Това е равностранен триъгълник.
И аз искам да направя друга фигура
от него.
Затова ще разделя всяка от страните му
на три равни части.
Може би не съм нарисувал равностранен триъгълник супер точно,
но мисля, че разбирате идеята.
В средната част искам да построя
още един равностранен триъгълник.
Ето, в средната част тук,
ще конструирам нов равностранен триъгълник.
Ще изглежда ето така.
И после тук ще сложа
още един равностранен триъгълник.
Така направих от един равностранен триъгълник
нещо, което прилича на звездата на Давид.
И ще го направя още веднъж.
Ще разделя всяка от малките страни на три равни части.
И в средната част, ще сложа нов равностранен триъгълник.
Ето, добавям още един равностранен триъгълник.
И за всяка една от страните, в средната част,
ще направя равностранен триъгълник
Ето тук и тук.
Мисля, че разбирате идеята, но нека все пак довърша...
Ето тук, ето така...
Почти съм готов за този рунд.
И изглежда така.
И сега мога още веднъж.
Разделям всяка от страните на три равни части
и рисувам още един равностранен триъгълник.
Тук и тук и тук...
Мисля, че усещате накъде отиваме.
Мога да правя това до безкрай.
В това видео искам да помислим
какво се случва тук.
Това, което всъщност рисувам,
ако продължа до безкрай,
всеки рунд, разделям страната
на три равни части
и след това пак
и пак
и винаги в средата рисувам равностранен триъгълник.
Фигурата, която рисувам тук
се казва "Снежинка на Кох".
Сигурно не му произнасям правилно името.
Тази снежинката е описана
за пръв път от този джентълмен на снимката,
който е шведският математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох.
Не знам дали го произнасям правилно.
Това е едно от първите описания на "фрактали".
Това е фрактал.
Причината да се нарича така е,
че изглежда еднакво или поне сходно,
в какъвто и мащаб да го гледаме.
Ако го гледаш само в тази част
изглежда като много триъгълници с гърбици на тях.
Но ако гледаш само тази по-малка част,
пак ще видиш същия модел.
И ако още по-отблизо погледнеш,
пак ще видиш същите форми.
Така, че фрактал е всичко, което във всеки мащаб,
от по-близо или по-далече, изглежда горе долу същото.
Затова се казва "фрактал".
А това, което е особено интересно
и затова го сложих в плейлиста по геометрия е,
че фракталът има безкрайна обиколка.
Нека продължим да добавяме,
като Снежинката на Кох,
безкрайно много пъти
на всеки малък триъгълник
по още един по-малък на страните му
И за да покажа, че има безкрайна обиколка,
ще взема само тази част тук.
Това е една от страните
на първоначалния триъгълник,
от който започнахме.
Да кажем че дължината й е S.
След това я разделяма на три равни части.
Три равни сегмента.
И ще ги обозначим S/3, S/3,
S - дължината, делено на 3.
В средния сегмент, рисуваме нов равностранен триъгълник.
И понеже е триъгълник с равни страни.
Всяка от страните му ще е равна на S/3.
S/3, S/3.
И сега дължината на тази нова част,
не е вече линия, защото има тази гърбица.
Дължината на тази част
не е само дължината S.
Сега е S/3 х 4.
Преди беше S/3 x 3,
а сага имаме един, два, три, четири сегмента с дължина S/3.
Така че след едно разиграване, след един рунд,
след едно добавяне на триъгълник,
новата страна с тази гърбица
е 4 пъти по S делено на 3. Или 4/3 S.
Ако обозначим първоначалната обиколка на триъгълника с Pо,
след добавянето на едната гърбица
обиколката стана
четири трети по първоначалната.
Защото всяка от страните му е 4/3 по-голяма сега.
Триъгълникът е съставен от 3 страни,
всяка от тях сега е 4/3 по-дълга.
Така че обиколката му е 4/3 по-дълга.
Нека направим втори рунд.
Той ще бъде 4/3 по първия резултат.
Така че всеки път ще правим обиколката 4/3 по-дълга.
Увеличава се с четири трети
от предишния път.
И ако повторим това безброй много пъти,
ако умножим което и да е число по 4/3 безброй много пъти,
ще получим безкрайно число, безкрайна дължина.
Така че обиколката P безкрайност,
при безброй много малки триъгълници - е безкрайност.
Това си е доста яко само по себе си,
че нещо може да има безкрайна обиколка.
Обаче още по-яко е, че този фрактал има крайна площ.
Имам предвид ограничена площ,
която покрива ограничено пространство.
Мога да начертая линии около фрактала
и той никога няма да излезе от тях.
Няма да правя много формално доказателство,
само помислете какво става на всяка от страните.
Първия път добавихме този триъгълник.
Но после, всеки път,
дали добавяме малки триъгълници тук
или тези двамата тук
тук и тук
и така нататък.
Забележете, че може да добавяме още и още, безкрайно много малки гърбици,
но никога няма да минем по-далеч
от тази първоначална точка тук.
И това важи и за тази страна,
както и за тази тук.
Също важи за тази,
също и за онази страна.
Важи и за тази страна тук.
Така че дори безброй пъти да го правим,
тази форма, Снежинката на Кох,
никога няма да прекрачи границата на този шестоъгълник.
И няма да има по-голяма площ
от фигура, която изглежда някак си така.
Нещо на око рисувам просто.
Извън шестоъгълника
рисувам кръг.
Кръгът в синьо и шестоъгълникът в лилаво
очевидно имат ограничена площ.
И тази Снежинка на Кох винаги ще бъде затворена,
дори да й добавяме гърбици безброй много пъти.
Така че, ето две яки неща.
Едно, това е фрактал.
Може да зуум-ваш напред и назад, но ще изглежда еднакво.
Също, безкрайна обиколка, но ограничена площ.
Ще кажете: Чакай, това е доста абстрактно.
Такива неща не съществуват в реалния свят.
Ето един забавен мислен експеримент,
за който хората във фракталния свят говорят.
Нека намерим обиколката на Англия.
Или който и да е остров.
Англия изглежда горе-долу така.
Макар че не съм експерт, но
нека кажем, че е нещо такова.
В началото може да измерим приблизителен
периметър, приблизително разстояние.
Измерваме това разстояние плюс това
плюс това и това.
И така като погледнем,
има ограничен периметър.
Очевидно има ограничено лице,
но изглежда и като да има ограничен периметър.
Само че човек си казва: Това не достатъчно.
Да го начертаем по-точно.
Да направим повече,
по-малки линии.
По-конкретни линии, които да
очертаят бреговата линия по-точно.
И си казваш: ОК, това е по-близо до истината.;
Но после нека зуум-нем в една част от брега,
ако се приближим достатъчно,
бреговата линия ще изглежда горе-долу така.
Бреговата линия има всички тези малки заливчета.
В началото измервахме само тази
права линия.
Но ако искаш по-точно да измериш бреговата линия,
ще трябва да следваш още много линийки.
Нещо такова.
За да хванеш по-точно обиколката на брега.
И си казваш: "Това вече е добра база да намерим обиколката."
Но ако погледнем още по-близо тази част от брега,
се оказва, че тя не изглежда точно така.
Ще е още по-набраздена,
може би така.
И така, вместо тези груби линии, които мерят само това,
си казваш: "Искам да го начертая още
по-близо до самия бряг."
И можеш да продължаваш така,
докато стигнеш до атомно ниво.
Така че реалната брегова линия на остров,
или континент, или каквото и да било е по някакъв начин фрактална.
И ако се замислим, сякаш има
почти безкраен периметър.
Очевидно, в някакъв момент
ще трябва да стигнем до атомно ниво,
така че не е съвсем така,
но е горе-долу същото явление.
Интересно е като се замислим.