1
00:00:06,020 --> 00:00:09,045
Привет! В этом видео я хочу рассмотреть

2
00:00:09,045 --> 00:00:13,076
доказательство некоторых важных геометрических формул.

3
00:00:13,076 --> 00:00:16,076
Сегодня мы будем говорить о вписанных углах.

4
00:00:16,076 --> 00:00:19,052
Вписанный угол – это угол,

5
00:00:19,052 --> 00:00:22,092
вершина которого лежит на окружности.

6
00:00:22,092 --> 00:00:24,087
Вот наш вписанный угол.

7
00:00:24,087 --> 00:00:28,044
Я обозначу его буквой ψ. Я буду использовать «пси»

8
00:00:28,044 --> 00:00:31,098
для обозначения вписанных углов в этом видео, договорились?

9
00:00:31,098 --> 00:00:36,007
Ψ, вписанный угол, равен ровно половине

10
00:00:36,007 --> 00:00:41,092
центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

11
00:00:41,092 --> 00:00:44,052
Я использую много сложных слов, но я надеюсь,

12
00:00:44,052 --> 00:00:46,092
вы понимаете, о чем я говорю.

13
00:00:46,092 --> 00:00:49,085
Итак, это ψ. Это вписанный угол,

14
00:00:49,085 --> 00:00:52,087
вершина которого лежит на окружности.

15
00:00:52,087 --> 00:00:55,071
Если вы нарисуете два луча, выходящие из этого угла,

16
00:00:55,071 --> 00:00:59,024
или две хорды, образующие этот угол, получится,

17
00:00:59,024 --> 00:01:04,035
что стороны этого угла пересекут круг с другой стороны.

18
00:01:04,035 --> 00:01:07,012
Если вы посмотрите на часть окружности,

19
00:01:07,012 --> 00:01:10,007
которая находится внутри этого угла,

20
00:01:10,007 --> 00:01:14,037
это будет дуга, на которую опирается ψ.

21
00:01:14,037 --> 00:01:16,069
Здесь много заумных слов, но мне кажется,

22
00:01:16,069 --> 00:01:18,095
сама идея довольно простая.

23
00:01:18,095 --> 00:01:20,087
Вот эта дуга.

24
00:01:20,087 --> 00:01:23,028
Давайте я напишу это вот так:

25
00:01:23,028 --> 00:01:28,095
это дуга, на которую опирается ψ, т.е. вписанный угол,

26
00:01:28,095 --> 00:01:32,053
вершина которого лежит на окружности.

27
00:01:34,034 --> 00:01:36,083
Теперь о центральном угле.

28
00:01:36,083 --> 00:01:38,028
Центральный угол – это угол,

29
00:01:38,028 --> 00:01:41,076
вершина которого находится в центре круга.

30
00:01:41,076 --> 00:01:44,014
Скажем, вот эта точка –

31
00:01:44,014 --> 00:01:49,029
я попытаюсь определить ее на глаз – центр круга.

32
00:01:49,029 --> 00:01:51,071
Теперь давайте я нарисую центральный угол,

33
00:01:51,071 --> 00:01:56,079
который опирается на ту же дугу.

34
00:01:56,079 --> 00:02:04,071
Это будет угол, который опирается на ту же дугу. Вот он.

35
00:02:04,071 --> 00:02:16,050
Давайте назовем этот угол «тета». Это угол ψ, а это угол θ.

36
00:02:16,050 --> 00:02:18,084
В этом видео я хочу доказать,

37
00:02:18,084 --> 00:02:22,036
что ψ всегда будет равняться половине θ.

38
00:02:22,036 --> 00:02:26,059
Т.е. допустим, ψ равняется 25°, значит - мы сразу же

39
00:02:26,059 --> 00:02:30,062
можем сказать, что θ равняется 50°.

40
00:02:30,062 --> 00:02:33,096
Или, если я скажу, что θ равен 80°,

41
00:02:33,096 --> 00:02:37,080
тогда сразу же мы можем сказать, что ψ равен 40°.

42
00:02:37,080 --> 00:02:41,044
Давайте докажем это. Я это сотру.

43
00:02:41,044 --> 00:02:43,071
Начнем с вами с особого случая.

44
00:02:43,071 --> 00:02:46,004
Я сейчас нарисую вписанный угол,

45
00:02:46,004 --> 00:02:50,036
но у него одна из хорд, которые образуют его,

46
00:02:50,036 --> 00:02:52,012
будет диаметром круга.

47
00:02:52,012 --> 00:02:55,059
Это будет нестандартный случай.

48
00:02:55,059 --> 00:02:59,091
Здесь будет центр моего круга. Поставим точку.

49
00:02:59,091 --> 00:03:03,046
Снова определю его на глаз.

50
00:03:03,046 --> 00:03:08,036
Теперь я нарисую диаметр.

51
00:03:08,036 --> 00:03:11,021
Вот так выглядит наш диаметр.

52
00:03:11,021 --> 00:03:16,046
Теперь я должен обозначить вписанный угол.

53
00:03:16,046 --> 00:03:19,029
Этот диаметр - одна сторона этого угла,

54
00:03:19,029 --> 00:03:22,054
а другая сторона пусть выглядить вот так.

55
00:03:22,054 --> 00:03:26,056
Давайте я назову этот угол ψ.

56
00:03:26,056 --> 00:03:32,031
Это угол ψ, а этот отрезок – радиус.

57
00:03:32,031 --> 00:03:34,029
Это радиус нашего круга.

58
00:03:34,029 --> 00:03:39,071
Тогда вот этот отрезок тоже будет радиусом нашего круга.

59
00:03:39,071 --> 00:03:42,046
Он идет от центра до окружности.

60
00:03:42,046 --> 00:03:44,060
А окружность, как мы знаем, – это все точки,

61
00:03:44,060 --> 00:03:48,047
удаленные от центра круга на расстояние радиуса.

62
00:03:48,047 --> 00:03:50,036
Значит это тоже радиус.

63
00:03:50,036 --> 00:03:53,036
Треугольник, образовавшийся здесь, –

64
00:03:53,036 --> 00:03:55,028
это равнобедренный треугольник.

65
00:03:55,028 --> 00:03:57,046
Две его стороны равны.

66
00:03:57,046 --> 00:04:00,063
А мы знаем, что, когда у треугольника две стороны равны,

67
00:04:00,063 --> 00:04:04,000
углы у его основания тоже равны.

68
00:04:04,000 --> 00:04:07,010
Т.е. этот угол тоже будет равен ψ.

69
00:04:07,010 --> 00:04:09,054
Возможно, вам не сразу это видно потому,

70
00:04:09,054 --> 00:04:10,070
что этот треугольник наклонен.

71
00:04:10,070 --> 00:04:12,024
Но я думаю, что все увидят,

72
00:04:12,024 --> 00:04:14,015
если я нарисую его вот так.

73
00:04:14,015 --> 00:04:16,060
Если бы я сказал, что это r, и это r,

74
00:04:16,060 --> 00:04:19,087
и что эти две стороны равны, а этот угол – ψ –

75
00:04:19,087 --> 00:04:22,034
давайте я сейчас аккуратней его нарисую –

76
00:04:22,034 --> 00:04:25,089
то вы бы сказали, что второй угол тоже ψ.

77
00:04:25,089 --> 00:04:29,072
Углы у основания равнобедренного треугольника равны.

78
00:04:29,072 --> 00:04:32,062
Значит если это ψ, то и это тоже ψ.

79
00:04:32,062 --> 00:04:35,069
Теперь давайте посмотрим на центральный угол.

80
00:04:35,069 --> 00:04:40,000
Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

81
00:04:40,000 --> 00:04:44,087
Давайте выделим дугу, на которую они оба опираются.

82
00:04:44,087 --> 00:04:49,029
Это мой центральный угол θ.

83
00:04:49,029 --> 00:04:53,072
Если это угол θ, чему будет равен вот этот угол?

84
00:04:53,072 --> 00:04:58,068
Этот угол смежен с θ, значит он равен 180-θ.

85
00:04:58,068 --> 00:05:00,011
Если сложить эти два угла,

86
00:05:00,011 --> 00:05:03,012
вы получите 180° или развернутый угол,

87
00:05:03,012 --> 00:05:05,072
потому что они смежные.

88
00:05:05,072 --> 00:05:11,021
Мы также знаем, что эти три угла

89
00:05:12,058 --> 00:05:15,062
относятся к одному треугольнику,

90
00:05:15,062 --> 00:05:19,004
значит они в сумме равны 180°.

91
00:05:19,004 --> 00:05:33,061
Т.е мы можем написать: ψ+ψ+ 180-θ=180°.

92
00:05:33,061 --> 00:05:39,020
Теперь мы можем вычесть 180 из обеих сторон

93
00:05:39,024 --> 00:05:48,048
ψ+ψ - это 2ψ-θ=0.

94
00:05:48,048 --> 00:05:54,083
Прибавьте θ с обеих сторон и получите 2ψ=θ.

95
00:05:54,083 --> 00:05:57,028
Умножьте обе стороны на одну вторую

96
00:05:57,028 --> 00:06:02,083
или разделите на 2 и получится, что угол ψ=½θ.

97
00:06:02,083 --> 00:06:04,062
Т.е. мы доказали то, что хотели,

98
00:06:04,062 --> 00:06:08,070
для этого особого случая, где один из лучей

99
00:06:08,070 --> 00:06:12,080
(или прямые, или лучи – как хотите) -

100
00:06:12,080 --> 00:06:17,062
один из лучей, составляющих вписанный угол, является диаметром.

101
00:06:17,062 --> 00:06:21,007
Диаметр составляет часть этого луча.

102
00:06:21,007 --> 00:06:23,083
Это особый случай, где одна сторона является диаметром.

103
00:06:23,083 --> 00:06:25,070
Теперь мы можем это обобщить.

104
00:06:25,070 --> 00:06:34,068
Мы знаем, что, если ψ=50, то θ=100.

105
00:06:34,068 --> 00:06:38,078
Точно так же, чему бы ни равнялся угол θ,

106
00:06:38,078 --> 00:06:44,028
ψ будет равняться его половине, и чему бы ни был равен угол ψ,

107
00:06:44,028 --> 00:06:46,073
θ будет в два раза больше.

108
00:06:46,073 --> 00:06:49,072
Это равенство справедливо во всех случаях.

109
00:06:49,072 --> 00:06:53,062
Давайте я это сотру сейчас.

110
00:06:56,076 --> 00:06:57,080
Еще раз обобщим.

111
00:06:57,080 --> 00:06:59,095
Результат, который мы получили ранее,

112
00:06:59,095 --> 00:07:03,036
применим ко всем вписанным углам.

113
00:07:03,036 --> 00:07:07,096
Допустим, у нас есть такой вписанный угол.

114
00:07:10,059 --> 00:07:15,083
В этом случае центр находится, так сказать, внутри угла.

115
00:07:15,083 --> 00:07:18,069
Это мой вписанный угол, и я хочу найти отношение

116
00:07:18,069 --> 00:07:22,045
между этим вписанным углом и центральным углом,

117
00:07:22,045 --> 00:07:27,000
опирающимся на ту же дугу.

118
00:07:27,000 --> 00:07:32,062
Вот мой центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

119
00:07:32,062 --> 00:07:35,000
Вы, возможно, скажете: «Но как же быть?

120
00:07:35,000 --> 00:07:39,087
Ни одна из хорд, образующих этот угол, не лежит на диаметре?»

121
00:07:39,087 --> 00:07:43,068
Да, но мы можем нарисовать диаметр.

122
00:07:43,068 --> 00:07:46,079
Если центр находится между этими двумя хордами,

123
00:07:46,079 --> 00:07:54,095
мы можем нарисовать диаметр вот таким образом.

124
00:07:54,095 --> 00:08:01,012
Обозначим этот угол как ψ1, а этот угол как ψ2,

125
00:08:01,012 --> 00:08:04,068
естественно ψ – это сумма этих двух углов.

126
00:08:04,068 --> 00:08:09,087
А эти углы мы назовем θ1 и θ2.

127
00:08:09,087 --> 00:08:11,054
Мы уже знаем, глядя на тот результат,

128
00:08:11,054 --> 00:08:14,028
к которому мы пришли ранее,

129
00:08:14,028 --> 00:08:18,069
что общая для этих углов сторона является диаметром.

130
00:08:18,069 --> 00:08:25,075
Мы знаем, что ψ1 будет равняться половине θ1,

131
00:08:25,075 --> 00:08:32,062
и мы знаем, что ψ2 будет равняться половине θ2.

132
00:08:32,062 --> 00:08:37,087
Мы также знаем, что сумма ψ1 и ψ2 будет равна

133
00:08:37,087 --> 00:08:53,071
сумме этих двух углов: ½θ1 плюс ½θ2.

134
00:08:53,071 --> 00:08:58,081
Ψ1 плюс ψ2 – это наш изначальный вписанный угол ψ.

135
00:08:58,081 --> 00:09:06,096
А это равно ½, умноженной на сумму θ1 и θ2.

136
00:09:06,096 --> 00:09:08,087
Что такое θ1 плюс θ2?

137
00:09:08,087 --> 00:09:13,079
Это просто θ, которую мы нарисовали вначале.

138
00:09:13,079 --> 00:09:18,091
Теперь мы видим, что ψ равна половине θ.

139
00:09:18,091 --> 00:09:23,003
Т.е. сейчас мы доказали это для более общего случая,

140
00:09:23,003 --> 00:09:27,021
где центр нашего круга находится между двумя лучами,

141
00:09:27,021 --> 00:09:30,079
образующими этот угол, доказали, что это справедливо.

142
00:09:30,079 --> 00:09:34,053
Но мы все еще не имели дело с более сложной,

143
00:09:34,053 --> 00:09:38,052
но при этом более распространенной задачей, где центр круга

144
00:09:38,052 --> 00:09:45,076
не лежит между двумя хордами.

145
00:09:45,076 --> 00:09:51,065
Давайте сейчас это нарисуем. Вот вершина.

146
00:09:51,065 --> 00:09:57,028
Вернее, это центр, а сейчас я нарисую вершину. Я поменяю цвет.

147
00:09:57,028 --> 00:10:01,069
Пусть это будет одна из хорд, составляющих угол,

148
00:10:01,069 --> 00:10:04,091
а это будет вторая хорда, составляющая угол.

149
00:10:04,091 --> 00:10:07,088
Как нам найти отношение -

150
00:10:07,088 --> 00:10:12,023
давайте назовем этот угол ψ1 – отношение между

151
00:10:12,023 --> 00:10:18,036
ψ1 и центральным углом, опирающимся на ту же дугу.

152
00:10:18,036 --> 00:10:25,028
Где эта дуга? Вот эта дуга.

153
00:10:25,028 --> 00:10:29,008
Значит центральный угол, опирающийся на ту же дугу,

154
00:10:29,008 --> 00:10:34,020
будет выглядеть следующим образом.

155
00:10:34,020 --> 00:10:38,000
Давайте назовем его θ1.

156
00:10:38,000 --> 00:10:39,045
Здесь мы можем использовать то,

157
00:10:39,045 --> 00:10:41,027
что только что выучили: ситуацию,

158
00:10:41,027 --> 00:10:43,077
когда одна из сторон угла лежит на диаметре.

159
00:10:43,077 --> 00:10:44,084
Давайте это построим.

160
00:10:44,084 --> 00:10:46,069
Допустим, я нарисую здесь диаметр.

161
00:10:46,069 --> 00:10:48,078
Результат, который мы хотим получить, -

162
00:10:48,078 --> 00:10:52,079
это то, что этот угол равняется половине этого.

163
00:10:52,079 --> 00:10:55,052
Но давайте это докажем.

164
00:10:55,052 --> 00:10:58,084
Попытаюсь нарисовать диаметр поровнее.

165
00:10:58,084 --> 00:11:02,072
Вот наш диаметр.

166
00:11:02,072 --> 00:11:09,084
Давайте назовем этот угол ψ2.

167
00:11:14,079 --> 00:11:19,029
Он опирается на ту же дугу.

168
00:11:19,029 --> 00:11:25,033
Давайте я сейчас более темным цветом обведу.

169
00:11:25,033 --> 00:11:30,032
Давайте назовем центральный угол на той же дуге θ2.

170
00:11:30,032 --> 00:11:35,072
Мы знаем из первой части этого видео, что ψ2=½θ2.

171
00:11:35,072 --> 00:11:43,083
Они оба опираются на одну дугу.

172
00:11:43,083 --> 00:11:46,087
Вот диаметр. Он является одной из хорд,

173
00:11:46,087 --> 00:11:49,057
образующих оба эти угла.

174
00:11:49,057 --> 00:11:53,003
Значит ψ2=½θ2.

175
00:11:53,003 --> 00:11:57,084
Это как раз то, что мы делали в последнем видео.

176
00:11:57,084 --> 00:11:59,075
Это вписанный угол.

177
00:11:59,075 --> 00:12:02,058
Одна из образующих его хорд лежит на диаметре.

178
00:12:02,058 --> 00:12:07,079
Значит, этот угол будет равен половине центрального угла,

179
00:12:07,079 --> 00:12:11,003
который опирается на ту же дугу.

180
00:12:11,003 --> 00:12:15,075
Теперь давайте посмотрим на этот больший угол.

181
00:12:15,075 --> 00:12:23,034
Вот этот большой угол равняется ψ1 плюс ψ2.

182
00:12:23,034 --> 00:12:28,016
Этот угол равен сумме ψ1 и ψ2.

183
00:12:28,016 --> 00:12:32,067
Опять же он опирается на вот эту дугу,

184
00:12:32,067 --> 00:12:35,096
и диаметр будет одной из хорд,

185
00:12:35,096 --> 00:12:38,057
образующих этот огромный угол.

186
00:12:38,057 --> 00:12:41,059
Т.е. это будет половина центрального угла,

187
00:12:41,059 --> 00:12:45,025
опирающегося на ту же дугу.

188
00:12:45,025 --> 00:12:49,048
Мы просто используем то, что мы уже разбирали в этом видео. Ничего нового не находим.

189
00:12:49,048 --> 00:12:52,050
Значит это равняется ½ этого огромного

190
00:12:52,050 --> 00:12:56,099
центрального угла, θ1 плюс θ2.

191
00:12:56,099 --> 00:12:58,040
Пока что мы использовали то,

192
00:12:58,040 --> 00:13:01,032
что уже проходили в этом видео.

193
00:13:01,032 --> 00:13:06,066
Мы уже знаем, то ψ2=½θ2.

194
00:13:06,066 --> 00:13:12,008
Давайте подставим. Это равно этому.

195
00:13:12,008 --> 00:13:19,036
Мы можем сказать, что ψ1 равен – извините – ψ1 плюс -

196
00:13:19,036 --> 00:13:25,024
вместо ψ2 я напишу ½θ2 -

197
00:13:25,024 --> 00:13:30,032
равняется ½θ1+½θ2.

198
00:13:30,032 --> 00:13:35,050
Теперь мы можем вычесть ½θ2 из обеих сторон,

199
00:13:35,050 --> 00:13:37,050
и получим наш результат.

200
00:13:37,050 --> 00:13:46,082
Ψ1=½θ1. Вот и все. Вот наш ответ.

201
00:13:46,082 --> 00:13:49,032
Мы доказали, что вписанный угол

202
00:13:49,032 --> 00:13:52,079
всегда равен половине центрального угла,

203
00:13:52,079 --> 00:13:56,059
опирающегося на ту же дугу, невзирая на то,

204
00:13:56,059 --> 00:14:00,049
внутри ли угла лежит центр круга или снаружи,

205
00:14:00,049 --> 00:14:03,065
и является ли одна из сторон угла диаметром.

206
00:14:03,065 --> 00:14:06,048
Любой угол можно представить как сумму тех углов,

207
00:14:06,048 --> 00:14:09,008
которые мы здесь строили.

208
00:14:09,008 --> 00:14:11,067
Надеюсь, что это будет вам полезно.

209
00:14:11,067 --> 00:14:13,079
И теперь на основании этого результата

210
00:14:13,079 --> 00:14:16,042
мы можем построить другие интересные

211
00:14:16,042 --> 99:59:59,000
геометрические доказательства.