-
આપણી દુનિયામાં વર્તુળ તે દાવા સાથે સૌથી મૂળભૂત આકાર છે
-
તમે ગ્રહોના ઉપગ્રહોનો આકાર જુઓ,
-
કે તમે પૈડા તરફ જુઓ, કે તમે જુઓ
-
પરમાણું જેટલી વસ્તુઓ.
-
આ વર્તુળ તમને બધેજ વારંવાર
-
દેખાયા જ કરશે.
-
તેથી જ કદાચ અપણા માટે એ યોગ્ય રહેશે કે આપણે સમજીએ કેટલાંક
-
વર્તુળના ગુણધર્મો .
-
તો સૌથી પહેલા જયારે લોકોએ વર્તુળની શોધ કરી,
-
અને તમે વર્તુળ જોવા માંગતા હો તો ચંદ્ર તરફ જોઈ શકો છો,પણ
-
પહેલી સારી બાબત શોધી, કોઈ પણ વર્તુળના
-
ગુણધર્મો શું છે?
-
તો સૌથી પહેલા તેઓ એમ કહેવા માંગી શકે કે,વર્તુળ તે
-
એ બધાજ બિંદુઓ છે જે સમાન અંતરે
-
તેના કેન્દ્રથી છે.
-
આ ધાર પરના બધા જ બિંદુઓ સમાન અંતરે
-
બરાબર ત્યાં પેલા કેન્દ્રથી છે.
-
તેથી કોઈ સૌથી પહેલા એવું જાણવા માંગશે કે
-
તે અંતર કેટલું છે,તે સમાન અંતર જેનાથી બધુજ
-
કેન્દ્રથી છે?
-
બરાબર અહી.
-
આપણે તેને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહીએ છીએ.
-
તે માત્ર કેન્દ્રથી ધાર સુધીનું અંતર છે.
-
જો તે ત્રિજ્યા ૩ સેન્ટીમીટર હોય,તો આ ત્રિજ્યા
-
૩ સેન્ટીમીટર થશે.
-
અને આ ત્રિજ્યા પણ ૩ સેન્ટીમીટર થશે.
-
તે ક્યારે અલગ નહિ હોય.
-
વ્યાખ્યા પ્રમાણે,વર્તુળ તે બધાજ બિંદુઓ છે જે કેન્દ્ર થી
-
સમાન અંતરે છે.
-
અને તે અંતરને ત્રિજ્યા કહેવાય.
-
અને હવે સૌથી રસપ્રદ વાત, જે લોકો
-
કદાચ કહે, વર્તુળ કેટલું જાડું છે?
-
તે તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે કેટલું પહોળું છે?
-
અથવા તો તમે જો તેને તેના સૌથી દુરના બિંદુથી કાપવા માંગતા હોવ,તો
-
ત્યાં તે અંતર કેટલું થશે?
-
અને તે માત્ર ત્યાંજ નહિ,હું તેને
-
તેટલું જ સરળતાથી તેના સૌથી દુરના બિંદુ પાસેથી બરાબર ત્યાંથી પણ કાપી શકું.
-
હું માત્ર તેને આના જેવી કોઈ જગ્યાએથી ના પણ કાપું
-
કારણ કે તે તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે ન પણ હોય.
-
ઘણી બધી જગ્યાઓ થી હું તેને કાપી શકું
-
તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે.
-
સારું, આપણે અત્યારે જ ત્રિજ્યા વિષે જાણ્યું અને તે સૌથી દુરના બિંદુ વિષે પણ જાણ્યું
-
જે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને આગળ વધે છે.
-
તેથી તે અંતે તો બે ત્રીજ્યાઓ જ છે.
-
તમે ત્યાં એક ત્રિજ્યા જોઈ અને બીજી
-
તમારી પાસે ત્રિજ્યા ત્યાં છે.
-
આપણે આ સૌથી દુરના બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરને ઓળખીએ છીએ,
-
વર્તુળ નો વ્યાસ.
-
એટલે કે તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
-
તેને વર્તુળને ત્રિજ્યા સાથે સરળ સંબંધ છે.
-
વ્યાસ એટલે કે બે વખત ત્રિજ્યા બરાબર થાય.
-
હવે પછીની સૌથી રસપ્રદ વાત જે તમે
-
વર્તુળ વિષે વિચારતા હશો કે તે વર્તુળની આસપાસ કેટલું માપ ધરવતો હશે?
-
મતલબ કે જો તમારી પાસે તમારી માપ પટ્ટી હોય અને તમે
-
વર્તુળની આસપાસ તે રીતે માપવાના હો તો તે અંતર કેટલું થાય?
-
આપણે તેને વર્તુળના પરિઘ તરીકે ઓળખીએ છીએ.
-
હવે, આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યાસ અને ત્રિજ્યા વચ્ચે શું સંબંધ છે, પણ
-
પરિઘ અને વ્યાસ કઈ રીતે સંકળાયેલા છે.
-
અને જો તમને વ્યાસ સાથે બરાબર ફાવતું ન હોય તો આપણે
-
તે ત્રિજ્યા સાથે કઈ રીતે સંકળાયેલ છે તે શોધવું પણ બહુ સરળ છે.
-
સારું, ઘણા હજારો વર્ષો પહેલા લોકો તેમની પટ્ટી લેતા
-
અને પરિઘ અને વ્યાસ શોધવા તેનો
-
ઉપયોગ કરતા.
-
અને આપણે વિચારીએ કે તેમની પટ્ટી નું માપ સારું ન હતું,
-
ધારો કે તેઓ આ વર્તુળનો પરિઘ માપ્યું હોત,
-
અને તેમને સાચો પણ મળત, તે લગભગ ૩ જેટલો દેખાય છે.
-
અને પછી તેઓ વર્તુળની ત્રિજ્યા આ રીતે અહિયાંથી માપતા.
-
અથવા તો તે વર્તુળનો વ્યાસ,અને પછી તેઓ એમ કહેત અરે, વ્યાસ
-
તે લગભગ ૧ જેટલું છે.
-
તે તેઓ એવું એમ કહેત-- પહેલા મને લખી લેવા દો.
-
તો આપણે અહીં ગુણોત્તર વિષે વિચારીએ--હું
-
તેને આ રીતે લખી લઉં.
-
પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર.
-
ધારો કે કોઈ પાસે અહીં એક વર્તુળ છે--
-
ધારો કે તેમની પાસે આ વર્તુળ હોત,અને પહેલી વાર
-
તે અયોગ્ય માપપટ્ટી દ્વારા,તેમણે વર્તુળ ની આસપાસ માપ્યું અને
-
તેમણે કહ્યું અરે, તે લગભગ ૩મીટર જેટલું છે
-
જયારે હું તેની આસપાસ જોઉં ત્યારે.
-
અને જયારે હું વર્તુળનો વ્યાસ માપું તો ,
-
તે લગભગ ૧ જેટલું છે.
-
હા તે રસપ્રદ છે.
-
શક્ય છે કે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર
-
૩ હોય.
-
તેથી કદાચ એવું પણ બની શકે કે પરિઘ હંમેશા વ્યાસથી
-
૩ ગણો હોય.
-
તે માત્ર આ વર્તુળ માટે હતું, પણ ધારો કે
-
તેમણે કોઈ બીજું વર્તુળ અહીં માપ્યું.
-
તે આવું થશે- મેં તે વધારે નાનું દોર્યું.
-
ધારો કે આ વર્તુળની આસપાસ તેમણે માપ્યું અને
-
તેમણે થયું કે પરિઘ ૬ સેન્ટીમીટર છે,
-
અંદાજે તો પછી આપણી પાસે માપપટ્ટી ખોટી છે
-
પછી તેમણે શોધ્યું કે વ્યાસ
-
અંદાજે ૨ સેન્ટીમીટર છે.
-
અને ફરીથી પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર
-
અંદાજે ૩ થયો.
-
સારું, આ વર્તુળનો એક પ્રમાણસરનો ગુણધર્મ છે.
-
શક્ય છે કે પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર
-
બધા જ વર્તુળ માટે સ્થિત હોય.
-
તેથી તેમણે વિચાર્યું કે ચાલો અનુ વધારે અધ્યયન કરીએ.
-
તેથી તેમણે સારી માપપટ્ટી લીધી.
-
જયારે તેમણે સારી માપપટ્ટી લીધી તો તેમણે શોધ્યું કે,અરે
-
મારો વ્યાસ ચોક્કસ ૧ છે.
-
તેમણે કહ્યું કે મારો વ્યાસ ચોક્કસ ૧ છે, પણ જયારે મેં
-
મારો પરિઘ થોડો માપ્યો તો મને સમજાયું કે
-
તે ૩.૧ થી નજીક છે.
-
અને અહીં પણ તે જ વસ્તુ થશે.
-
તેમણે જોયું કે આ ગુણોત્તર ૩.૧ થી નજીક છે.
-
પછી તેમણે તે વધારે અને વધારે સારી રીતે માપ્યા કર્યું,
-
અને પછી તેમણે સમજાયું કે તેઓને દર વખતે આ સંખ્યા મળે છે,
-
તેમણે હજી વધારે અને વધારે સારી રીતે માપ્યા કર્યું,અને તેઓને
-
૩.૧૪૧૫૯ સંખ્યા મળી.
-
અને જો અંક ઉમેરતા જઈએ તો તે
-
ક્યારેય પુનરાવર્તિત નહિ થાય.
-
તે એક વિચિત્ર વાસ્તવિક સંખ્યા હતી.
-
તે આગળ વધ્ય કરતી હતી.
-
તેથી આ સંખ્યા આપણી દુનિયામાં આટલી મૂળભૂત છે,
-
કારણ કે વર્તુળ આપણી દુનિયામાં ઘણું મૂળભૂત છે,
-
અને તે બધા વર્તુળ માટે લાગુ પડે છે.
-
પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર આ હતો,
-
એક પ્રકારની જાદુઈ સંખ્યા, તેમણે તેને નામ આપ્યું.
-
તેમણે તેને પાઇ કહી,અથવા તો તમે માત્ર તેને લેટીન અથવા
-
ગ્રીક અક્ષર pi વડે ---આ રીતે દર્શાવી શકો.
-
જે તે સંખ્યાને દર્શાવે છે જે દલીલપૂર્વક
-
દુનિયાની ખુબ જ વિચિત્ર સંખ્યા છે.
-
તે પહેલા તો પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે,
-
પણ તમે જેમ તમારી ગણિત શીખવાની મુસાફરીમાં આગળ વધશો તેમ
-
શીખશો કે તે બધે જ આવે છે.
-
તે દુનિયાની મૂળભૂત વસ્તુઓ માંથી એક મૂળભૂત છે જે
-
તમને વિચારતા કરી દેશે કે તેનું ખુબ મહત્વ છે.
-
પણ વાંધો નહિ, આપણે વિચારીએ કે આપણે તેને અપના ગણિતમાં
-
કઈ રીતે ઉપયોગ કરી શકીએ?
-
તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે હું તમને કહું,કે
-
પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર--જયારે હું ગુણોત્તર કહું,
-
તેનો મતલબ એમ થાય કે તમે પરીઘને
-
વ્યાસ વડે ભાગો તો તમને પાઇ મળશે.
-
પાઇ તે માત્ર આ જ સંખ્યા છે.
-
હું ૩.૧૪૧૫૯ લખી શકું અને આગળ ને આગળ વધ્યા પણ કરી શકું,
-
પણ તે જગ્યાનો બગાડ થશે અને તે અઘરું
-
પણ થશે, તેથી લોકો આ ગ્રીક શબ્દ ને માત્ર
-
pi લખે છે.
-
હવે આપણે તેને કઈ રીતે સાંકળી શકીએ?
-
આપણે તેની બંને બાજુને વ્યાસ વડે ગુણી શકીએ અને આપણે
-
કહી શકીએ કે પરિઘ તે પાઇ
-
વખત વ્યાસ બરાબર છે.
-
અથવા તો વ્યાસ તે ૨ વખત ત્રિજ્યા બરાબર હોવાથી, આપણે
-
કહી શકીએ કે પરિઘ તે ૨ વખત ત્રિજ્યા વખત
-
પાઇ બરાબર થાય.
-
અથવા તો તમે તેને આ રીતે પણ જોઈ શકો કે
-
તે ૨ પાઇ r બરાબર છે.
-
તો ચાલો આપણે તેને કેટલાંક પ્રશ્નોમેં ઉપયોગ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ.
-
તો ધારો કે મારી પાસે બરાબર તેના જેવું એક વર્તુળ છે,
-
અને હું તમને કહીશ કે તેને ત્રિજ્યા છે--અને બરાબર અહીએ તેની ત્રિજ્યા ૩ છે.
-
તેથી ૩ --હું અહી તેને લખી લઉં--તેથી ત્રિજ્યા તે ૩ છે.
-
તે ૩ મીટર હોઈ શકે--અહી કોઈ એકમ વડે દર્શાવું તો.
-
વર્તુળ નો પરિઘ શું થશે?
-
પરિઘ તે ૨ વખત પાઇ વખત ત્રિજ્યા બરાબર થાય.
-
તેથી તે ૨ વખત પાઇ વખત ત્રિજ્યા થશે,
-
૨ વખત ૩ મીટર જે ૬ મીટર થશે.હવે ૬ મીટર વખત પાઇ
-
અથવા ૬ પાઇ મીટર્સ.
-
૬ પાઇ મીટર્સ.
-
હવે હું તેનો ગુણાકાર કરી શકું.
-
યાદ રાખો કે પાઇ તે માત્ર એક સંખ્યા છે.
-
પાઇ તે ૩.૧૪૧૫૯ અને આગળ ને આગળ અંકો.
-
તેથી હું તેને ૬ વડે ગુણીશ, કદાચ મને ૧૮ પોઈન્ટ
-
કઈક કઈક કઈક મળશે.
-
જો તમારી પાસે તમારું કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે કરી શકો, પણ
-
સરળતા માટે લોકો તે સંખ્યાને પાઇ તરીકે
-
જ રહેવા દે છે.
-
હવે મને નથી ખબર કે તે સંખ્યાને ૬ વડે ગુણવાથી શું મળશે,
-
મને નથી ખબર તમને કદાચ ૧૮ કે ૧૯ ની નજીક કઈક મળે,
-
તે અંદાજે ૧૮ પોઈન્ટ કઈક
-
કઈક કઈક થાય.
-
મારી પાસે અત્યારે મારું કેલ્ક્યુલેટર નથી.
-
પણ તે સંખ્યા લખવાને બદલે, તમે માત્ર
-
૬ પાઇ લખી શકો છો.
-
હું માનું છું કે તે તદ્દન
-
૧૯ ની સીમારેખાને પાર નહિ કરે.
-
ચાલો હવે બીજો પ્રશ્ન જોઈએ.
-
વર્તુળ નો વ્યાસ શું છે?
-
સારું, જો ત્રિજ્યા ૩ હોય તો વ્યાસ તે તેનાથી બમણો થાય.
-
તેથી તે ૩ વાર ૨ અથવા ૩ વત્તા ૩ થાય, જે
-
૬ મીટર થશે.
-
તેથી પરિઘ ૬ પાઇ મીટર છે, અને વ્યાસ ૬ મીટર છે,
-
ત્રિજ્યા ૩ મીટર છે.
-
ચાલો હવે બીજી વસ્તુ જોઈએ.
-
ધારો કે મારી પાસે બીજું વર્તુળ છે.
-
ધારો કે મારી પાસે બીજું વર્તુળ અહીં છે.
-
અને હું તમને કહેત કે પરિઘ
-
૧૦ મીટર છે-- તે વર્તુળ નો પરિઘ છે.
-
જો તમે તેની આસપાસ માપપટ્ટી મુકવાના હોત અને
-
કોઈ તમને પૂછે કે વર્તુળનો વ્યાસ શું છે?
-
સારું, આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યાસ વખત પાઇ,આપણે જાણીએ છીએ કે પાઇ વખત
-
વ્યાસ તે પરિઘ જેટલો છે;
-
જે ૧૦ મીટર છે.
-
તેથી અને ઉકેલવા માટે આપણે માત્ર બંને બાજુને
-
પાઇ વડે ભાગીશું.
-
વ્યાસ પાઇ ના અંશમાં ૧૦ બરાબર થશે અથવા
-
પાઇ અંશમાં ૧૦ મીટર્સ થશે.
-
અને તેજ જવાબ છે.
-
જો તમારી પાસે તમારી પાસે તમારું કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે ૧૦ ને
-
૩.૧૪૧૫૯ વડે ભાગી શકો અને તમને ૩ પોઈન્ટ
-
કઈક કઈક કઈક મીટર્સ મળે.
-
હું તે જાતે ગણી ના શકું.
-
પણ આ જ ઉકેલ છે.
-
પણ સરળતા માટે આપણે તેમ નું તેમ જ રહેવા દઈએ છીએ.
-
હવે ત્રિજ્યા શું થશે?
-
સારું,ત્રિજ્યા તે ૧/૨ વ્યાસ બરાબર થાય.
-
તેથી આ આખું અંતર અહીં ૧૦ ના છેદ માં પાઇ બરાબર થાય.
-
જો આપણે તેના ૧/૨ લઈએ, આપણે તેની ત્રિજ્યા શોધીએ,
-
તો આપણે તેને ૧/૨ વડે ગુણીશું.
-
તો તમારી પાસે ૧/૨ વખત ૧૦ ના છેદ માં પાઇ છે, જે ૧/૨ વખત
-
૧૦ થાય, અથવા તમે અંશ અને છેદ ને
-
૨ વડે ભાગી પણ શકો.
-
તમને ૫ ત્યાં મળશે,
-
તેથી તમારી પાસે ૫ના છેદ માં પાઇ છે.
-
આમાં કઈ ધારવા જેવું નથી.
-
હું માનું છું કે લોકો જેનાથી વધારે મૂંઝાઈ છે તે એ છે
-
કે તેઓ પાઇને સંખ્યા તરીકે નથી સમજતા.
-
પાઇ તે માત્ર ૩.૧૪૧૫૯ છે અને તે આગળ અને આગળ વધ્યા જ કરે છે.
-
પાઇ વિષે તો હજારો પુસ્તકો લખાયા છે, તેથી
-
મતલબ કે ---હું જાણતો નથી કે હજારો પુસ્તકો છે,હું
-
વધારી ને કહું છે.પણ તમે આ સંખ્યા પર પુસ્તક લખી શકો છો.
-
પણ તે માત્ર એક સંખ્યા છે.
-
તે એક ખાસ સંખ્યા છે અને તમે જો તેને તમારી રીતે
-
જેમ બીજી સંખ્યા લખો છો તેમ લખવા માંગતા હો તો,
-
તેના વડે ગુણી શકો છો.
-
પણ ઘણી વખત લોકો સમજે છે કે તેને પાઇની
-
જેમ જ રાખવું સારું છે.
-
વાંધો નહિ, હવે આપણે અહી પૂરું કરીશું.
-
હવે પછીના વિડીઓ માં આપણે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધીશું.
