Představte si kružnici s nějakým průměrem.
Zkusím ho nakreslit.
To by docela šlo.
Žlutá čára uprostřed
se nazývá průměr kružnice.
Průměr kružnice.
A teď si představte trojúhelník, jehož
jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka,
s vrcholem umístěným
kdekoli na bílém obvodu kružnice.
Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude
ležet na kružnici.
Trojúhelník může vypadat například takhle.
V tomto videu vám chci ukázat,
že tenhle trojúhelník je pravoúhlý.
Pravý úhel se vždycky bude nacházet
na opačné straně než průměr kružnice.
Nechci ho zatím označovat,
protože bychom si neužili
zábavu s jeho objevováním.
Podívejme se, jak si to můžeme dokázat.
Použijeme znalosti
týkající se obvodového úhlu
a jeho vztahu k úhlu středovému,
který vytyčuje tentýž oblouk.
Pojďme to zkusit.
Toto je obvodový úhel.
Označme ho písmenem theta.
Nyní si označím střed
své kružnice
a vytvořím středový úhel.
Povedeme do středu úsečku
a tím vzniknou další trojúhelníky
V kružnici se objeví nový,
středový úhel.
Toto je poloměr.
Tohle je taky poloměr
Obě úsečky jsou stejně dlouhé.
V minulých videích jsme zjistili,
že obvodový úhel
vytyčuje v kružnici oblouk.
Dozvěděli jsme se, že středový úhel,
který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk,
bude mít dvojnásobnou velikost.
To jsme si dokázali
v předchozích videích.
Takže středový úhel
bude mít velikost 2 krát theta.
Je to proto, že středový úhel
vymezuje tentýž oblouk.
Uvědomme si, že tento trojúhelník
tady... je rovnoramenný.
Mohl bych ho otočit a překreslit takto.
Otočený by vypadal takhle.
Zelená by byla základna.
Obě tyto strany mají stejnou délku,
která se rovná poloměru kružnice.
U vrcholu je úhel 2 krát theta.
Je to úplně stejný trojúhelník
jako v kružnici,
jen jsem ho pro vás otočil.
Tato žlutá strana je totožná s touhle.
Protože je to rovnoramenný
trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé),
úhly přilehlé
k základně musejí být stejné.
Tenhle je stejný s tímhle,
nebo, když to nakreslím sem,
tady a tady musí být stejný úhel.
Jeden úhel jsem už označil jako theta,
tenhle bude třeba 'x'.
Takže tenhle bude 'x' a tenhle také,
čemu se bude rovnat 'x'?
'x' plus 'x' plus 2 krát theta
se musí rovnat 180 stupňům.
To jsou tři úhly našeho
rovnoramenného trojúhelníka.
Ještě to napíšu.
x plus x plus 2 theta = 180°
To je
2x plus 2 theta = 180°
2x = 180° minus 2 theta
Vydělte obě strany dvěma a dostanete
x = 90° minus theta
Proto
x = 90° minus theta
Co dalšího si můžeme ukázat?
Podívejme se na trojúhelník zde.
Tento trojúhelník, či tato strana,
se také rovná poloměru kružnice.
Tato vzdálenost,
kterou jsme si už popsali,
je další poloměr.
Takže ještě jednou,
i toto je rovnoramenný trojúhelník.
Tyto dvě strany jsou stejné,
a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné.
Pokud je tento úhel theta,
i druhý úhel bude theta.
A opět vycházíme ze stejných informací
a využíváme stejné znalosti
jako v předchozím případě
o středových a obvodových úhlech
a jejich obloucích.
Tento úhel je tedy theta,
protože se jedná
o rovnoramenné trojúhelníky.
Jaký tedy bude tento úhel?
Bude opět
theta plus 90° minus theta
Tento úhel bude
theta plus 90° minus theta.
Hodnoty theta
se navzájem vyruší.
Takže pokaždé, když jedna strana
trojúhelníka tvoří průměr
a protilehlý úhel či jeho vrchol
leží na kružnici,
pak tento úhel bude vždy pravý.
Bude se jednat
o pravoúhlý trojúhelník.
Kdybych nakreslil
méně pravidelný trojúhelník, třeba takový...
Bod si nakreslím třeba sem
a trojúhelník bude vypadat takto,
pravý úhel bude tady.
Nakreslím-li trojúhelník takto,
pravý úhel bude zde.
U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným
postupem dokázal, že budou pravoúhlé.
Způsob, jak jsme ověřovali
pravoúhlost prvního trojúhelníku,
platí na kterýkoli trojúhelník
takto vepsaný do kružnice.