0:00:00.000,0:00:03.090
Това е равностранен триъгълник.

0:00:03.090,0:00:05.050
И аз искам да направя друга фигура

0:00:05.050,0:00:06.540
от него.

0:00:06.540,0:00:08.980
Затова ще разделя всяка от страните му

0:00:09.000,0:00:14.540
на три равни части.

0:00:14.540,0:00:18.790
Може би не съм нарисувал равностранен триъгълник супер точно,

0:00:18.790,0:00:20.110
но мисля, че разбирате идеята.

0:00:20.110,0:00:21.430
В средната част искам да построя

0:00:21.450,0:00:23.290
още един равностранен триъгълник.

0:00:23.290,0:00:25.510
Ето, в средната част тук,

0:00:25.540,0:00:28.640
ще конструирам нов равностранен триъгълник.

0:00:28.640,0:00:31.550
Ще изглежда ето така.

0:00:31.550,0:00:33.860
И после тук ще сложа

0:00:33.860,0:00:37.130
още един равностранен триъгълник.

0:00:37.130,0:00:40.320
Така направих от един равностранен триъгълник

0:00:40.340,0:00:43.320
нещо, което прилича на звездата на Давид.

0:00:43.370,0:00:45.420
И ще го направя още веднъж.

0:00:45.420,0:00:48.390
Ще разделя всяка от малките страни на три равни части.

0:00:48.390,0:00:51.490
И в средната част, ще сложа нов равностранен триъгълник.

0:00:51.490,0:00:54.150
Ето, добавям още един равностранен триъгълник.

0:00:54.150,0:00:59.280
И за всяка една от страните, в средната част,

0:00:59.280,0:01:01.660
ще направя равностранен триъгълник

0:01:01.660,0:01:04.560
Ето тук и тук.

0:01:04.560,0:01:10.860
Мисля, че разбирате идеята, но нека все пак довърша...

0:01:10.860,0:01:16.270
Ето тук, ето така...

0:01:16.270,0:01:20.850
Почти съм готов за този рунд.

0:01:20.850,0:01:22.950
И изглежда така.

0:01:22.990,0:01:24.210
И сега мога още веднъж.

0:01:24.210,0:01:27.020
Разделям всяка от страните на три равни части

0:01:27.020,0:01:28.340
и рисувам още един равностранен триъгълник.

0:01:28.340,0:01:32.210
Тук и тук и тук...

0:01:32.210,0:01:33.270
Мисля, че усещате накъде отиваме.

0:01:33.270,0:01:37.020
Мога да правя това до безкрай.

0:01:37.020,0:01:39.710
В това видео искам да помислим

0:01:39.710,0:01:40.860
какво се случва тук.

0:01:40.860,0:01:42.490
Това, което всъщност рисувам,

0:01:42.490,0:01:45.090
ако продължа до безкрай,

0:01:45.090,0:01:48.100
всеки рунд, разделям страната

0:01:48.130,0:01:49.520
на три равни части

0:01:49.520,0:01:52.460
и след това пак

0:01:52.460,0:01:53.320
и пак

0:01:53.320,0:01:55.480
и винаги в средата рисувам равностранен триъгълник.

0:01:55.480,0:01:58.240
Фигурата, която рисувам тук

0:01:58.240,0:02:00.200
се казва "Снежинка на Кох".

0:02:00.200,0:02:02.890
Сигурно не му произнасям правилно името.

0:02:02.890,0:02:05.180
Тази снежинката е описана

0:02:05.230,0:02:07.810
за пръв път от този джентълмен на снимката,

0:02:07.810,0:02:12.490
който е шведският математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох.

0:02:12.490,0:02:14.640
Не знам дали го произнасям правилно.

0:02:14.670,0:02:17.250
Това е едно от първите описания на "фрактали".

0:02:17.270,0:02:19.850
Това е фрактал.

0:02:19.850,0:02:22.000
Причината да се нарича така е,

0:02:22.000,0:02:23.790
че изглежда еднакво или поне сходно,

0:02:23.810,0:02:26.340
в какъвто и мащаб да го гледаме.

0:02:26.340,0:02:29.890
Ако го гледаш само в тази част

0:02:29.910,0:02:32.410
изглежда като много триъгълници с гърбици на тях.

0:02:32.410,0:02:34.890
Но ако гледаш само тази по-малка част,

0:02:34.910,0:02:37.860
пак ще видиш същия модел.

0:02:37.860,0:02:39.840
И ако още по-отблизо погледнеш,

0:02:39.860,0:02:41.520
пак ще видиш същите форми.

0:02:41.580,0:02:43.470
Така, че фрактал е всичко, което във всеки мащаб,

0:02:43.470,0:02:46.810
от по-близо или по-далече, изглежда горе долу същото.

0:02:46.810,0:02:48.700
Затова се казва "фрактал".

0:02:48.720,0:02:50.150
А това, което е особено интересно

0:02:50.200,0:02:53.530
и затова го сложих в плейлиста по геометрия е,

0:02:53.530,0:02:56.790
че фракталът има безкрайна обиколка.

0:02:56.790,0:02:58.330
Нека продължим да добавяме,

0:02:58.370,0:02:59.900
като Снежинката на Кох,

0:02:59.900,0:03:03.260
безкрайно много пъти

0:03:03.280,0:03:05.240
на всеки малък триъгълник

0:03:05.280,0:03:09.910
по още един по-малък на страните му

0:03:09.930,0:03:11.680
И за да покажа, че има безкрайна обиколка,

0:03:11.680,0:03:13.440
ще взема само тази част тук.

0:03:13.440,0:03:16.000
Това е една от страните

0:03:16.000,0:03:18.550
на първоначалния триъгълник,

0:03:18.550,0:03:20.050
от който започнахме.

0:03:20.080,0:03:21.480
Да кажем че дължината й е S.

0:03:21.520,0:03:23.930
След това я разделяма на три равни части.

0:03:23.960,0:03:26.290
Три равни сегмента.

0:03:26.310,0:03:30.810
И ще ги обозначим S/3, S/3,

0:03:30.810,0:03:35.940
S - дължината, делено на 3.

0:03:35.940,0:03:38.820
В средния сегмент, рисуваме нов равностранен триъгълник.

0:03:38.820,0:03:41.910
И понеже е триъгълник с равни страни.

0:03:41.910,0:03:44.090
Всяка от страните му ще е равна на S/3.

0:03:44.090,0:03:47.000
S/3, S/3.

0:03:47.000,0:03:50.700
И сега дължината на тази нова част,

0:03:50.700,0:03:53.270
не е вече линия, защото има тази гърбица.

0:03:53.290,0:03:56.880
Дължината на тази част

0:03:56.880,0:03:59.110
не е само дължината S.

0:03:59.150,0:04:01.620
Сега е S/3 х 4.

0:04:01.620,0:04:03.360
Преди беше S/3 x 3,

0:04:03.360,0:04:07.550
а сага имаме един, два, три, четири сегмента с дължина S/3.

0:04:07.550,0:04:10.500
Така че след едно разиграване, след един рунд,

0:04:10.500,0:04:14.930
след едно добавяне на триъгълник,

0:04:14.930,0:04:16.300
новата страна с тази гърбица

0:04:16.340,0:04:23.560
е 4 пъти по S делено на 3. Или 4/3 S.

0:04:23.560,0:04:30.950
Ако обозначим първоначалната обиколка на триъгълника с Pо,

0:04:30.950,0:04:34.230
след добавянето на едната гърбица

0:04:34.230,0:04:35.670
обиколката стана

0:04:35.710,0:04:39.880
четири трети по първоначалната.

0:04:39.880,0:04:42.660
Защото всяка от страните му е 4/3 по-голяма сега.

0:04:42.660,0:04:44.270
Триъгълникът е съставен от 3 страни,

0:04:44.290,0:04:46.690
всяка от тях сега е 4/3 по-дълга.

0:04:46.690,0:04:48.950
Така че обиколката му е 4/3 по-дълга.

0:04:48.950,0:04:51.980
Нека направим втори рунд.

0:04:51.980,0:04:54.470
Той ще бъде 4/3 по първия резултат.

0:04:54.470,0:04:57.740
Така че всеки път ще правим обиколката 4/3 по-дълга.

0:04:57.790,0:05:00.190
Увеличава се с четири трети

0:05:00.190,0:05:03.550
от предишния път.

0:05:03.610,0:05:05.590
И ако повторим това безброй много пъти,

0:05:05.590,0:05:10.740
ако умножим което и да е число по 4/3 безброй много пъти,

0:05:10.740,0:05:13.760
ще получим безкрайно число, безкрайна дължина.

0:05:13.760,0:05:16.340
Така че обиколката P безкрайност,

0:05:16.360,0:05:19.910
при безброй много малки триъгълници - е безкрайност.

0:05:19.940,0:05:22.140
Това си е доста яко само по себе си,

0:05:22.190,0:05:24.300
че нещо може да има безкрайна обиколка.

0:05:24.300,0:05:28.260
Обаче още по-яко е, че този фрактал има крайна площ.

0:05:28.260,0:05:30.120
Имам предвид ограничена площ,

0:05:30.120,0:05:32.480
която покрива ограничено пространство.

0:05:32.480,0:05:34.490
Мога да начертая линии около фрактала

0:05:34.490,0:05:36.340
и той никога няма да излезе от тях.

0:05:36.340,0:05:38.960
Няма да правя много формално доказателство,

0:05:38.960,0:05:41.600
само помислете какво става на всяка от страните.

0:05:41.600,0:05:45.550
Първия път добавихме този триъгълник.

0:05:45.550,0:05:49.540
Но после, всеки път,

0:05:49.540,0:05:52.280
дали добавяме малки триъгълници тук

0:05:52.310,0:05:53.940
или тези двамата тук

0:05:53.940,0:05:56.230
тук и тук

0:05:56.260,0:05:59.600
и така нататък.

0:05:59.630,0:06:02.520
Забележете, че може да добавяме още и още, безкрайно много малки гърбици,

0:06:02.520,0:06:04.980
но никога няма да минем по-далеч

0:06:05.020,0:06:07.070
от тази първоначална точка тук.

0:06:07.070,0:06:11.220
И това важи и за тази страна,

0:06:11.220,0:06:13.840
както и за тази тук.

0:06:13.870,0:06:17.540
Също важи за тази,

0:06:17.540,0:06:19.550
също и за онази страна.

0:06:19.550,0:06:22.330
Важи и за тази страна тук.

0:06:22.350,0:06:24.590
Така че дори безброй пъти да го правим,

0:06:24.590,0:06:27.120
тази форма, Снежинката на Кох,

0:06:27.160,0:06:30.130
никога няма да прекрачи границата на този шестоъгълник.

0:06:30.130,0:06:32.070
И няма да има по-голяма площ

0:06:32.070,0:06:34.530
от фигура, която изглежда някак си така.

0:06:34.530,0:06:36.450
Нещо на око рисувам просто.

0:06:36.450,0:06:38.200
Извън шестоъгълника

0:06:38.200,0:06:39.780
рисувам кръг.

0:06:39.780,0:06:44.630
Кръгът в синьо и шестоъгълникът в лилаво

0:06:44.630,0:06:46.820
очевидно имат ограничена площ.

0:06:46.820,0:06:49.480
И тази Снежинка на Кох винаги ще бъде затворена,

0:06:49.480,0:06:52.450
дори да й добавяме гърбици безброй много пъти.

0:06:52.450,0:06:55.380
Така че, ето две яки неща.

0:06:55.420,0:06:56.330
Едно, това е фрактал.

0:06:56.330,0:06:58.760
Може да зуум-ваш напред и назад, но ще изглежда еднакво.

0:06:58.780,0:07:04.950
Също, безкрайна обиколка, но ограничена площ.

0:07:04.950,0:07:07.830
Ще кажете: Чакай, това е доста абстрактно.

0:07:07.830,0:07:10.120
Такива неща не съществуват в реалния свят.

0:07:10.120,0:07:13.240
Ето един забавен мислен експеримент,

0:07:13.240,0:07:14.820
за който хората във фракталния свят говорят.

0:07:14.870,0:07:17.770
Нека намерим обиколката на Англия.

0:07:17.820,0:07:19.200
Или който и да е остров.

0:07:19.200,0:07:21.170
Англия изглежда горе-долу така.

0:07:21.170,0:07:22.730
Макар че не съм експерт, но

0:07:22.730,0:07:24.230
нека кажем, че е нещо такова.

0:07:24.230,0:07:26.230
В началото може да измерим приблизителен

0:07:26.230,0:07:27.480
периметър, приблизително разстояние.

0:07:27.550,0:07:32.350
Измерваме това разстояние плюс това

0:07:32.350,0:07:36.070
плюс това и това.

0:07:36.070,0:07:37.660
И така като погледнем,

0:07:37.660,0:07:38.590
има ограничен периметър.

0:07:38.620,0:07:40.300
Очевидно има ограничено лице,

0:07:40.300,0:07:42.300
но изглежда и като да има ограничен периметър.

0:07:42.340,0:07:43.720
Само че човек си казва: Това не достатъчно.

0:07:43.750,0:07:45.380
Да го начертаем по-точно.

0:07:45.400,0:07:46.960
Да направим повече,

0:07:46.980,0:07:48.680
по-малки линии.

0:07:48.680,0:07:50.740
По-конкретни линии, които да

0:07:50.770,0:07:52.570
очертаят бреговата линия по-точно.

0:07:52.620,0:07:55.010
И си казваш: ОК, това е по-близо до истината.;

0:07:55.010,0:07:58.730
Но после нека зуум-нем в една част от брега,

0:07:58.760,0:08:01.780
ако се приближим достатъчно,

0:08:01.780,0:08:03.980
бреговата линия ще изглежда горе-долу така.

0:08:04.020,0:08:08.190
Бреговата линия има всички тези малки заливчета.

0:08:08.260,0:08:11.150
В началото измервахме само тази

0:08:11.150,0:08:13.580
права линия.

0:08:13.580,0:08:15.740
Но ако искаш по-точно да измериш бреговата линия,

0:08:15.740,0:08:17.620
ще трябва да следваш още много линийки.

0:08:17.650,0:08:18.850
Нещо такова.

0:08:18.900,0:08:25.660
За да хванеш по-точно обиколката на брега.

0:08:25.660,0:08:29.150
И си казваш: "Това вече е добра база да намерим обиколката."

0:08:29.150,0:08:32.190
Но ако погледнем още по-близо тази част от брега,

0:08:32.190,0:08:35.050
се оказва, че тя не изглежда точно така.

0:08:35.050,0:08:37.330
Ще е още по-набраздена,

0:08:37.360,0:08:39.450
може би така.

0:08:39.450,0:08:42.810
И така, вместо тези груби линии, които мерят само това,

0:08:42.890,0:08:43.850
си казваш: "Искам да го начертая още

0:08:43.900,0:08:46.170
по-близо до самия бряг."

0:08:46.220,0:08:48.270
И можеш да продължаваш така,

0:08:48.310,0:08:50.150
докато стигнеш до атомно ниво.

0:08:50.150,0:08:54.730
Така че реалната брегова линия на остров,

0:08:54.770,0:08:58.790
или континент, или каквото и да било е по някакъв начин фрактална.

0:08:58.840,0:09:01.210
И ако се замислим, сякаш има

0:09:01.210,0:09:03.130
почти безкраен периметър.

0:09:03.180,0:09:04.150
Очевидно, в някакъв момент

0:09:04.220,0:09:05.480
ще трябва да стигнем до атомно ниво,

0:09:05.520,0:09:06.610
така че не е съвсем така,

0:09:06.660,0:09:08.510
но е горе-долу същото явление.

0:09:08.540,0:09:10.390
Интересно е като се замислим.