WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.090
Това е равностранен триъгълник.

00:00:03.090 --> 00:00:05.050
И аз искам да направя друга фигура

00:00:05.050 --> 00:00:06.540
от него.

00:00:06.540 --> 00:00:08.980
Затова ще разделя всяка от страните му

00:00:09.000 --> 00:00:14.540
на три равни части.

00:00:14.540 --> 00:00:18.790
Може би не съм нарисувал равностранен триъгълник супер точно,

00:00:18.790 --> 00:00:20.110
но мисля, че разбирате идеята.

00:00:20.110 --> 00:00:21.430
В средната част искам да построя

00:00:21.450 --> 00:00:23.290
още един равностранен триъгълник.

00:00:23.290 --> 00:00:25.510
Ето, в средната част тук,

00:00:25.540 --> 00:00:28.640
ще конструирам нов равностранен триъгълник.

00:00:28.640 --> 00:00:31.550
Ще изглежда ето така.

00:00:31.550 --> 00:00:33.860
И после тук ще сложа

00:00:33.860 --> 00:00:37.130
още един равностранен триъгълник.

00:00:37.130 --> 00:00:40.320
Така направих от един равностранен триъгълник

00:00:40.340 --> 00:00:43.320
нещо, което прилича на звездата на Давид.

00:00:43.370 --> 00:00:45.420
И ще го направя още веднъж.

00:00:45.420 --> 00:00:48.390
Ще разделя всяка от малките страни на три равни части.

00:00:48.390 --> 00:00:51.490
И в средната част, ще сложа нов равностранен триъгълник.

00:00:51.490 --> 00:00:54.150
Ето, добавям още един равностранен триъгълник.

00:00:54.150 --> 00:00:59.280
И за всяка една от страните, в средната част,

00:00:59.280 --> 00:01:01.660
ще направя равностранен триъгълник

00:01:01.660 --> 00:01:04.560
Ето тук и тук.

00:01:04.560 --> 00:01:10.860
Мисля, че разбирате идеята, но нека все пак довърша...

00:01:10.860 --> 00:01:16.270
Ето тук, ето така...

00:01:16.270 --> 00:01:20.850
Почти съм готов за този рунд.

00:01:20.850 --> 00:01:22.950
И изглежда така.

00:01:22.990 --> 00:01:24.210
И сега мога още веднъж.

00:01:24.210 --> 00:01:27.020
Разделям всяка от страните на три равни части

00:01:27.020 --> 00:01:28.340
и рисувам още един равностранен триъгълник.

00:01:28.340 --> 00:01:32.210
Тук и тук и тук...

00:01:32.210 --> 00:01:33.270
Мисля, че усещате накъде отиваме.

00:01:33.270 --> 00:01:37.020
Мога да правя това до безкрай.

00:01:37.020 --> 00:01:39.710
В това видео искам да помислим

00:01:39.710 --> 00:01:40.860
какво се случва тук.

00:01:40.860 --> 00:01:42.490
Това, което всъщност рисувам,

00:01:42.490 --> 00:01:45.090
ако продължа до безкрай,

00:01:45.090 --> 00:01:48.100
всеки рунд, разделям страната

00:01:48.130 --> 00:01:49.520
на три равни части

00:01:49.520 --> 00:01:52.460
и след това пак

00:01:52.460 --> 00:01:53.320
и пак

00:01:53.320 --> 00:01:55.480
и винаги в средата рисувам равностранен триъгълник.

00:01:55.480 --> 00:01:58.240
Фигурата, която рисувам тук

00:01:58.240 --> 00:02:00.200
се казва "Снежинка на Кох".

00:02:00.200 --> 00:02:02.890
Сигурно не му произнасям правилно името.

00:02:02.890 --> 00:02:05.180
Тази снежинката е описана

00:02:05.230 --> 00:02:07.810
за пръв път от този джентълмен на снимката,

00:02:07.810 --> 00:02:12.490
който е шведският математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох.

00:02:12.490 --> 00:02:14.640
Не знам дали го произнасям правилно.

00:02:14.670 --> 00:02:17.250
Това е едно от първите описания на "фрактали".

00:02:17.270 --> 00:02:19.850
Това е фрактал.

00:02:19.850 --> 00:02:22.000
Причината да се нарича така е,

00:02:22.000 --> 00:02:23.790
че изглежда еднакво или поне сходно,

00:02:23.810 --> 00:02:26.340
в какъвто и мащаб да го гледаме.

00:02:26.340 --> 00:02:29.890
Ако го гледаш само в тази част

00:02:29.910 --> 00:02:32.410
изглежда като много триъгълници с гърбици на тях.

00:02:32.410 --> 00:02:34.890
Но ако гледаш само тази по-малка част,

00:02:34.910 --> 00:02:37.860
пак ще видиш същия модел.

00:02:37.860 --> 00:02:39.840
И ако още по-отблизо погледнеш,

00:02:39.860 --> 00:02:41.520
пак ще видиш същите форми.

00:02:41.580 --> 00:02:43.470
Така, че фрактал е всичко, което във всеки мащаб,

00:02:43.470 --> 00:02:46.810
от по-близо или по-далече, изглежда горе долу същото.

00:02:46.810 --> 00:02:48.700
Затова се казва "фрактал".

00:02:48.720 --> 00:02:50.150
А това, което е особено интересно

00:02:50.200 --> 00:02:53.530
и затова го сложих в плейлиста по геометрия е,

00:02:53.530 --> 00:02:56.790
че фракталът има безкрайна обиколка.

00:02:56.790 --> 00:02:58.330
Нека продължим да добавяме,

00:02:58.370 --> 00:02:59.900
като Снежинката на Кох,

00:02:59.900 --> 00:03:03.260
безкрайно много пъти

00:03:03.280 --> 00:03:05.240
на всеки малък триъгълник

00:03:05.280 --> 00:03:09.910
по още един по-малък на страните му

00:03:09.930 --> 00:03:11.680
И за да покажа, че има безкрайна обиколка,

00:03:11.680 --> 00:03:13.440
ще взема само тази част тук.

00:03:13.440 --> 00:03:16.000
Това е една от страните

00:03:16.000 --> 00:03:18.550
на първоначалния триъгълник,

00:03:18.550 --> 00:03:20.050
от който започнахме.

00:03:20.080 --> 00:03:21.480
Да кажем че дължината й е S.

00:03:21.520 --> 00:03:23.930
След това я разделяма на три равни части.

00:03:23.960 --> 00:03:26.290
Три равни сегмента.

00:03:26.310 --> 00:03:30.810
И ще ги обозначим S/3, S/3,

00:03:30.810 --> 00:03:35.940
S - дължината, делено на 3.

00:03:35.940 --> 00:03:38.820
В средния сегмент, рисуваме нов равностранен триъгълник.

00:03:38.820 --> 00:03:41.910
И понеже е триъгълник с равни страни.

00:03:41.910 --> 00:03:44.090
Всяка от страните му ще е равна на S/3.

00:03:44.090 --> 00:03:47.000
S/3, S/3.

00:03:47.000 --> 00:03:50.700
И сега дължината на тази нова част,

00:03:50.700 --> 00:03:53.270
не е вече линия, защото има тази гърбица.

00:03:53.290 --> 00:03:56.880
Дължината на тази част

00:03:56.880 --> 00:03:59.110
не е само дължината S.

00:03:59.150 --> 00:04:01.620
Сега е S/3 х 4.

00:04:01.620 --> 00:04:03.360
Преди беше S/3 x 3,

00:04:03.360 --> 00:04:07.550
а сага имаме един, два, три, четири сегмента с дължина S/3.

00:04:07.550 --> 00:04:10.500
Така че след едно разиграване, след един рунд,

00:04:10.500 --> 00:04:14.930
след едно добавяне на триъгълник,

00:04:14.930 --> 00:04:16.300
новата страна с тази гърбица

00:04:16.340 --> 00:04:23.560
е 4 пъти по S делено на 3. Или 4/3 S.

00:04:23.560 --> 00:04:30.950
Ако обозначим първоначалната обиколка на триъгълника с Pо,

00:04:30.950 --> 00:04:34.230
след добавянето на едната гърбица

00:04:34.230 --> 00:04:35.670
обиколката стана

00:04:35.710 --> 00:04:39.880
четири трети по първоначалната.

00:04:39.880 --> 00:04:42.660
Защото всяка от страните му е 4/3 по-голяма сега.

00:04:42.660 --> 00:04:44.270
Триъгълникът е съставен от 3 страни,

00:04:44.290 --> 00:04:46.690
всяка от тях сега е 4/3 по-дълга.

00:04:46.690 --> 00:04:48.950
Така че обиколката му е 4/3 по-дълга.

00:04:48.950 --> 00:04:51.980
Нека направим втори рунд.

00:04:51.980 --> 00:04:54.470
Той ще бъде 4/3 по първия резултат.

00:04:54.470 --> 00:04:57.740
Така че всеки път ще правим обиколката 4/3 по-дълга.

00:04:57.790 --> 00:05:00.190
Увеличава се с четири трети

00:05:00.190 --> 00:05:03.550
от предишния път.

00:05:03.610 --> 00:05:05.590
И ако повторим това безброй много пъти,

00:05:05.590 --> 00:05:10.740
ако умножим което и да е число по 4/3 безброй много пъти,

00:05:10.740 --> 00:05:13.760
ще получим безкрайно число, безкрайна дължина.

00:05:13.760 --> 00:05:16.340
Така че обиколката P безкрайност,

00:05:16.360 --> 00:05:19.910
при безброй много малки триъгълници - е безкрайност.

00:05:19.940 --> 00:05:22.140
Това си е доста яко само по себе си,

00:05:22.190 --> 00:05:24.300
че нещо може да има безкрайна обиколка.

00:05:24.300 --> 00:05:28.260
Обаче още по-яко е, че този фрактал има крайна площ.

00:05:28.260 --> 00:05:30.120
Имам предвид ограничена площ,

00:05:30.120 --> 00:05:32.480
която покрива ограничено пространство.

00:05:32.480 --> 00:05:34.490
Мога да начертая линии около фрактала

00:05:34.490 --> 00:05:36.340
и той никога няма да излезе от тях.

00:05:36.340 --> 00:05:38.960
Няма да правя много формално доказателство,

00:05:38.960 --> 00:05:41.600
само помислете какво става на всяка от страните.

00:05:41.600 --> 00:05:45.550
Първия път добавихме този триъгълник.

00:05:45.550 --> 00:05:49.540
Но после, всеки път,

00:05:49.540 --> 00:05:52.280
дали добавяме малки триъгълници тук

00:05:52.310 --> 00:05:53.940
или тези двамата тук

00:05:53.940 --> 00:05:56.230
тук и тук

00:05:56.260 --> 00:05:59.600
и така нататък.

00:05:59.630 --> 00:06:02.520
Забележете, че може да добавяме още и още, безкрайно много малки гърбици,

00:06:02.520 --> 00:06:04.980
но никога няма да минем по-далеч

00:06:05.020 --> 00:06:07.070
от тази първоначална точка тук.

00:06:07.070 --> 00:06:11.220
И това важи и за тази страна,

00:06:11.220 --> 00:06:13.840
както и за тази тук.

00:06:13.870 --> 00:06:17.540
Също важи за тази,

00:06:17.540 --> 00:06:19.550
също и за онази страна.

00:06:19.550 --> 00:06:22.330
Важи и за тази страна тук.

00:06:22.350 --> 00:06:24.590
Така че дори безброй пъти да го правим,

00:06:24.590 --> 00:06:27.120
тази форма, Снежинката на Кох,

00:06:27.160 --> 00:06:30.130
никога няма да прекрачи границата на този шестоъгълник.

00:06:30.130 --> 00:06:32.070
И няма да има по-голяма площ

00:06:32.070 --> 00:06:34.530
от фигура, която изглежда някак си така.

00:06:34.530 --> 00:06:36.450
Нещо на око рисувам просто.

00:06:36.450 --> 00:06:38.200
Извън шестоъгълника

00:06:38.200 --> 00:06:39.780
рисувам кръг.

00:06:39.780 --> 00:06:44.630
Кръгът в синьо и шестоъгълникът в лилаво

00:06:44.630 --> 00:06:46.820
очевидно имат ограничена площ.

00:06:46.820 --> 00:06:49.480
И тази Снежинка на Кох винаги ще бъде затворена,

00:06:49.480 --> 00:06:52.450
дори да й добавяме гърбици безброй много пъти.

00:06:52.450 --> 00:06:55.380
Така че, ето две яки неща.

00:06:55.420 --> 00:06:56.330
Едно, това е фрактал.

00:06:56.330 --> 00:06:58.760
Може да зуум-ваш напред и назад, но ще изглежда еднакво.

00:06:58.780 --> 00:07:04.950
Също, безкрайна обиколка, но ограничена площ.

00:07:04.950 --> 00:07:07.830
Ще кажете: Чакай, това е доста абстрактно.

00:07:07.830 --> 00:07:10.120
Такива неща не съществуват в реалния свят.

00:07:10.120 --> 00:07:13.240
Ето един забавен мислен експеримент,

00:07:13.240 --> 00:07:14.820
за който хората във фракталния свят говорят.

00:07:14.870 --> 00:07:17.770
Нека намерим обиколката на Англия.

00:07:17.820 --> 00:07:19.200
Или който и да е остров.

00:07:19.200 --> 00:07:21.170
Англия изглежда горе-долу така.

00:07:21.170 --> 00:07:22.730
Макар че не съм експерт, но

00:07:22.730 --> 00:07:24.230
нека кажем, че е нещо такова.

00:07:24.230 --> 00:07:26.230
В началото може да измерим приблизителен

00:07:26.230 --> 00:07:27.480
периметър, приблизително разстояние.

00:07:27.550 --> 00:07:32.350
Измерваме това разстояние плюс това

00:07:32.350 --> 00:07:36.070
плюс това и това.

00:07:36.070 --> 00:07:37.660
И така като погледнем,

00:07:37.660 --> 00:07:38.590
има ограничен периметър.

00:07:38.620 --> 00:07:40.300
Очевидно има ограничено лице,

00:07:40.300 --> 00:07:42.300
но изглежда и като да има ограничен периметър.

00:07:42.340 --> 00:07:43.720
Само че човек си казва: Това не достатъчно.

00:07:43.750 --> 00:07:45.380
Да го начертаем по-точно.

00:07:45.400 --> 00:07:46.960
Да направим повече,

00:07:46.980 --> 00:07:48.680
по-малки линии.

00:07:48.680 --> 00:07:50.740
По-конкретни линии, които да

00:07:50.770 --> 00:07:52.570
очертаят бреговата линия по-точно.

00:07:52.620 --> 00:07:55.010
И си казваш: ОК, това е по-близо до истината.;

00:07:55.010 --> 00:07:58.730
Но после нека зуум-нем в една част от брега,

00:07:58.760 --> 00:08:01.780
ако се приближим достатъчно,

00:08:01.780 --> 00:08:03.980
бреговата линия ще изглежда горе-долу така.

00:08:04.020 --> 00:08:08.190
Бреговата линия има всички тези малки заливчета.

00:08:08.260 --> 00:08:11.150
В началото измервахме само тази

00:08:11.150 --> 00:08:13.580
права линия.

00:08:13.580 --> 00:08:15.740
Но ако искаш по-точно да измериш бреговата линия,

00:08:15.740 --> 00:08:17.620
ще трябва да следваш още много линийки.

00:08:17.650 --> 00:08:18.850
Нещо такова.

00:08:18.900 --> 00:08:25.660
За да хванеш по-точно обиколката на брега.

00:08:25.660 --> 00:08:29.150
И си казваш: "Това вече е добра база да намерим обиколката."

00:08:29.150 --> 00:08:32.190
Но ако погледнем още по-близо тази част от брега,

00:08:32.190 --> 00:08:35.050
се оказва, че тя не изглежда точно така.

00:08:35.050 --> 00:08:37.330
Ще е още по-набраздена,

00:08:37.360 --> 00:08:39.450
може би така.

00:08:39.450 --> 00:08:42.810
И така, вместо тези груби линии, които мерят само това,

00:08:42.890 --> 00:08:43.850
си казваш: "Искам да го начертая още

00:08:43.900 --> 00:08:46.170
по-близо до самия бряг."

00:08:46.220 --> 00:08:48.270
И можеш да продължаваш така,

00:08:48.310 --> 00:08:50.150
докато стигнеш до атомно ниво.

00:08:50.150 --> 00:08:54.730
Така че реалната брегова линия на остров,

00:08:54.770 --> 00:08:58.790
или континент, или каквото и да било е по някакъв начин фрактална.

00:08:58.840 --> 00:09:01.210
И ако се замислим, сякаш има

00:09:01.210 --> 00:09:03.130
почти безкраен периметър.

00:09:03.180 --> 00:09:04.150
Очевидно, в някакъв момент

00:09:04.220 --> 00:09:05.480
ще трябва да стигнем до атомно ниво,

00:09:05.520 --> 00:09:06.610
така че не е съвсем така,

00:09:06.660 --> 00:09:08.510
но е горе-долу същото явление.

00:09:08.540 --> 00:09:10.390
Интересно е като се замислим.