-
Привет! В этом видео я хочу рассмотреть
-
доказательство некоторых важных геометрических формул.
-
Сегодня мы будем говорить о вписанных углах.
-
Вписанный угол – это угол,
-
вершина которого лежит на окружности.
-
Вот наш вписанный угол.
-
Я обозначу его буквой ψ. Я буду использовать «пси»
-
для обозначения вписанных углов в этом видео, договорились?
-
Ψ, вписанный угол, равен ровно половине
-
центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
-
Я использую много сложных слов, но я надеюсь,
-
вы понимаете, о чем я говорю.
-
Итак, это ψ. Это вписанный угол,
-
вершина которого лежит на окружности.
-
Если вы нарисуете два луча, выходящие из этого угла,
-
или две хорды, образующие этот угол, получится,
-
что стороны этого угла пересекут круг с другой стороны.
-
Если вы посмотрите на часть окружности,
-
которая находится внутри этого угла,
-
это будет дуга, на которую опирается ψ.
-
Здесь много заумных слов, но мне кажется,
-
сама идея довольно простая.
-
Вот эта дуга.
-
Давайте я напишу это вот так:
-
это дуга, на которую опирается ψ, т.е. вписанный угол,
-
вершина которого лежит на окружности.
-
Теперь о центральном угле.
-
Центральный угол – это угол,
-
вершина которого находится в центре круга.
-
Скажем, вот эта точка –
-
я попытаюсь определить ее на глаз – центр круга.
-
Теперь давайте я нарисую центральный угол,
-
который опирается на ту же дугу.
-
Это будет угол, который опирается на ту же дугу. Вот он.
-
Давайте назовем этот угол «тета». Это угол ψ, а это угол θ.
-
В этом видео я хочу доказать,
-
что ψ всегда будет равняться половине θ.
-
Т.е. допустим, ψ равняется 25°, значит - мы сразу же
-
можем сказать, что θ равняется 50°.
-
Или, если я скажу, что θ равен 80°,
-
тогда сразу же мы можем сказать, что ψ равен 40°.
-
Давайте докажем это. Я это сотру.
-
Начнем с вами с особого случая.
-
Я сейчас нарисую вписанный угол,
-
но у него одна из хорд, которые образуют его,
-
будет диаметром круга.
-
Это будет нестандартный случай.
-
Здесь будет центр моего круга. Поставим точку.
-
Снова определю его на глаз.
-
Теперь я нарисую диаметр.
-
Вот так выглядит наш диаметр.
-
Теперь я должен обозначить вписанный угол.
-
Этот диаметр - одна сторона этого угла,
-
а другая сторона пусть выглядить вот так.
-
Давайте я назову этот угол ψ.
-
Это угол ψ, а этот отрезок – радиус.
-
Это радиус нашего круга.
-
Тогда вот этот отрезок тоже будет радиусом нашего круга.
-
Он идет от центра до окружности.
-
А окружность, как мы знаем, – это все точки,
-
удаленные от центра круга на расстояние радиуса.
-
Значит это тоже радиус.
-
Треугольник, образовавшийся здесь, –
-
это равнобедренный треугольник.
-
Две его стороны равны.
-
А мы знаем, что, когда у треугольника две стороны равны,
-
углы у его основания тоже равны.
-
Т.е. этот угол тоже будет равен ψ.
-
Возможно, вам не сразу это видно потому,
-
что этот треугольник наклонен.
-
Но я думаю, что все увидят,
-
если я нарисую его вот так.
-
Если бы я сказал, что это r, и это r,
-
и что эти две стороны равны, а этот угол – ψ –
-
давайте я сейчас аккуратней его нарисую –
-
то вы бы сказали, что второй угол тоже ψ.
-
Углы у основания равнобедренного треугольника равны.
-
Значит если это ψ, то и это тоже ψ.
-
Теперь давайте посмотрим на центральный угол.
-
Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
-
Давайте выделим дугу, на которую они оба опираются.
-
Это мой центральный угол θ.
-
Если это угол θ, чему будет равен вот этот угол?
-
Этот угол смежен с θ, значит он равен 180-θ.
-
Если сложить эти два угла,
-
вы получите 180° или развернутый угол,
-
потому что они смежные.
-
Мы также знаем, что эти три угла
-
относятся к одному треугольнику,
-
значит они в сумме равны 180°.
-
Т.е мы можем написать: ψ+ψ+ 180-θ=180°.
-
Теперь мы можем вычесть 180 из обеих сторон
-
ψ+ψ - это 2ψ-θ=0.
-
Прибавьте θ с обеих сторон и получите 2ψ=θ.
-
Умножьте обе стороны на одну вторую
-
или разделите на 2 и получится, что угол ψ=½θ.
-
Т.е. мы доказали то, что хотели,
-
для этого особого случая, где один из лучей
-
(или прямые, или лучи – как хотите) -
-
один из лучей, составляющих вписанный угол, является диаметром.
-
Диаметр составляет часть этого луча.
-
Это особый случай, где одна сторона является диаметром.
-
Теперь мы можем это обобщить.
-
Мы знаем, что, если ψ=50, то θ=100.
-
Точно так же, чему бы ни равнялся угол θ,
-
ψ будет равняться его половине, и чему бы ни был равен угол ψ,
-
θ будет в два раза больше.
-
Это равенство справедливо во всех случаях.
-
Давайте я это сотру сейчас.
-
Еще раз обобщим.
-
Результат, который мы получили ранее,
-
применим ко всем вписанным углам.
-
Допустим, у нас есть такой вписанный угол.
-
В этом случае центр находится, так сказать, внутри угла.
-
Это мой вписанный угол, и я хочу найти отношение
-
между этим вписанным углом и центральным углом,
-
опирающимся на ту же дугу.
-
Вот мой центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
-
Вы, возможно, скажете: «Но как же быть?
-
Ни одна из хорд, образующих этот угол, не лежит на диаметре?»
-
Да, но мы можем нарисовать диаметр.
-
Если центр находится между этими двумя хордами,
-
мы можем нарисовать диаметр вот таким образом.
-
Обозначим этот угол как ψ1, а этот угол как ψ2,
-
естественно ψ – это сумма этих двух углов.
-
А эти углы мы назовем θ1 и θ2.
-
Мы уже знаем, глядя на тот результат,
-
к которому мы пришли ранее,
-
что общая для этих углов сторона является диаметром.
-
Мы знаем, что ψ1 будет равняться половине θ1,
-
и мы знаем, что ψ2 будет равняться половине θ2.
-
Мы также знаем, что сумма ψ1 и ψ2 будет равна
-
сумме этих двух углов: ½θ1 плюс ½θ2.
-
Ψ1 плюс ψ2 – это наш изначальный вписанный угол ψ.
-
А это равно ½, умноженной на сумму θ1 и θ2.
-
Что такое θ1 плюс θ2?
-
Это просто θ, которую мы нарисовали вначале.
-
Теперь мы видим, что ψ равна половине θ.
-
Т.е. сейчас мы доказали это для более общего случая,
-
где центр нашего круга находится между двумя лучами,
-
образующими этот угол, доказали, что это справедливо.
-
Но мы все еще не имели дело с более сложной,
-
но при этом более распространенной задачей, где центр круга
-
не лежит между двумя хордами.
-
Давайте сейчас это нарисуем. Вот вершина.
-
Вернее, это центр, а сейчас я нарисую вершину. Я поменяю цвет.
-
Пусть это будет одна из хорд, составляющих угол,
-
а это будет вторая хорда, составляющая угол.
-
Как нам найти отношение -
-
давайте назовем этот угол ψ1 – отношение между
-
ψ1 и центральным углом, опирающимся на ту же дугу.
-
Где эта дуга? Вот эта дуга.
-
Значит центральный угол, опирающийся на ту же дугу,
-
будет выглядеть следующим образом.
-
Давайте назовем его θ1.
-
Здесь мы можем использовать то,
-
что только что выучили: ситуацию,
-
когда одна из сторон угла лежит на диаметре.
-
Давайте это построим.
-
Допустим, я нарисую здесь диаметр.
-
Результат, который мы хотим получить, -
-
это то, что этот угол равняется половине этого.
-
Но давайте это докажем.
-
Попытаюсь нарисовать диаметр поровнее.
-
Вот наш диаметр.
-
Давайте назовем этот угол ψ2.
-
Он опирается на ту же дугу.
-
Давайте я сейчас более темным цветом обведу.
-
Давайте назовем центральный угол на той же дуге θ2.
-
Мы знаем из первой части этого видео, что ψ2=½θ2.
-
Они оба опираются на одну дугу.
-
Вот диаметр. Он является одной из хорд,
-
образующих оба эти угла.
-
Значит ψ2=½θ2.
-
Это как раз то, что мы делали в последнем видео.
-
Это вписанный угол.
-
Одна из образующих его хорд лежит на диаметре.
-
Значит, этот угол будет равен половине центрального угла,
-
который опирается на ту же дугу.
-
Теперь давайте посмотрим на этот больший угол.
-
Вот этот большой угол равняется ψ1 плюс ψ2.
-
Этот угол равен сумме ψ1 и ψ2.
-
Опять же он опирается на вот эту дугу,
-
и диаметр будет одной из хорд,
-
образующих этот огромный угол.
-
Т.е. это будет половина центрального угла,
-
опирающегося на ту же дугу.
-
Мы просто используем то, что мы уже разбирали в этом видео. Ничего нового не находим.
-
Значит это равняется ½ этого огромного
-
центрального угла, θ1 плюс θ2.
-
Пока что мы использовали то,
-
что уже проходили в этом видео.
-
Мы уже знаем, то ψ2=½θ2.
-
Давайте подставим. Это равно этому.
-
Мы можем сказать, что ψ1 равен – извините – ψ1 плюс -
-
вместо ψ2 я напишу ½θ2 -
-
равняется ½θ1+½θ2.
-
Теперь мы можем вычесть ½θ2 из обеих сторон,
-
и получим наш результат.
-
Ψ1=½θ1. Вот и все. Вот наш ответ.
-
Мы доказали, что вписанный угол
-
всегда равен половине центрального угла,
-
опирающегося на ту же дугу, невзирая на то,
-
внутри ли угла лежит центр круга или снаружи,
-
и является ли одна из сторон угла диаметром.
-
Любой угол можно представить как сумму тех углов,
-
которые мы здесь строили.
-
Надеюсь, что это будет вам полезно.
-
И теперь на основании этого результата
-
мы можем построить другие интересные
-
геометрические доказательства.