Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.

Return to Video

Pravoúhlé trojúhelníky vepsané do kružnice (důkaz)

  • 0:01 - 0:05
    Představte si kružnici s nějakým průměrem.
  • 0:05 - 0:09
    Zkusím ho nakreslit.
  • 0:09 - 0:10
    To by docela šlo.
  • 0:10 - 0:13
    Žlutá čára uprostřed
    se nazývá průměr kružnice.
  • 0:14 - 0:16
    Průměr kružnice.
  • 0:16 - 0:22
    A teď si představte trojúhelník, jehož
    jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka,
  • 0:22 - 0:25
    s vrcholem umístěným
  • 0:25 - 0:29
    kdekoli na bílém obvodu kružnice.
  • 0:29 - 0:33
    Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude
  • 0:33 - 0:35
    ležet na kružnici.
  • 0:35 - 0:38
    Trojúhelník může vypadat například takhle.
  • 0:44 - 0:47
    V tomto videu vám chci ukázat,
  • 0:47 - 0:52
    že tenhle trojúhelník je pravoúhlý.
  • 0:53 - 0:55
    Pravý úhel se vždycky bude nacházet
  • 0:55 - 0:58
    na opačné straně než průměr kružnice.
  • 0:58 - 1:00
    Nechci ho zatím označovat,
  • 1:00 - 1:02
    protože bychom si neužili
    zábavu s jeho objevováním.
  • 1:02 - 1:05
    Podívejme se, jak si to můžeme dokázat.
  • 1:05 - 1:09
    Použijeme znalosti
    týkající se obvodového úhlu
  • 1:09 - 1:13
    a jeho vztahu k úhlu středovému,
  • 1:13 - 1:15
    který vytyčuje tentýž oblouk.
  • 1:15 - 1:16
    Pojďme to zkusit.
  • 1:16 - 1:19
    Toto je obvodový úhel.
  • 1:19 - 1:23
    Označme ho písmenem theta.
  • 1:23 - 1:25
    Nyní si označím střed
  • 1:25 - 1:27
    své kružnice
  • 1:27 - 1:30
    a vytvořím středový úhel.
  • 1:30 - 1:32
    Povedeme do středu úsečku
  • 1:32 - 1:33
    a tím vzniknou další trojúhelníky
  • 1:33 - 1:36
    V kružnici se objeví nový,
    středový úhel.
  • 1:36 - 1:38
    Toto je poloměr.
  • 1:38 - 1:40
    Tohle je taky poloměr
  • 1:40 - 1:42
    Obě úsečky jsou stejně dlouhé.
  • 1:42 - 1:44
    V minulých videích jsme zjistili,
  • 1:44 - 1:49
    že obvodový úhel
    vytyčuje v kružnici oblouk.
  • 1:52 - 1:56
    Dozvěděli jsme se, že středový úhel,
    který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk,
  • 1:56 - 1:57
    bude mít dvojnásobnou velikost.
  • 1:57 - 1:59
    To jsme si dokázali
    v předchozích videích.
  • 1:59 - 2:02
    Takže středový úhel
    bude mít velikost 2 krát theta.
  • 2:02 - 2:05
    Je to proto, že středový úhel
    vymezuje tentýž oblouk.
  • 2:05 - 2:08
    Uvědomme si, že tento trojúhelník
  • 2:08 - 2:12
    tady... je rovnoramenný.
  • 2:12 - 2:14
    Mohl bych ho otočit a překreslit takto.
  • 2:16 - 2:20
    Otočený by vypadal takhle.
  • 2:22 - 2:25
    Zelená by byla základna.
  • 2:25 - 2:29
    Obě tyto strany mají stejnou délku,
    která se rovná poloměru kružnice.
  • 2:29 - 2:31
    U vrcholu je úhel 2 krát theta.
  • 2:31 - 2:34
    Je to úplně stejný trojúhelník
    jako v kružnici,
  • 2:34 - 2:35
    jen jsem ho pro vás otočil.
  • 2:35 - 2:37
    Tato žlutá strana je totožná s touhle.
  • 2:37 - 2:42
    Protože je to rovnoramenný
    trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé),
  • 2:42 - 2:44
    úhly přilehlé
    k základně musejí být stejné.
  • 2:48 - 2:50
    Tenhle je stejný s tímhle,
    nebo, když to nakreslím sem,
  • 2:50 - 2:53
    tady a tady musí být stejný úhel.
  • 2:55 - 2:58
    Jeden úhel jsem už označil jako theta,
  • 2:58 - 3:00
    tenhle bude třeba 'x'.
  • 3:00 - 3:05
    Takže tenhle bude 'x' a tenhle také,
  • 3:05 - 3:08
    čemu se bude rovnat 'x'?
  • 3:08 - 3:12
    'x' plus 'x' plus 2 krát theta
    se musí rovnat 180 stupňům.
  • 3:12 - 3:14
    To jsou tři úhly našeho
    rovnoramenného trojúhelníka.
  • 3:14 - 3:16
    Ještě to napíšu.
  • 3:16 - 3:23
    x plus x plus 2 theta = 180°
    To je
  • 3:23 - 3:31
    2x plus 2 theta = 180°
  • 3:31 - 3:36
    2x = 180° minus 2 theta
  • 3:36 - 3:43
    Vydělte obě strany dvěma a dostanete
    x = 90° minus theta
  • 3:43 - 3:51
    Proto
    x = 90° minus theta
  • 3:51 - 3:53
    Co dalšího si můžeme ukázat?
  • 3:53 - 3:55
    Podívejme se na trojúhelník zde.
  • 3:55 - 3:59
    Tento trojúhelník, či tato strana,
  • 3:59 - 4:02
    se také rovná poloměru kružnice.
  • 4:02 - 4:04
    Tato vzdálenost,
    kterou jsme si už popsali,
  • 4:04 - 4:06
    je další poloměr.
  • 4:06 - 4:09
    Takže ještě jednou,
    i toto je rovnoramenný trojúhelník.
  • 4:09 - 4:12
    Tyto dvě strany jsou stejné,
  • 4:12 - 4:15
    a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné.
  • 4:15 - 4:17
    Pokud je tento úhel theta,
  • 4:17 - 4:18
    i druhý úhel bude theta.
  • 4:18 - 4:21
    A opět vycházíme ze stejných informací
  • 4:21 - 4:24
    a využíváme stejné znalosti
    jako v předchozím případě
  • 4:24 - 4:27
    o středových a obvodových úhlech
  • 4:27 - 4:28
    a jejich obloucích.
  • 4:28 - 4:30
    Tento úhel je tedy theta,
  • 4:30 - 4:32
    protože se jedná
    o rovnoramenné trojúhelníky.
  • 4:32 - 4:36
    Jaký tedy bude tento úhel?
  • 4:36 - 4:40
    Bude opět
    theta plus 90° minus theta
  • 4:40 - 4:42
    Tento úhel bude
  • 4:42 - 4:45
    theta plus 90° minus theta.
  • 4:45 - 4:46
    Hodnoty theta
    se navzájem vyruší.
  • 4:46 - 4:50
    Takže pokaždé, když jedna strana
    trojúhelníka tvoří průměr
  • 4:50 - 4:53
    a protilehlý úhel či jeho vrchol
  • 4:53 - 4:57
    leží na kružnici,
  • 4:57 - 5:02
    pak tento úhel bude vždy pravý.
  • 5:02 - 5:09
    Bude se jednat
    o pravoúhlý trojúhelník.
  • 5:09 - 5:12
    Kdybych nakreslil
    méně pravidelný trojúhelník, třeba takový...
  • 5:12 - 5:13
    Bod si nakreslím třeba sem
  • 5:16 - 5:18
    a trojúhelník bude vypadat takto,
    pravý úhel bude tady.
  • 5:21 - 5:23
    Nakreslím-li trojúhelník takto,
  • 5:23 - 5:24
    pravý úhel bude zde.
  • 5:25 - 5:29
    U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným
    postupem dokázal, že budou pravoúhlé.
  • 5:29 - 5:31
    Způsob, jak jsme ověřovali
    pravoúhlost prvního trojúhelníku,
  • 5:31 - 5:34
    platí na kterýkoli trojúhelník
    takto vepsaný do kružnice.
Title:
Pravoúhlé trojúhelníky vepsané do kružnice (důkaz)
Description:

Důkaz o tom, že trojúhelník vepsaný do kružnice tak, že jeho přepona se kryje s průměrem kružnice, je pravoúhlý.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
05:35

Czech subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.