WEBVTT 00:00:06.020 --> 00:00:09.045 Привет! В этом видео я хочу рассмотреть 00:00:09.045 --> 00:00:13.076 доказательство некоторых важных геометрических формул. 00:00:13.076 --> 00:00:16.076 Сегодня мы будем говорить о вписанных углах. 00:00:16.076 --> 00:00:19.052 Вписанный угол – это угол, 00:00:19.052 --> 00:00:22.092 вершина которого лежит на окружности. 00:00:22.092 --> 00:00:24.087 Вот наш вписанный угол. 00:00:24.087 --> 00:00:28.044 Я обозначу его буквой ψ. Я буду использовать «пси» 00:00:28.044 --> 00:00:31.098 для обозначения вписанных углов в этом видео, договорились? 00:00:31.098 --> 00:00:36.007 Ψ, вписанный угол, равен ровно половине 00:00:36.007 --> 00:00:41.092 центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 00:00:41.092 --> 00:00:44.052 Я использую много сложных слов, но я надеюсь, 00:00:44.052 --> 00:00:46.092 вы понимаете, о чем я говорю. 00:00:46.092 --> 00:00:49.085 Итак, это ψ. Это вписанный угол, 00:00:49.085 --> 00:00:52.087 вершина которого лежит на окружности. 00:00:52.087 --> 00:00:55.071 Если вы нарисуете два луча, выходящие из этого угла, 00:00:55.071 --> 00:00:59.024 или две хорды, образующие этот угол, получится, 00:00:59.024 --> 00:01:04.035 что стороны этого угла пересекут круг с другой стороны. 00:01:04.035 --> 00:01:07.012 Если вы посмотрите на часть окружности, 00:01:07.012 --> 00:01:10.007 которая находится внутри этого угла, 00:01:10.007 --> 00:01:14.037 это будет дуга, на которую опирается ψ. 00:01:14.037 --> 00:01:16.069 Здесь много заумных слов, но мне кажется, 00:01:16.069 --> 00:01:18.095 сама идея довольно простая. 00:01:18.095 --> 00:01:20.087 Вот эта дуга. 00:01:20.087 --> 00:01:23.028 Давайте я напишу это вот так: 00:01:23.028 --> 00:01:28.095 это дуга, на которую опирается ψ, т.е. вписанный угол, 00:01:28.095 --> 00:01:32.053 вершина которого лежит на окружности. 00:01:34.034 --> 00:01:36.083 Теперь о центральном угле. 00:01:36.083 --> 00:01:38.028 Центральный угол – это угол, 00:01:38.028 --> 00:01:41.076 вершина которого находится в центре круга. 00:01:41.076 --> 00:01:44.014 Скажем, вот эта точка – 00:01:44.014 --> 00:01:49.029 я попытаюсь определить ее на глаз – центр круга. 00:01:49.029 --> 00:01:51.071 Теперь давайте я нарисую центральный угол, 00:01:51.071 --> 00:01:56.079 который опирается на ту же дугу. 00:01:56.079 --> 00:02:04.071 Это будет угол, который опирается на ту же дугу. Вот он. 00:02:04.071 --> 00:02:16.050 Давайте назовем этот угол «тета». Это угол ψ, а это угол θ. 00:02:16.050 --> 00:02:18.084 В этом видео я хочу доказать, 00:02:18.084 --> 00:02:22.036 что ψ всегда будет равняться половине θ. 00:02:22.036 --> 00:02:26.059 Т.е. допустим, ψ равняется 25°, значит - мы сразу же 00:02:26.059 --> 00:02:30.062 можем сказать, что θ равняется 50°. 00:02:30.062 --> 00:02:33.096 Или, если я скажу, что θ равен 80°, 00:02:33.096 --> 00:02:37.080 тогда сразу же мы можем сказать, что ψ равен 40°. 00:02:37.080 --> 00:02:41.044 Давайте докажем это. Я это сотру. 00:02:41.044 --> 00:02:43.071 Начнем с вами с особого случая. 00:02:43.071 --> 00:02:46.004 Я сейчас нарисую вписанный угол, 00:02:46.004 --> 00:02:50.036 но у него одна из хорд, которые образуют его, 00:02:50.036 --> 00:02:52.012 будет диаметром круга. 00:02:52.012 --> 00:02:55.059 Это будет нестандартный случай. 00:02:55.059 --> 00:02:59.091 Здесь будет центр моего круга. Поставим точку. 00:02:59.091 --> 00:03:03.046 Снова определю его на глаз. 00:03:03.046 --> 00:03:08.036 Теперь я нарисую диаметр. 00:03:08.036 --> 00:03:11.021 Вот так выглядит наш диаметр. 00:03:11.021 --> 00:03:16.046 Теперь я должен обозначить вписанный угол. 00:03:16.046 --> 00:03:19.029 Этот диаметр - одна сторона этого угла, 00:03:19.029 --> 00:03:22.054 а другая сторона пусть выглядить вот так. 00:03:22.054 --> 00:03:26.056 Давайте я назову этот угол ψ. 00:03:26.056 --> 00:03:32.031 Это угол ψ, а этот отрезок – радиус. 00:03:32.031 --> 00:03:34.029 Это радиус нашего круга. 00:03:34.029 --> 00:03:39.071 Тогда вот этот отрезок тоже будет радиусом нашего круга. 00:03:39.071 --> 00:03:42.046 Он идет от центра до окружности. 00:03:42.046 --> 00:03:44.060 А окружность, как мы знаем, – это все точки, 00:03:44.060 --> 00:03:48.047 удаленные от центра круга на расстояние радиуса. 00:03:48.047 --> 00:03:50.036 Значит это тоже радиус. 00:03:50.036 --> 00:03:53.036 Треугольник, образовавшийся здесь, – 00:03:53.036 --> 00:03:55.028 это равнобедренный треугольник. 00:03:55.028 --> 00:03:57.046 Две его стороны равны. 00:03:57.046 --> 00:04:00.063 А мы знаем, что, когда у треугольника две стороны равны, 00:04:00.063 --> 00:04:04.000 углы у его основания тоже равны. 00:04:04.000 --> 00:04:07.010 Т.е. этот угол тоже будет равен ψ. 00:04:07.010 --> 00:04:09.054 Возможно, вам не сразу это видно потому, 00:04:09.054 --> 00:04:10.070 что этот треугольник наклонен. 00:04:10.070 --> 00:04:12.024 Но я думаю, что все увидят, 00:04:12.024 --> 00:04:14.015 если я нарисую его вот так. 00:04:14.015 --> 00:04:16.060 Если бы я сказал, что это r, и это r, 00:04:16.060 --> 00:04:19.087 и что эти две стороны равны, а этот угол – ψ – 00:04:19.087 --> 00:04:22.034 давайте я сейчас аккуратней его нарисую – 00:04:22.034 --> 00:04:25.089 то вы бы сказали, что второй угол тоже ψ. 00:04:25.089 --> 00:04:29.072 Углы у основания равнобедренного треугольника равны. 00:04:29.072 --> 00:04:32.062 Значит если это ψ, то и это тоже ψ. 00:04:32.062 --> 00:04:35.069 Теперь давайте посмотрим на центральный угол. 00:04:35.069 --> 00:04:40.000 Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу. 00:04:40.000 --> 00:04:44.087 Давайте выделим дугу, на которую они оба опираются. 00:04:44.087 --> 00:04:49.029 Это мой центральный угол θ. 00:04:49.029 --> 00:04:53.072 Если это угол θ, чему будет равен вот этот угол? 00:04:53.072 --> 00:04:58.068 Этот угол смежен с θ, значит он равен 180-θ. 00:04:58.068 --> 00:05:00.011 Если сложить эти два угла, 00:05:00.011 --> 00:05:03.012 вы получите 180° или развернутый угол, 00:05:03.012 --> 00:05:05.072 потому что они смежные. 00:05:05.072 --> 00:05:11.021 Мы также знаем, что эти три угла 00:05:12.058 --> 00:05:15.062 относятся к одному треугольнику, 00:05:15.062 --> 00:05:19.004 значит они в сумме равны 180°. 00:05:19.004 --> 00:05:33.061 Т.е мы можем написать: ψ+ψ+ 180-θ=180°. 00:05:33.061 --> 00:05:39.020 Теперь мы можем вычесть 180 из обеих сторон 00:05:39.024 --> 00:05:48.048 ψ+ψ - это 2ψ-θ=0. 00:05:48.048 --> 00:05:54.083 Прибавьте θ с обеих сторон и получите 2ψ=θ. 00:05:54.083 --> 00:05:57.028 Умножьте обе стороны на одну вторую 00:05:57.028 --> 00:06:02.083 или разделите на 2 и получится, что угол ψ=½θ. 00:06:02.083 --> 00:06:04.062 Т.е. мы доказали то, что хотели, 00:06:04.062 --> 00:06:08.070 для этого особого случая, где один из лучей 00:06:08.070 --> 00:06:12.080 (или прямые, или лучи – как хотите) - 00:06:12.080 --> 00:06:17.062 один из лучей, составляющих вписанный угол, является диаметром. 00:06:17.062 --> 00:06:21.007 Диаметр составляет часть этого луча. 00:06:21.007 --> 00:06:23.083 Это особый случай, где одна сторона является диаметром. 00:06:23.083 --> 00:06:25.070 Теперь мы можем это обобщить. 00:06:25.070 --> 00:06:34.068 Мы знаем, что, если ψ=50, то θ=100. 00:06:34.068 --> 00:06:38.078 Точно так же, чему бы ни равнялся угол θ, 00:06:38.078 --> 00:06:44.028 ψ будет равняться его половине, и чему бы ни был равен угол ψ, 00:06:44.028 --> 00:06:46.073 θ будет в два раза больше. 00:06:46.073 --> 00:06:49.072 Это равенство справедливо во всех случаях. 00:06:49.072 --> 00:06:53.062 Давайте я это сотру сейчас. 00:06:56.076 --> 00:06:57.080 Еще раз обобщим. 00:06:57.080 --> 00:06:59.095 Результат, который мы получили ранее, 00:06:59.095 --> 00:07:03.036 применим ко всем вписанным углам. 00:07:03.036 --> 00:07:07.096 Допустим, у нас есть такой вписанный угол. 00:07:10.059 --> 00:07:15.083 В этом случае центр находится, так сказать, внутри угла. 00:07:15.083 --> 00:07:18.069 Это мой вписанный угол, и я хочу найти отношение 00:07:18.069 --> 00:07:22.045 между этим вписанным углом и центральным углом, 00:07:22.045 --> 00:07:27.000 опирающимся на ту же дугу. 00:07:27.000 --> 00:07:32.062 Вот мой центральный угол, опирающийся на ту же дугу. 00:07:32.062 --> 00:07:35.000 Вы, возможно, скажете: «Но как же быть? 00:07:35.000 --> 00:07:39.087 Ни одна из хорд, образующих этот угол, не лежит на диаметре?» 00:07:39.087 --> 00:07:43.068 Да, но мы можем нарисовать диаметр. 00:07:43.068 --> 00:07:46.079 Если центр находится между этими двумя хордами, 00:07:46.079 --> 00:07:54.095 мы можем нарисовать диаметр вот таким образом. 00:07:54.095 --> 00:08:01.012 Обозначим этот угол как ψ1, а этот угол как ψ2, 00:08:01.012 --> 00:08:04.068 естественно ψ – это сумма этих двух углов. 00:08:04.068 --> 00:08:09.087 А эти углы мы назовем θ1 и θ2. 00:08:09.087 --> 00:08:11.054 Мы уже знаем, глядя на тот результат, 00:08:11.054 --> 00:08:14.028 к которому мы пришли ранее, 00:08:14.028 --> 00:08:18.069 что общая для этих углов сторона является диаметром. 00:08:18.069 --> 00:08:25.075 Мы знаем, что ψ1 будет равняться половине θ1, 00:08:25.075 --> 00:08:32.062 и мы знаем, что ψ2 будет равняться половине θ2. 00:08:32.062 --> 00:08:37.087 Мы также знаем, что сумма ψ1 и ψ2 будет равна 00:08:37.087 --> 00:08:53.071 сумме этих двух углов: ½θ1 плюс ½θ2. 00:08:53.071 --> 00:08:58.081 Ψ1 плюс ψ2 – это наш изначальный вписанный угол ψ. 00:08:58.081 --> 00:09:06.096 А это равно ½, умноженной на сумму θ1 и θ2. 00:09:06.096 --> 00:09:08.087 Что такое θ1 плюс θ2? 00:09:08.087 --> 00:09:13.079 Это просто θ, которую мы нарисовали вначале. 00:09:13.079 --> 00:09:18.091 Теперь мы видим, что ψ равна половине θ. 00:09:18.091 --> 00:09:23.003 Т.е. сейчас мы доказали это для более общего случая, 00:09:23.003 --> 00:09:27.021 где центр нашего круга находится между двумя лучами, 00:09:27.021 --> 00:09:30.079 образующими этот угол, доказали, что это справедливо. 00:09:30.079 --> 00:09:34.053 Но мы все еще не имели дело с более сложной, 00:09:34.053 --> 00:09:38.052 но при этом более распространенной задачей, где центр круга 00:09:38.052 --> 00:09:45.076 не лежит между двумя хордами. 00:09:45.076 --> 00:09:51.065 Давайте сейчас это нарисуем. Вот вершина. 00:09:51.065 --> 00:09:57.028 Вернее, это центр, а сейчас я нарисую вершину. Я поменяю цвет. 00:09:57.028 --> 00:10:01.069 Пусть это будет одна из хорд, составляющих угол, 00:10:01.069 --> 00:10:04.091 а это будет вторая хорда, составляющая угол. 00:10:04.091 --> 00:10:07.088 Как нам найти отношение - 00:10:07.088 --> 00:10:12.023 давайте назовем этот угол ψ1 – отношение между 00:10:12.023 --> 00:10:18.036 ψ1 и центральным углом, опирающимся на ту же дугу. 00:10:18.036 --> 00:10:25.028 Где эта дуга? Вот эта дуга. 00:10:25.028 --> 00:10:29.008 Значит центральный угол, опирающийся на ту же дугу, 00:10:29.008 --> 00:10:34.020 будет выглядеть следующим образом. 00:10:34.020 --> 00:10:38.000 Давайте назовем его θ1. 00:10:38.000 --> 00:10:39.045 Здесь мы можем использовать то, 00:10:39.045 --> 00:10:41.027 что только что выучили: ситуацию, 00:10:41.027 --> 00:10:43.077 когда одна из сторон угла лежит на диаметре. 00:10:43.077 --> 00:10:44.084 Давайте это построим. 00:10:44.084 --> 00:10:46.069 Допустим, я нарисую здесь диаметр. 00:10:46.069 --> 00:10:48.078 Результат, который мы хотим получить, - 00:10:48.078 --> 00:10:52.079 это то, что этот угол равняется половине этого. 00:10:52.079 --> 00:10:55.052 Но давайте это докажем. 00:10:55.052 --> 00:10:58.084 Попытаюсь нарисовать диаметр поровнее. 00:10:58.084 --> 00:11:02.072 Вот наш диаметр. 00:11:02.072 --> 00:11:09.084 Давайте назовем этот угол ψ2. 00:11:14.079 --> 00:11:19.029 Он опирается на ту же дугу. 00:11:19.029 --> 00:11:25.033 Давайте я сейчас более темным цветом обведу. 00:11:25.033 --> 00:11:30.032 Давайте назовем центральный угол на той же дуге θ2. 00:11:30.032 --> 00:11:35.072 Мы знаем из первой части этого видео, что ψ2=½θ2. 00:11:35.072 --> 00:11:43.083 Они оба опираются на одну дугу. 00:11:43.083 --> 00:11:46.087 Вот диаметр. Он является одной из хорд, 00:11:46.087 --> 00:11:49.057 образующих оба эти угла. 00:11:49.057 --> 00:11:53.003 Значит ψ2=½θ2. 00:11:53.003 --> 00:11:57.084 Это как раз то, что мы делали в последнем видео. 00:11:57.084 --> 00:11:59.075 Это вписанный угол. 00:11:59.075 --> 00:12:02.058 Одна из образующих его хорд лежит на диаметре. 00:12:02.058 --> 00:12:07.079 Значит, этот угол будет равен половине центрального угла, 00:12:07.079 --> 00:12:11.003 который опирается на ту же дугу. 00:12:11.003 --> 00:12:15.075 Теперь давайте посмотрим на этот больший угол. 00:12:15.075 --> 00:12:23.034 Вот этот большой угол равняется ψ1 плюс ψ2. 00:12:23.034 --> 00:12:28.016 Этот угол равен сумме ψ1 и ψ2. 00:12:28.016 --> 00:12:32.067 Опять же он опирается на вот эту дугу, 00:12:32.067 --> 00:12:35.096 и диаметр будет одной из хорд, 00:12:35.096 --> 00:12:38.057 образующих этот огромный угол. 00:12:38.057 --> 00:12:41.059 Т.е. это будет половина центрального угла, 00:12:41.059 --> 00:12:45.025 опирающегося на ту же дугу. 00:12:45.025 --> 00:12:49.048 Мы просто используем то, что мы уже разбирали в этом видео. Ничего нового не находим. 00:12:49.048 --> 00:12:52.050 Значит это равняется ½ этого огромного 00:12:52.050 --> 00:12:56.099 центрального угла, θ1 плюс θ2. 00:12:56.099 --> 00:12:58.040 Пока что мы использовали то, 00:12:58.040 --> 00:13:01.032 что уже проходили в этом видео. 00:13:01.032 --> 00:13:06.066 Мы уже знаем, то ψ2=½θ2. 00:13:06.066 --> 00:13:12.008 Давайте подставим. Это равно этому. 00:13:12.008 --> 00:13:19.036 Мы можем сказать, что ψ1 равен – извините – ψ1 плюс - 00:13:19.036 --> 00:13:25.024 вместо ψ2 я напишу ½θ2 - 00:13:25.024 --> 00:13:30.032 равняется ½θ1+½θ2. 00:13:30.032 --> 00:13:35.050 Теперь мы можем вычесть ½θ2 из обеих сторон, 00:13:35.050 --> 00:13:37.050 и получим наш результат. 00:13:37.050 --> 00:13:46.082 Ψ1=½θ1. Вот и все. Вот наш ответ. 00:13:46.082 --> 00:13:49.032 Мы доказали, что вписанный угол 00:13:49.032 --> 00:13:52.079 всегда равен половине центрального угла, 00:13:52.079 --> 00:13:56.059 опирающегося на ту же дугу, невзирая на то, 00:13:56.059 --> 00:14:00.049 внутри ли угла лежит центр круга или снаружи, 00:14:00.049 --> 00:14:03.065 и является ли одна из сторон угла диаметром. 00:14:03.065 --> 00:14:06.048 Любой угол можно представить как сумму тех углов, 00:14:06.048 --> 00:14:09.008 которые мы здесь строили. 00:14:09.008 --> 00:14:11.067 Надеюсь, что это будет вам полезно. 00:14:11.067 --> 00:14:13.079 И теперь на основании этого результата 00:14:13.079 --> 00:14:16.042 мы можем построить другие интересные 00:14:16.042 --> 99:59:59.000 геометрические доказательства.