02:17,270 --> 00:02:19,850
这是一个分形

52
00:02:19,850 --> 00:02:22,000
它被定义为分形的原因是

53
00:02:22,000 --> 00:02:23,790
它看起来极其相似

54
00:02:23,810 --> 00:02:26,340
或是说以任何的尺度去看它都是很相似的

55
00:02:26,340 --> 00:02:29,890
当你在这个尺度下观察图形

56
00:02:29,910 --> 00:02:32,410
你将看到一群上面有突起的三角形

57
00:02:32,410 --> 00:02:34,890
如果你将这里放大

58
00:02:34,910 --> 00:02:37,860
你会看到跟之前一样的图案

59
00:02:37,860 --> 00:02:39,840
再放大

60
00:02:39,860 --> 00:02:41,520
你会又一次看到相同的图案

61
00:02:41,580 --> 00:02:43,470
因此 一个分形指的是 无论以任何尺度

62
00:02:43,470 --> 00:02:46,810
任何缩放比例 看起来都大致相同

63
00:02:46,810 --> 00:02:48,700
这是它称之为分形的原因

64
00:02:48,720 --> 00:02:50,150
最有趣的是什么

65
00:02:50,200 --> 00:02:53,530
我又为何在这时候把它放在播放列表上

66
00:02:53,530 --> 00:02:56,790
这都是因为这个图形的周长是无穷大的

67
00:02:56,790 --> 00:02:58,330
如果你持续的画下去

68
00:02:58,370 --> 00:02:59,900
假使你构建的真的是科赫曲线

69
00:02:59,900 --> 00:03:03,260
那么在每个更小的三角形上

70
00:03:03,280 --> 00:03:05,240
你持续无限次地构建

71
00:03:05,280 --> 00:03:09,910
在每一边构建一个等边三角形

72
00:03:09,930 --> 00:03:11,680
去证明它的周长是无穷大的

73
00:03:11,680 --> 00:03:13,440
我们考虑它的一条边

74
00:03:13,440 --> 00:03:16,000
就比如说这一条边

75
00:03:16,000 --> 00:03:18,550
我们从最开始的

76
00:03:18,550 --> 00:03:20,050
原始三角形入手

77
00:03:20,080 --> 00:03:21,480
假设它每一边的长度是S

78
00:03:21,520 --> 00:03:23,930
我们将之分割为三等分

79
00:03:23,960 --> 00:03:26,290
我们分割它为三等分

80
00:03:26,310 --> 00:03:30,810
每一边都是S的三分之一 我们这样表示它

81
00:03:30,810 --> 00:03:35,940
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一

82
00:03:35,940 --> 00:03:38,820
在中间这一段 构建一个等边三角形

83
00:03:38,820 --> 00:03:41,910
在中间这一段 构建一个等边三角形

84
00:03:41,910 --> 00:03:44,090
每一边都是S的三分之一

85
00:03:44,090 --> 00:03:47,000
S的三分之一 S的三分之一

86
00:03:47,000 --> 00:03:50,700
这个新图形的长度

87
00:03:50,700 --> 00:03:53,270
对了 由于有突起 我们不能称它为直线了

88
00:03:53,290 --> 00:03:56,880
这一部分的长度

89
00:03:56,880 --> 00:03:59,110
不再仅仅是S了

90
00:03:59,150 --> 00:04:01,620
而是S的三分之一乘以4

91
00:04:01,620 --> 00:04:03,360
之前是S的三分之一乘以3

92
00:04:03,360 --> 00:04:07,550
而现在有4个长度为S的三分之一的线段

93
00:04:07,550 --> 00:04:10,500
所以像这样重复一次的构建三角形

94
00:04:10,500 --> 00:04:14,930
再把三角形的长度加起来

95
00:04:14,930 --> 00:04:16,300
我们新的一边

96
00:04:16,340 --> 00:04:23,560
突起后是4倍S的三分之一长 即S的三分之四

97
00:04:23,560 --> 00:04:30,950
假设我们原始的周长是P0

98
00:04:30,950 --> 00:04:34,230
一轮之后 我们得到了好几个突起

99
00:04:34,230 --> 00:04:35,670
周长变为了

100
00:04:35,710 --> 00:04:39,880
原始周长的三分之四

101
00:04:39,880 --> 00:04:42,660
由于现在每一边都将扩大为三分之四倍

102
00:04:42,660 --> 00:04:44,270
假设起始是由三条边构成的图案

103
00:04:44,290 --> 00:04:46,690
而现在每一边的长度都扩大为之前的三分之四倍

104
00:04:46,690 --> 00:04:48,950
于是新周长也变成了原周长的三分之四倍

105
00:04:48,950 --> 00:04:51,980
再此基础上进行第二轮

106
00:04:51,980 --> 00:04:54,470
这将得到第一轮长度的三分之四倍

107
00:04:54,470 --> 00:04:57,740
每一轮的长度都将扩大到上一轮的三分之四倍

108
00:04:57,790 --> 00:05:00,190
这是第三轮在扩大了

109
00:05:00,190 --> 00:05:03,550
这一轮的长度也是上一轮的三分之四倍

110
00:05:03,610 --> 00:05:05,590
如果你继续无限次地重复这些步骤

111
00:05:05,590 --> 00:05:10,740
任何一个数无限次乘以三分之四

112
00:05:10,740 --> 00:05:13,760
你都将得到一个无穷大的长度

113
00:05:13,760 --> 00:05:16,340
也就是第无限个P

114
00:05:16,360 --> 00:05:19,910
在无限次重复后得到的周长 将是无穷大

115
00:05:19,940 --> 00:05:22,140
这极其有趣

116
00:05:22,190 --> 00:05:24,300
想想一个东西竟然周长是无穷大

117
00:05:24,300 --> 00:05:28,260
更神奇的是它的面积却是有限大的

118
00:05:28,260 --> 00:05:30,120
我所说的有限大的面积

119
00:05:30,120 --> 00:05:32,480
实际上指的是它包含了一个有界的空间

120
00:05:32,480 --> 00:05:34,490
我可以环绕它画出这样一个图形

121
00:05:34,490 --> 00:05:36,340
而科赫曲线永远不会超出这个图形

122
00:05:36,340 --> 00:05:38,960
我不准备做出一个严谨的证明

123
00:05:38,960 --> 00:05:41,600
请想想每一边将会发生什么

124
00:05:41,600 --> 00:05:45,550
在第一轮 我们得到这个突起的三角形

125
00:05:45,550 --> 00:05:49,540
接下来继续构建三角形

126
00:05:49,540 --> 00:05:52,280
下一轮你在这里构建两个三角形

127
00:05:52,310 --> 00:05:53,940
那里也构建两个三角形

128
00:05:53,940 --> 00:05:56,230
然后你又四处构建一些三角形

129
00:05:56,260 --> 00:05:59,600
如此等等地构建三角形

130
00:05:59,630 --> 00:06:02,520
请注意 你可以像这样持续地增加三角形

131
00:06:02,520 --> 00:06:04,980
构成无限个的突起

132
00:06:05,020 --> 00:06:07,070
但你永远不会超过最初的这个顶点

133
00:06:07,070 --> 00:06:11,220
对于这一边是一样的道理

134
00:06:11,220 --> 00:06:13,840
另一边也一样适用这个道理

135
00:06:13,870 --> 00:06:17,540
这一边同样如此

136
00:06:17,540 --> 00:06:19,550
那一边也是一样

137
00:06:19,550 --> 00:06:22,330
而对那一边也是同样正确

138
00:06:22,350 --> 00:06:24,590
即使你无限次地重复这些步骤

139
00:06:24,590 --> 00:06:27,120
这个科赫曲线

140
00:06:27,160 --> 00:06:30,130
其面积也不可能超越这个有界的六边形

141
00:06:30,130 --> 00:06:32,070
或者说它的面积不会大于

142
00:06:32,070 --> 00:06:34,530
这样一个图形的面积

143
00:06:34,530 --> 00:06:36,450
我只是随意大致地勾画

144
00:06:36,450 --> 00:06:38,200
在这个六边形之外

145
00:06:38,200 --> 00:06:39,780
勾画一个圆圈

146
00:06:39,780 --> 00:06:44,630
这个圆圈我用蓝色勾画 六边形我用洋红色勾画

147
00:06:44,630 --> 00:06:46,820
很明显它们有固定的面积

148
00:06:46,820 --> 00:06:49,480
因此科赫曲线将永远是有界的

149
00:06:49,480 --> 00:06:52,450
即使你加上无限个突起

150
00:06:52,450 --> 00:06:55,380
这一堆图案真是太神奇了

151
00:06:55,420 --> 00:06:56,330
首先 这是个分形

152
00:06:56,330 --> 00:06:58,760
你可以随意放大 它看起来还是一样

153
00:06:58,780 --> 00:07:04,950
然后 它拥有无穷大的周长和有限大的面积

154
00:07:04,950 --> 00:07:07,830
或许你会说 等等 这个太抽象了

155
00:07:07,830 --> 00:07:10,120
这样的东西并不出现在真实生活中

156
00:07:10,120 --> 00:07:13,240
有一个著名实验

157
00:07:13,240 --> 00:07:14,820
人们会在分形世界里提到

158
00:07:14,870 --> 00:07:17,770
这就是测量英国国土的周长

159
00:07:17,820 --> 00:07:19,200
当然了 你可以由此得到任何国家国土的周长

160
00:07:19,200 --> 00:07:21,170
英国国土的外形就像这样

161
00:07:21,170 --> 00:07:22,730
我并不是这方面的专家

162
00:07:22,730 --> 00:07:24,230
就假设它像这个样子

163
00:07:24,230 --> 00:07:26,230
首先 你可以粗略估计它的周长

164
00:07:26,230 --> 00:07:27,480
测量这一段距离

165
00:07:27,550 --> 00:07:32,350
再测量那一段的距离加上这段的距离

166
00:07:32,350 --> 00:07:36,070
和这段 这段 这段 以及这段的距离

167
00:07:36,070 --> 00:07:37,660
看

168
00:07:37,660 --> 00:07:38,590
这个周长是有限的

169
00:07:38,620 --> 00:07:40,300
很明显 它的面积是有限的

170
00:07:40,300 --> 00:07:42,300
但这看起来也有一个有限的周长

171
00:07:42,340 --> 00:07:43,720
你会觉得 不 这并不够精确

172
00:07:43,750 --> 00:07:45,380
你需要再稍微精确一点去估计

173
00:07:45,400 --> 00:07:46,960
而不是那么粗糙地去估计

174
00:07:46,980 --> 00:07:48,680
你需要一堆更小的线

175
00:07:48,680 --> 00:07:50,740
你需要去构建更小的线

176
00:07:50,770 --> 00:07:52,570
才能更贴近海岸

177
00:07:52,620 --> 00:07:55,010
你会觉得 好的 这样已经很精确了

178
00:07:55,010 --> 00:07:58,730
但如果我们截取海岸的一部分 将之放大

179
00:07:58,760 --> 00:08:01,780
如果是足够的放大

180
00:08:01,780 --> 00:08:03,980
那么实际的海岸线看起来就会像这样

181
00:08:04,020 --> 00:08:08,190
实际的海岸线都会有这样的小花边

182
00:08:08,260 --> 00:08:11,150
基本上 当你最初做这样的路线时

183
00:08:11,150 --> 00:08:13,580
你只是在估量它的长度

184
00:08:13,580 --> 00:08:15,740
可这并不是海岸线的周长

185
00:08:15,740 --> 00:08:17,620
你必须去构建更多的线

186
00:08:17,650 --> 00:08:18,850
你要像这样做

187
00:08:18,900 --> 00:08:25,660
才能真正得到海岸线的周长

188
00:08:25,660 --> 00:08:29,150
你会觉得 哇 这是一种粗略估计的好办法

189
00:08:29,150 --> 00:08:32,190
可是只要你再继续扩大那一部分的海岸线

190
00:08:32,190 --> 00:08:35,050
你会发现这实际上并不是看起来的那个样子

191
00:08:35,050 --> 00:08:37,330
它实际上是像这样凸凹不平的

192
00:08:37,360 --> 00:08:39,450
也或许像那个样子

193
00:08:39,450 --> 00:08:42,810
取代那些粗略的线条 我们想那样去估量长度

194
00:08:42,890 --> 00:08:43,850
你会说 等等

195
00:08:43,900 --> 00:08:46,170
现在我需要更加贴近它

196
00:08:46,220 --> 00:08:48,270
你可以持续这样做

197
00:08:48,310 --> 00:08:50,150
一直到原子水平

198
00:08:50,150 --> 00:08:54,730
因此真实的岛屿海岸线

199
00:08:54,770 --> 00:08:58,790
大陆海岸线或其它任何海岸线 都是分形状的

200
00:08:58,840 --> 00:09:01,210
你可以想象一下

201
00:09:01,210 --> 00:09:03,130
它有几乎无穷大的周长

202
00:09:03,180 --> 00:09:04,150
很明显 在一定程度上

203
00:09:04,220 --> 00:09:05,480
你将进入到原子水平去研究它

204
00:09:05,520 --> 00:09:06,610
因此这也不是完全相同

205
00:09:06,660 --> 00:09:08,510
但却是同样的现象

206
00:09:08,540 --> 00:09:10,390
这样想想确实是一件有趣的事