WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:04.510
Představte si kružnici s nějakým průměrem.

00:00:05.280 --> 00:00:08.510
Zkusím ho nakreslit.

00:00:08.510 --> 00:00:09.760
To by docela šlo.

00:00:09.760 --> 00:00:13.190
Žlutá čára uprostřed
se nazývá průměr kružnice.

00:00:14.300 --> 00:00:16.110
Průměr kružnice.

00:00:16.110 --> 00:00:21.860
A teď si představte trojúhelník, jehož
jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka,

00:00:21.860 --> 00:00:24.870
s vrcholem umístěným

00:00:24.870 --> 00:00:28.960
kdekoli na bílém obvodu kružnice.

00:00:28.960 --> 00:00:33.250
Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude

00:00:33.250 --> 00:00:35.260
ležet na kružnici.

00:00:35.260 --> 00:00:38.020
Trojúhelník může vypadat například takhle.

00:00:44.160 --> 00:00:47.170
V tomto videu vám chci ukázat,

00:00:47.170 --> 00:00:51.690
že tenhle trojúhelník je pravoúhlý.

00:00:52.980 --> 00:00:55.200
Pravý úhel se vždycky bude nacházet

00:00:55.200 --> 00:00:58.150
na opačné straně než průměr kružnice.

00:00:58.150 --> 00:01:00.000
Nechci ho zatím označovat,

00:01:00.000 --> 00:01:02.140
protože bychom si neužili
zábavu s jeho objevováním.

00:01:02.140 --> 00:01:05.070
Podívejme se, jak si to můžeme dokázat.

00:01:05.070 --> 00:01:08.910
Použijeme znalosti
týkající se obvodového úhlu

00:01:08.910 --> 00:01:12.970
a jeho vztahu k úhlu středovému,

00:01:12.970 --> 00:01:14.830
který vytyčuje tentýž oblouk.

00:01:14.830 --> 00:01:15.720
Pojďme to zkusit.

00:01:15.720 --> 00:01:18.950
Toto je obvodový úhel.

00:01:18.950 --> 00:01:22.760
Označme ho písmenem theta.

00:01:22.760 --> 00:01:25.070
Nyní si označím střed

00:01:25.070 --> 00:01:27.370
své kružnice

00:01:27.370 --> 00:01:30.190
a vytvořím středový úhel.

00:01:30.190 --> 00:01:31.980
Povedeme do středu úsečku

00:01:31.980 --> 00:01:33.460
a tím vzniknou další trojúhelníky

00:01:33.460 --> 00:01:35.860
V kružnici se objeví nový,
středový úhel.

00:01:35.880 --> 00:01:38.190
Toto je poloměr.

00:01:38.190 --> 00:01:39.660
Tohle je taky poloměr

00:01:39.670 --> 00:01:41.800
Obě úsečky jsou stejně dlouhé.

00:01:41.800 --> 00:01:44.480
V minulých videích jsme zjistili,

00:01:44.480 --> 00:01:48.710
že obvodový úhel
vytyčuje v kružnici oblouk.

00:01:52.420 --> 00:01:55.850
Dozvěděli jsme se, že středový úhel,
který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk,

00:01:55.850 --> 00:01:57.400
bude mít dvojnásobnou velikost.

00:01:57.400 --> 00:01:59.250
To jsme si dokázali
v předchozích videích.

00:01:59.250 --> 00:02:02.150
Takže středový úhel
bude mít velikost 2 krát theta.

00:02:02.150 --> 00:02:05.260
Je to proto, že středový úhel
vymezuje tentýž oblouk.

00:02:05.260 --> 00:02:08.000
Uvědomme si, že tento trojúhelník

00:02:08.060 --> 00:02:11.620
tady... je rovnoramenný.

00:02:11.620 --> 00:02:13.800
Mohl bych ho otočit a překreslit takto.

00:02:16.480 --> 00:02:19.793
Otočený by vypadal takhle.

00:02:22.163 --> 00:02:25.000
Zelená by byla základna.

00:02:25.000 --> 00:02:28.980
Obě tyto strany mají stejnou délku,
která se rovná poloměru kružnice.

00:02:28.980 --> 00:02:31.160
U vrcholu je úhel 2 krát theta.

00:02:31.160 --> 00:02:33.530
Je to úplně stejný trojúhelník
jako v kružnici,

00:02:33.530 --> 00:02:35.060
jen jsem ho pro vás otočil.

00:02:35.060 --> 00:02:37.050
Tato žlutá strana je totožná s touhle.

00:02:37.050 --> 00:02:41.660
Protože je to rovnoramenný
trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé),

00:02:41.660 --> 00:02:43.980
úhly přilehlé
k základně musejí být stejné.

00:02:47.580 --> 00:02:49.820
Tenhle je stejný s tímhle,
nebo, když to nakreslím sem,

00:02:49.820 --> 00:02:53.120
tady a tady musí být stejný úhel.

00:02:55.150 --> 00:02:58.150
Jeden úhel jsem už označil jako theta,

00:02:58.150 --> 00:02:59.800
tenhle bude třeba 'x'.

00:02:59.800 --> 00:03:05.230
Takže tenhle bude 'x' a tenhle také,

00:03:05.230 --> 00:03:08.000
čemu se bude rovnat 'x'?

00:03:08.000 --> 00:03:12.120
'x' plus 'x' plus 2 krát theta
se musí rovnat 180 stupňům.

00:03:12.120 --> 00:03:13.970
To jsou tři úhly našeho
rovnoramenného trojúhelníka.

00:03:13.970 --> 00:03:15.770
Ještě to napíšu.

00:03:15.770 --> 00:03:23.010
x plus x plus 2 theta = 180° 
To je

00:03:23.010 --> 00:03:30.880
2x plus 2 theta = 180°

00:03:30.880 --> 00:03:35.970
2x = 180° minus 2 theta

00:03:35.970 --> 00:03:42.980
Vydělte obě strany dvěma a dostanete
x = 90° minus theta

00:03:42.980 --> 00:03:50.590
Proto
x = 90° minus theta

00:03:50.590 --> 00:03:52.890
Co dalšího si můžeme ukázat?

00:03:52.890 --> 00:03:55.130
Podívejme se na trojúhelník zde.

00:03:55.130 --> 00:03:59.160
Tento trojúhelník, či tato strana,

00:03:59.160 --> 00:04:01.930
se také rovná poloměru kružnice.

00:04:01.930 --> 00:04:04.080
Tato vzdálenost,
kterou jsme si už popsali,

00:04:04.080 --> 00:04:05.680
je další poloměr.

00:04:05.680 --> 00:04:09.350
Takže ještě jednou,
i toto je rovnoramenný trojúhelník.

00:04:09.350 --> 00:04:11.870
Tyto dvě strany jsou stejné,

00:04:11.870 --> 00:04:14.610
a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné.

00:04:14.730 --> 00:04:16.700
Pokud je tento úhel theta,

00:04:16.700 --> 00:04:18.405
i druhý úhel bude theta.

00:04:18.445 --> 00:04:20.770
A opět vycházíme ze stejných informací

00:04:20.770 --> 00:04:24.250
a využíváme stejné znalosti
jako v předchozím případě

00:04:24.310 --> 00:04:26.560
o středových a obvodových úhlech

00:04:26.560 --> 00:04:27.980
a jejich obloucích.

00:04:27.980 --> 00:04:29.670
Tento úhel je tedy theta,

00:04:29.670 --> 00:04:32.480
protože se jedná
o rovnoramenné trojúhelníky.

00:04:32.480 --> 00:04:36.150
Jaký tedy bude tento úhel?

00:04:36.150 --> 00:04:39.850
Bude opět 
theta plus 90° minus theta

00:04:39.850 --> 00:04:41.650
Tento úhel bude

00:04:41.650 --> 00:04:44.690
theta plus 90° minus theta.

00:04:44.690 --> 00:04:46.270
Hodnoty theta
se navzájem vyruší.

00:04:46.270 --> 00:04:49.690
Takže pokaždé, když jedna strana
trojúhelníka tvoří průměr

00:04:49.690 --> 00:04:53.070
a protilehlý úhel či jeho vrchol

00:04:53.070 --> 00:04:56.620
leží na kružnici,

00:04:56.620 --> 00:05:01.780
pak tento úhel bude vždy pravý.

00:05:01.780 --> 00:05:08.750
Bude se jednat
o pravoúhlý trojúhelník.

00:05:08.750 --> 00:05:11.640
Kdybych nakreslil
méně pravidelný trojúhelník, třeba takový...

00:05:11.640 --> 00:05:13.270
Bod si nakreslím třeba sem

00:05:15.550 --> 00:05:18.490
a trojúhelník bude vypadat takto,
pravý úhel bude tady.

00:05:20.780 --> 00:05:22.530
Nakreslím-li trojúhelník takto,

00:05:22.880 --> 00:05:24.240
pravý úhel bude zde.

00:05:25.240 --> 00:05:28.850
U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným
postupem dokázal, že budou pravoúhlé.

00:05:28.870 --> 00:05:31.420
Způsob, jak jsme ověřovali
pravoúhlost prvního trojúhelníku,

00:05:31.420 --> 00:05:34.255
platí na kterýkoli trojúhelník
takto vepsaný do kružnice.