-
Това е равностранен триъгълник.
-
И аз искам да направя друга фигура
-
от него.
-
Затова ще разделя всяка от страните му
-
на три равни части.
-
Може би не съм нарисувал равностранен триъгълник супер точно,
-
но мисля, че разбирате идеята.
-
В средната част искам да построя
-
още един равностранен триъгълник.
-
Ето, в средната част тук,
-
ще конструирам нов равностранен триъгълник.
-
Ще изглежда ето така.
-
И после тук ще сложа
-
още един равностранен триъгълник.
-
Така направих от един равностранен триъгълник
-
нещо, което прилича на звездата на Давид.
-
И ще го направя още веднъж.
-
Ще разделя всяка от малките страни на три равни части.
-
И в средната част, ще сложа нов равностранен триъгълник.
-
Ето, добавям още един равностранен триъгълник.
-
И за всяка една от страните, в средната част,
-
ще направя равностранен триъгълник
-
Ето тук и тук.
-
Мисля, че разбирате идеята, но нека все пак довърша...
-
Ето тук, ето така...
-
Почти съм готов за този рунд.
-
И изглежда така.
-
И сега мога още веднъж.
-
Разделям всяка от страните на три равни части
-
и рисувам още един равностранен триъгълник.
-
Тук и тук и тук...
-
Мисля, че усещате накъде отиваме.
-
Мога да правя това до безкрай.
-
В това видео искам да помислим
-
какво се случва тук.
-
Това, което всъщност рисувам,
-
ако продължа до безкрай,
-
всеки рунд, разделям страната
-
на три равни части
-
и след това пак
-
и пак
-
и винаги в средата рисувам равностранен триъгълник.
-
Фигурата, която рисувам тук
-
се казва "Снежинка на Кох".
-
Сигурно не му произнасям правилно името.
-
Тази снежинката е описана
-
за пръв път от този джентълмен на снимката,
-
който е шведският математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох.
-
Не знам дали го произнасям правилно.
-
Това е едно от първите описания на "фрактали".
-
Това е фрактал.
-
Причината да се нарича така е,
-
че изглежда еднакво или поне сходно,
-
в какъвто и мащаб да го гледаме.
-
Ако го гледаш само в тази част
-
изглежда като много триъгълници с гърбици на тях.
-
Но ако гледаш само тази по-малка част,
-
пак ще видиш същия модел.
-
И ако още по-отблизо погледнеш,
-
пак ще видиш същите форми.
-
Така, че фрактал е всичко, което във всеки мащаб,
-
от по-близо или по-далече, изглежда горе долу същото.
-
Затова се казва "фрактал".
-
А това, което е особено интересно
-
и затова го сложих в плейлиста по геометрия е,
-
че фракталът има безкрайна обиколка.
-
Нека продължим да добавяме,
-
като Снежинката на Кох,
-
безкрайно много пъти
-
на всеки малък триъгълник
-
по още един по-малък на страните му
-
И за да покажа, че има безкрайна обиколка,
-
ще взема само тази част тук.
-
Това е една от страните
-
на първоначалния триъгълник,
-
от който започнахме.
-
Да кажем че дължината й е S.
-
След това я разделяма на три равни части.
-
Три равни сегмента.
-
И ще ги обозначим S/3, S/3,
-
S - дължината, делено на 3.
-
В средния сегмент, рисуваме нов равностранен триъгълник.
-
И понеже е триъгълник с равни страни.
-
Всяка от страните му ще е равна на S/3.
-
S/3, S/3.
-
И сега дължината на тази нова част,
-
не е вече линия, защото има тази гърбица.
-
Дължината на тази част
-
не е само дължината S.
-
Сега е S/3 х 4.
-
Преди беше S/3 x 3,
-
а сага имаме един, два, три, четири сегмента с дължина S/3.
-
Така че след едно разиграване, след един рунд,
-
след едно добавяне на триъгълник,
-
новата страна с тази гърбица
-
е 4 пъти по S делено на 3. Или 4/3 S.
-
Ако обозначим първоначалната обиколка на триъгълника с Pо,
-
след добавянето на едната гърбица
-
обиколката стана
-
четири трети по първоначалната.
-
Защото всяка от страните му е 4/3 по-голяма сега.
-
Триъгълникът е съставен от 3 страни,
-
всяка от тях сега е 4/3 по-дълга.
-
Така че обиколката му е 4/3 по-дълга.
-
Нека направим втори рунд.
-
Той ще бъде 4/3 по първия резултат.
-
Така че всеки път ще правим обиколката 4/3 по-дълга.
-
Увеличава се с четири трети
-
от предишния път.
-
И ако повторим това безброй много пъти,
-
ако умножим което и да е число по 4/3 безброй много пъти,
-
ще получим безкрайно число, безкрайна дължина.
-
Така че обиколката P безкрайност,
-
при безброй много малки триъгълници - е безкрайност.
-
Това си е доста яко само по себе си,
-
че нещо може да има безкрайна обиколка.
-
Обаче още по-яко е, че този фрактал има крайна площ.
-
Имам предвид ограничена площ,
-
която покрива ограничено пространство.
-
Мога да начертая линии около фрактала
-
и той никога няма да излезе от тях.
-
Няма да правя много формално доказателство,
-
само помислете какво става на всяка от страните.
-
Първия път добавихме този триъгълник.
-
Но после, всеки път,
-
дали добавяме малки триъгълници тук
-
или тези двамата тук
-
тук и тук
-
и така нататък.
-
Забележете, че може да добавяме още и още, безкрайно много малки гърбици,
-
но никога няма да минем по-далеч
-
от тази първоначална точка тук.
-
И това важи и за тази страна,
-
както и за тази тук.
-
Също важи за тази,
-
също и за онази страна.
-
Важи и за тази страна тук.
-
Така че дори безброй пъти да го правим,
-
тази форма, Снежинката на Кох,
-
никога няма да прекрачи границата на този шестоъгълник.
-
И няма да има по-голяма площ
-
от фигура, която изглежда някак си така.
-
Нещо на око рисувам просто.
-
Извън шестоъгълника
-
рисувам кръг.
-
Кръгът в синьо и шестоъгълникът в лилаво
-
очевидно имат ограничена площ.
-
И тази Снежинка на Кох винаги ще бъде затворена,
-
дори да й добавяме гърбици безброй много пъти.
-
Така че, ето две яки неща.
-
Едно, това е фрактал.
-
Може да зуум-ваш напред и назад, но ще изглежда еднакво.
-
Също, безкрайна обиколка, но ограничена площ.
-
Ще кажете: Чакай, това е доста абстрактно.
-
Такива неща не съществуват в реалния свят.
-
Ето един забавен мислен експеримент,
-
за който хората във фракталния свят говорят.
-
Нека намерим обиколката на Англия.
-
Или който и да е остров.
-
Англия изглежда горе-долу така.
-
Макар че не съм експерт, но
-
нека кажем, че е нещо такова.
-
В началото може да измерим приблизителен
-
периметър, приблизително разстояние.
-
Измерваме това разстояние плюс това
-
плюс това и това.
-
И така като погледнем,
-
има ограничен периметър.
-
Очевидно има ограничено лице,
-
но изглежда и като да има ограничен периметър.
-
Само че човек си казва: Това не достатъчно.
-
Да го начертаем по-точно.
-
Да направим повече,
-
по-малки линии.
-
По-конкретни линии, които да
-
очертаят бреговата линия по-точно.
-
И си казваш: ОК, това е по-близо до истината.;
-
Но после нека зуум-нем в една част от брега,
-
ако се приближим достатъчно,
-
бреговата линия ще изглежда горе-долу така.
-
Бреговата линия има всички тези малки заливчета.
-
В началото измервахме само тази
-
права линия.
-
Но ако искаш по-точно да измериш бреговата линия,
-
ще трябва да следваш още много линийки.
-
Нещо такова.
-
За да хванеш по-точно обиколката на брега.
-
И си казваш: "Това вече е добра база да намерим обиколката."
-
Но ако погледнем още по-близо тази част от брега,
-
се оказва, че тя не изглежда точно така.
-
Ще е още по-набраздена,
-
може би така.
-
И така, вместо тези груби линии, които мерят само това,
-
си казваш: "Искам да го начертая още
-
по-близо до самия бряг."
-
И можеш да продължаваш така,
-
докато стигнеш до атомно ниво.
-
Така че реалната брегова линия на остров,
-
или континент, или каквото и да било е по някакъв начин фрактална.
-
И ако се замислим, сякаш има
-
почти безкраен периметър.
-
Очевидно, в някакъв момент
-
ще трябва да стигнем до атомно ниво,
-
така че не е съвсем така,
-
но е горе-долу същото явление.
-
Интересно е като се замислим.
